книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
|
2. БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
101 |
||||||||||||
|
О бозначим |
координаты |
элементов |
|
х |
н у |
относительно |
базиса |
||||||||||
е ь |
е 2, . . |
е п соответственно через |
(жь |
ж2, . . |
х п ) |
и |
(щ , |
у 2, . |
. у п ), |
|||||||||
т. |
е. предполож им , что х |
= |
|
+ |
ж2 е 2 |
+ • • • |
+ х п е п , у |
= |
щ в ! |
+ |
||||||||
+ |
у2 е 2 + |
• • • + |
Уп^п- Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(х, у) = O ie i + ж2 е 2 |
+ |
. .. + |
х п е п , |
|
+ |
у 2е 2 |
+ |
|
. .. |
+ 2М еп)- |
|
||||||
И з |
последнего |
равенства, |
в |
силу |
аксиом |
скалярного |
произведения |
и |
||||||||||
соотнош ений (4.10), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(х, у) = |
Ц |
Е |
Уквк |
= |
Е |
Е |
|
х гУк(ег, е к) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
\г = 1 |
к = 1 |
|
|
г = 1 к = 1 |
|
|
|
|
+ . .. + х пу п . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ж1 2 / 1 + Ж2 у2 |
||||||||
|
И так, окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(х, у) |
= |
Ж12/1 + |
Х2У2 |
+ |
|
. .. + Хпу п . |
|
|
|
(4.13) |
|||||
|
Таким образом, в орт онорм ированием базисе скалярное произведе |
|||||||||||||||||
ние двух лю бы х элем ент ов равно сум м е |
произведений соот вет ст ву |
|||||||||||||||||
ю щ их координат эт и х элем ент ов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассм отрим теперь в n -мерном евклидовом пространстве Е |
совер |
||||||||||||||||
ш енно произвольны й |
(вообще говоря, |
не ортонорм ированны й) базис |
||||||||||||||||
f i , f2, ... , |
fn и найдем |
вы раж ение скалярного произведения двух про |
||||||||||||||||
извольны х элементов х н у |
через координаты этих элементов относи |
|||||||||||||||||
тельно указанного базиса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
О бозначим |
координаты |
элементов |
|
х |
н у |
относительно |
базиса |
||||||||||
fi, |
f2, . . |
f„ соответственно |
через |
(жь |
х 2, ■. |
х п ) |
и |
(уь |
у 2, ■■ у п ), |
|||||||||
т. е. предполож им , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
х = X ifi + |
x 2f 2 + |
■■■ + |
x nf n , |
у |
= |
j/ifi + |
у 2f 2 |
+ |
|
• • • |
+ уЛ п - |
|
|||||
|
П ользуясь аксиом ами скалярного произведения, получим |
|
|
|||||||||||||||
(х, у) = |
(x ifi |
+ Х2{2 + . . . |
+ x nf n , |
J/ 1 |
fi |
|
+ у 2{2 + . . . |
+ у Л п ) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
ykik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
i = l k = l |
|
|
|
|||||
|
Таким |
образом, в произвольном базисе f i , f2, ... , |
fn |
скалярное про |
||||||||||||||
изведение |
двух |
лю бы х |
элем ент ов х = |
|
x ifi + |
x 2 f2 |
+ |
. .. + |
x n fn |
и |
||||||||
у |
= 2/i fi |
+ У2^2 + . .. |
+ УгЛп определяет ся равенст вом |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, у) = Е |
Е |
aikXiyk’ |
|
|
|
|
(4.14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = 1 jfe = l
102 |
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ |
ПРОСТРАНСТВА |
||||
в кот ором м ат рица ||а ^ || |
(г = |
1 , 2 , . |
. |
n; k = 1 , 2 , . |
. п) им еет эле |
|
м ент ы Oik = |
(fi, ffc). |
|
|
|
|
|
П оследнее утверж дение |
приводит |
к |
следую щ ему |
результату: для |
||
того чтобы |
в данном базисе fi, |
f2 , . |
. |
fn евклидова прост ранст ва Е |
скалярное произведение двух лю бы х элем ент ов было равно сум м е про
изведений соот вет ст вую щ их координат |
эт и х элем ен т о в , необходи |
|||
м о и дост ат очно, чтобы базис fi, f2 |
, . . |
fn был ортонор м ир ованны м . |
||
В самом деле, вы раж ение |
(4.14) |
переходит в |
(4.13) тогда и толь |
|
ко тогда, когда м атри ц а ||а ^ || |
с элементами ац~ |
= (fi, fk) является |
единичной, т. е. тогда и только тогда, когда вы полнены соотнош ения
1 |
при |
г |
= |
/с, |
0 |
при |
i |
ф |
к, |
устанавливаю щ ие ортонорм ированность базиса f i , f2, ... , fn .
В ернемся к рассм отрению произвольного ортонорм ированного ба
зиса e i, в2, ..., еп n -мерного евклидова п ространства Е . В ы ясним
смысл координат произвольного элем ента х относительно указанного базиса.
О бозначим |
координаты |
элем ента х |
относительно |
базиса |
|
e i, в2, ... , еп через ад, |
ад, • • •, жп , т. е. предполож им , что |
|
|||
|
х = |
xiei |
+ ж2е2 + . . . + |
хпе: |
(4.15) |
О бозначим |
далее через к |
лю бой из номеров 1 , 2 , . . . , п и ум нож им |
обе части (4.15) скалярно на элем ент е^. Н а основании аксиом скаляр ного произведения и соотнош ений (4.10) получим
Таким образом, координат ы произвольного элем ент а от носит ель но орт онорм ированного базиса равны скалярны м произведениям этого
элем ент а на соот вет ст вую щ ие базисные элем ент ы .
П оскольку скалярное произведение |
произвольного элем ента х на |
|||
элемент е, |
имею щ ий |
норму, равную |
единице, естественно н азвать |
|
проекцией |
элем ент а х |
на элем ен т е, |
то мож но |
сказать, что коор |
динат ы произвольного |
элем ент а от носит ельно |
орт онорм ированно |
||
го базиса равны проекциям эт ого элем ент а на |
соот вет ст вую щ ие |
базисные элем ент ы .
Таким образом, произвольны й ортонорм ированны й базис обладает свойствами, вполне аналогичны м и свойствам декартова прям оуголь ного базиса.
|
|
|
|
|
2. БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
103 |
|||||||||||
|
3. Р азл ож ен и е |
n -м ер ного евк ли дова пространства на пря |
||||||||||||||||||
м ую |
сум м у |
подпр остранства и его ортогонального |
доп ол н е |
|||||||||||||||||
ния. П усть |
G — произвольное подпространство n -мерного |
евклидова |
||||||||||||||||||
п ространства Е . |
|
всех элем ент ов у прост ранст ва Е , орт огональ |
||||||||||||||||||
|
С овокупност ь F |
|||||||||||||||||||
ны х каж дом у элем ен т у х подпрост ранст ва |
G, |
назы вает ся орт ого |
||||||||||||||||||
н альны м дополнением подпрост ранст ва G. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Зам етим , что ортогональное дополнение F |
само явл яется подпро |
||||||||||||||||||
странством |
Е |
(ибо из ортогональности каж дого из элементов у± |
и у 2 |
|||||||||||||||||
элементу |
х, |
очевидно, |
вы текает, |
что |
и лю бая |
линейная ком бинация |
||||||||||||||
элементов y i |
и у 2 ортогональна элементу х). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Д окаж ем , |
что |
всякое |
п -м ерное евклидово |
прост ранст во Е |
пред |
||||||||||||||
ст авляет собой |
прям ую |
сум м у |
своего произвольного |
подпрост ран |
||||||||||||||||
ст ва G и его орт огонального |
дополнения F . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В ы берем |
в |
G |
произвольны й |
ортонорм ированны й |
базис |
||||||||||||||
e i, |
в 2 |
, . .. , е к . |
В |
силу доказанного в |
п. 1 |
§3 гл. 2, |
этот |
базис м ож но |
||||||||||||
дополнить |
элементами |
|
+ |
|
fn |
п ространства |
Е |
до |
базиса |
во |
||||||||||
всем |
Е . |
П роизведя |
процесс |
орт огонализации элементов |
e i , . . . , |
e k , |
||||||||||||||
ffc_l_i, ... , |
fn , |
мы |
получим |
ортонорм ированны й |
базис |
e i, ... , |
е&, |
|||||||||||||
|
|
... , |
е п |
всего |
п ространства |
Е . |
Р азл о ж и в |
произвольны й |
|
эле |
||||||||||
мент х п ространства Е |
по этому |
базису, т. е. представив его в |
виде |
|||||||||||||||||
х |
= |
x i e i |
+ |
. .. |
+ |
x ke k |
+ |
x k + i e k + i + . .. |
+ |
жпе п , |
мы |
получим, |
||||||||
что |
этот |
элемент |
х |
однозначно представим в виде |
х = |
х ' |
+ х ", |
где |
||||||||||||
х' |
= |
x i e i |
+ |
. .. |
+ |
x ke k — соверш енно определенны й |
элемент |
G, а |
||||||||||||
х " |
= |
x k + \ e k + i |
+ |
. .. |
+ |
х пе п — соверш енно |
определенны й элемент |
|||||||||||||
ортогонального дополнения |
F (каж ды й |
элемент |
e^ + i , . . . , |
е п |
орто |
|||||||||||||||
гонален |
к |
лю бому |
из |
элементов |
e i, |
. .. , |
е^, |
а |
потому ортогонален |
|||||||||||
лю бому элементу G; поэтому и линейная комбинация х к + \ е к + 1 |
+ . .. |
|||||||||||||||||||
. . . + |
х пе п ортогональна лю бому элементу G, т. е. явл яется соверш ен |
|||||||||||||||||||
но определенны м элементом F ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4. И зо м о р ф и зм |
n -м ер ны х евклидовы х пространств. В этом |
пункте мы покаж ем , что различны е евклидовы п ространства одной и той ж е разм ерности п в смысле свойств, связанны х со введенны м и в этих п ространствах операциям и, по сущ еству не отличаю тся друг от друга.
П оскольку в евклидовы х п ространствах введены лиш ь операции слож ения элементов, ум нож ения элементов на числа и скалярного пе рем нож ения элементов, то естественно сф орм улировать следую щ ее оп ределение.
О п р едел ен и е. Д в а евклидовы х п ространства Е и Е ' назы ваю тся
изом орф ны м и, если м еж ду элементами этих пространств м ож но уста новить взаим но однозначное соответствие так, что если элементам х
104 |
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
и у |
п ространства Е отвечаю т |
соответственно элем енты |
х ' |
и у ' про |
стран ства Е ' , то элементу х + |
у отвечает элем ент х ' + |
у ', |
элементу |
Ах (при лю бом вещ ественном А) отвечает элем ент Ах' и скалярное про
изведение (х, у) равно скалярном у произведению (х ', у ').
Таким образом, евклидовы п ространства Е и Е 1 изом орф ны , если
они и зом орф ны как линейны е п ространства 10) и если этот изом ор ф изм сохраняет величину скалярного произведения соответствую щ их пар элементов.
Т е о р е м а |
4 .4 . Все евклидовы прост ранст ва одной и т ой ж е раз |
м ерност и п |
изоморф ны м еж ду собой. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д остаточно доказать, что любое n -мерное ев клидово пространство Е ' изом орф но евклидову пространству Е п упо
рядоченны х совокупностей п вещ ественны х чисел со скалярны м про
изведением (4.2). С огласно теореме 4.3, в евклидовом пространстве Е п
сущ ествует ортонорм ированны й базис е^, е^, . .. , е^. К аж д о м у элемен
ту х ' |
= |
x ie [ |
+ |
х 2е'2 + |
. .. + х пе пг |
п ространства Е ' поставим в соответ |
|||
ствие п |
вещ ественны х чисел ад, ад, |
. .. , жп , т. е. вполне определенны й |
|||||||
элемент х = |
(ад, ад, ... , х п ) п ространства Е п . |
|
|||||||
Установленное соответствие будет взаим но однозначны м . К ром е |
|||||||||
того, из теорем ы 2.4 вы текает, что если элементам х ' = |
(ад , ад, ... , х п ) |
||||||||
и у ' |
= |
(щ, |
|
Уп) |
п ространства Е ' |
п ) отвечаю т |
соответственно |
||
элем енты х |
= |
(ад, ад, |
... , х п ) н у |
= |
(щ, |
У2 , • • • , Уп) п ространства Е п , |
|||
то элем енту х ' |
+ у ' отвечает элем ент х |
+ у, а элем енту Ах' отвечает |
|||||||
элемент Ах. |
|
|
|
|
|
|
|
О стается доказать, что д л я соответствую щ их пар элементов х ', у '
и х, у сохраняется величина скалярного произведения.
В |
силу |
ортонорм |
ированности |
базиса е[, е^, ... , |
и ф орм улы |
(4.13), |
(х ', |
у ') = ад ух |
+ х 2у 2 + • • • |
+ х пу п . С другой |
стороны , в силу |
ф орм улы (4.2), определяю щ ей скалярное произведение в пространстве
Е п , (х, у) = х \у \ + х 2у 2 + • • • + х пу п . Т еорема доказана.
Д о к азан н ая теорем а позволяет утверж д ать, что если в какомнибудь конкретном n -мерном евклидовом пространстве Е ' доказан а теорем а, сф орм улированная в терм инах операций слож ения, ум нож е ния на числа и скалярного перемнож ения элементов, то эта теорем а справедлива и в соверш енно произвольном n -мерном евклидовом про странстве Е .
10) См. п. 4 § 2 гл. 2.
п ) Координаты этих элементов берутся относительно базиса е^, е'2, . . е'п .
3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО |
105 |
§3. К ом п л ексн ое евклидово пространство
1.О п р едел ен и е ком плексного евклидова пространства. В
конце п. 1 § 1 гл. 2 мы уж е указы вали, что если в определении линей
ного п ространства числа Л, д, . .. брать не из м нож ества вещ ественны х чисел, а из м нож ества всех ком плексны х чисел, то мы придем к поня тию комплексного линейного пространства.
Н а базе комплексного линейного п ространства строится комплекс
ное евклидово пространство, |
играю щ ее ф ундам ентальную роль в |
теории несам осопряж енны х линейны х преобразований . |
|
Д л я введения комплексного |
евклидова п ространства следует вве |
сти в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произ ведения двух его элементов, подчиненное соответствую щ им четы рем аксиомам .
О п р едел ен и е. К ом плексное линейное пространство R н азы вается
ком плексны м евклидовы м прост ранст вом , если вы полнены следую щие д в а требования.
I. И меется правило, посредством которого лю бы м двум элементам х н у этого п ространства ставится в соответствие ком плексное число,
назы ваем ое скалярны м произведением этих элементов и обозначаемое
символом (х, |
у). |
|
|
|
||
II. У казанное |
правило |
подчинено следую щ им четы рем аксиомам: |
||||
1°) |
(X, |
У ) |
= |
( Е Д |
12) ; |
|
2°) |
(xi |
+ |
х 2, у) = |
(хь |
у) + (х2, у); |
|
3°) |
(Ах, у) = |
А(х, у); |
|
|||
4°) (х, |
х) |
представляет собой вещ ественное неотрицательное число, |
обращ аю щ ееся в нуль лиш ь в случае, когда х — нулевой элемент 13) . Л огическим и следствиям и аксиом 1°)-3°) являю тся следую щ ие дв а
соотнош ения:
(х, Ау) = А(х, у), (х, у 1 + у 2) = (х, y i) + (х, у 2).
12)Здесь и в дальнейшем символом а обозначается число, комплексно сопря женное с а.
13)Аксиома 1 °) отличается от соответствующей аксиомы 1 °) вещественного евклидова пространства. Легко убедиться в том, что при переходе к комплексному
пространству невозможно сохранить без изменения все три аксиомы 1°), 3°) и 4°) вещественного скалярного произведения. В самом деле, при наличии аксиом
(х, у) |
= |
(у, х) и (Ах, у) |
= |
А(х, у), мы получили бы, |
что (х, Ау) = (Ау, х) = |
А(у, х) = |
А(х, у). Но тогда оказалось бы, что (Ах, Ах) = |
А2(х, х), и, стало быть, |
|||
при А |
— |
i мы получили бы, что (гх, гх) = —(х, х), а это противоречило бы аксиоме |
|||
4°) о неотрицательности (у, |
у) |
для любого элемента у. |
|
106 |
|
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ |
ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|||||||||
|
В самом деле, из аксиом |
1°) и 3°) заклю чаем , что |
|
|
||||||||||
|
|
|
(х, Ау) |
= (Ау, х ) |
= |
А(у, х ) = А(х, у), |
|
|
||||||
а из аксиом 1 |
°) и 2 °) получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( х , |
У1 + |
у 2) |
= (yi + У2 , х ) |
= (уЬ х ) + |
(у2, х ) |
= |
( х , yi) + ( х , |
у 2). |
||||||
|
П риведем |
прим еры |
конкретны х ком плексны х |
евклидовы х |
про |
|||||||||
странств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П ри м ер |
1 . Рассм отрим |
совокупность |
(7* [а, Ь] |
всех ф ункций |
z = |
||||||||
= |
z (t), определенны х |
д л я |
значений t |
из |
сегмента |
а ^ t ^ b и |
при |
|||||||
нимаю щ их комплексны е значения |
z ( t) |
= |
х (t) + iy (t) такие, |
что ве |
||||||||||
щ ественны е |
ф ункции |
х (t) |
и у (t) |
являю тся непреры вны ми |
на |
этом |
||||||||
сегменте. |
О перации |
слож ения |
этих ф ункций |
и |
ум нож ения их на |
|||||||||
комплексны е числа заимствуем |
из |
анализа. С калярное произведение |
двух лю бы х таких ф ункций определим соотнош ением (z\ (£), 2 2 (£)) =
=f a (*) ^2 (t) dt.
Нетрудно убедиться в справедливости д л я так определенного ска
лярного произведения всех аксиом 1 °)-4 °), из чего следует, что рас
см атри ваем ая совокупность представляет собой комплексное евклидо
во пространство.
П ри м ер 2 . Рассм отрим комплексное линейное пространство А™,
элементами которого служ ат упорядоченны е совокупности п ком плексных чисел ад, # 2 , •• •, хп с таким и ж е определениями операций слож ения элементов и ум нож ения их на числа, как и в случае вещ е ственного линейного п ространства А п .
С калярное |
произведение двух |
лю бы х элементов х = |
( x i , X 2 , . . . |
|
. . . , хп) и у = |
(2/1, 2/2, • • |
Уп) определим соотнош ением |
|
|
|
(х, у) = |
Ж1 У1 + |
Х2 У2 + • ■• + Хпуп. |
(4.16) |
С праведливость д л я так определенного скалярного произведения аксиом 1°)-3°) проверяется соверш енно элементарно. С праведливость аксиом ы 4°) вы текает из соотнош ения
( х , х ) = Х1 Х1 + Х2Х2 + ■■■+ Хпх п = \xi |2 + |
\х2\2 + ■■■ + \хп\2. |
С тало бы ть, пространство А™ со скалярны м |
произведением (4.16) |
явл яется комплексны м евклидовы м пространством . |
|
П ри м ер 3. В том ж е самом комплексном |
линейном простран |
стве А™ мож но ввести скалярное произведение не соотнош ением (4.16),
3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО |
107 |
|||
а более общ им соотнош ением 14) |
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
(х, у) = X] |
сЧкХьУк, |
(4.17) |
|
|
i = l k = l |
|
|
|
в котором |
\\dik|| — произвольная м атрица, |
состоящ ая из ком плексны х |
||
чисел ап*, удовлетворяю щ их условию aik |
— a ki, такая, что квадрати ч - |
|||
н ая ф о р м а |
}^ i = i 1^к = i a ikx i x k д л я |
всех |
комплексны х а д , дд , |
. . . , х п |
приним ает вещ ественны е неотрицательны е |
значения |
и обращ ается в |
||||||||||
нуль лиш ь при условии |
|дц|2 + |
|
|^ 2 1 2 + --- |
+ |
\х п \2 |
= |
0 . |
|
||||
П редоставляем читателю проверку того, что так определенное ска |
||||||||||||
лярное произведение удовлетворяет аксиом ам 1°)-4°). |
|
|||||||||||
2 . |
Н еравенство |
К ош и —Б уняковского. П онятие норм ы . Д о |
||||||||||
каж ем , что для лю бы х двух элем ент ов х |
и у |
произвольного ком плекс |
||||||||||
ного евклидова прост ранст ва справедливо неравенст во К о ш и -Б ун як о - |
||||||||||||
вского |
15) |
|
|( х ,у ) |2 |
Щ х , х)(у, |
у). |
|
|
(4.18) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
Н а основании аксиом ы 4°) д л я лю бого комплексного числа Л спра |
||||||||||||
ведливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(Лх - |
у, Лх - у) ^ |
0 . |
|
|
(4.19) |
||||
Т ак как в силу аксиом 1°)-3°) |
и их логических следствий |
|
||||||||||
(Лх - |
у, Лх - |
у) = ЛЛ(х, х) |
- |
Л(х, у) |
- |
Л(у, х) |
+ |
(у, у) |
= |
|||
|
|
|
|
= |
|А|2(х, х ) |
- |
А(х, у) |
- |
У х , У) |
+ (У, У), |
||
то неравенство |
(4.19) приним ает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|А|2 (х, |
х ) - |
А(х, у) - У х >у) |
+ (у, у) ^ 0. |
(4.20) |
|||||||
О бозначим через р |
аргум ент комплексного числа (х, |
у) и представим |
||||||||||
это число в т ригоном ет рической ф орм е 16) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
(х, у) |
= |(х, |
y )|(co sif |
+ |
ishup). |
|
|
(4.21) |
14)(4.17) переходит в (4.16), когда матрица ||щ&|| является единичной.
15)Поскольку ( х , у ) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя
записывать неравенство Кош и-Буняковского в виде (4.6).
16) П онятия аргумента и тригонометрической формы комплексного числа раз бираются, например, в § 1 гл. 7 выпуска «Основы математического анализа», часть I.
108 |
ГЛ. 4. |
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
|
|||
П олож им теперь комплексное число Л равны м |
|
|||||
|
|
|
Л = |
t (cosip |
— i sin ip), |
(4.22) |
где |
t — произвольное |
вещ ест венное |
число. И з соотнош ений |
(4.21) и |
||
(4.22) очевидно, что |
|А| |
= |
|£|, А(х, у) = А(х, у) = *|(х, у )|. |
П оэтому |
при вы бранном нами А неравенство (4.20) переходит в неравенство
Г (х , х) - 2 i|(x , у ) | + (у, у) ^ 0, |
(4.23) |
справедливое при лю бом вещ ественном t. Н еобходимым и достаточ ным условием неотрицательности квадратн ого трехчлена, стоящ его в
левой части (4.23), явл яется неполож ительность его дискрим инанта, т. е. неравенство |(х, у ) | 2 — (х, х )(у , у) ^ 0 , эквивалентное неравен ству (4.18).
С помощ ью неравенства К ош и -Б ун яковск ого (4.18) и рассуж дений, полностью аналогичны х доказательству теорем ы 4.2, устанавливается,
что всякое ком плексное евклидово прост ранст во я в ля е т с я норм иро
ва н н ы м , если в нем норм у любого элем ент а х определит ь соот нош е |
|
нием |
|
||х|| = л /(х , х ). |
(4.24) |
В частности, во всяком ком плексном евклидовом |
прост ранст ве с |
норм ой , определяем ой соот нош ением (4.24), справедливо неравенст во
т реугольника ||х |
+ у 11 ^ ||х|| + |
||у ||. |
|
З а м е ч а н и е . |
П одчеркнем , |
что введенное |
д л я вещ ественного ев |
кли дова п ространства понятие |
угла ip м еж ду |
двум я произвольны м и |
элементами х и у теряет смысл д л я комплексного евклидова простран ства (вследствие того, что скалярное произведение (х, у) является, во обще говоря, комплексны м числом).
3. |
О р т о н о р м и р о в а н н ы й |
б а з и с и |
е го с в о й с т в а . Э лементы х и у |
||
произвольного комплексного евклидова п ространства будем н азы вать |
|||||
орт огональны м и , если скалярное произведение (х, у) |
этих элементов |
||||
равно нулю . |
|
|
|
|
|
О ртонорм ированны м базисом |
n -мерного комплексного евклидова |
||||
п ространства назовем совокупность его элем ентов ei, |
в2, ..., е п, удо |
||||
влетворяю щ их соотнош ениям |
|
|
|
|
|
|
(е г, ®&) |
1 |
при |
i = /с, |
(4.25) |
|
0 |
при |
i ф к |
||
|
|
|
(т. е. попарно ортогональны х и имею щ их норм ы , равны е единице).
3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО |
109 |
К а к и в п. 1 § 2, доказы вается, что эти элем енты линейно независи
мы и потому образую т базис.
В полной аналогии с доказательством теорем ы 4.3 (т. е. с помощ ью
процесса ортогонализации) устанавливается сущ ествование в произ
вольном n -мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.
В ы разим скалярное произведение двух произвольны х элем ентов х и у n -мерного комплексного евклидова п ространства через их коорди
н аты x i , ж2, • • |
х п |
и у \ , у 2 , ... , |
у п |
относительно ортонорм ированного |
|||||||||||
базиса e i, е 2, ..., еп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т ак как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
x ie i + |
|
ж2е 2 |
+ |
... + |
жпеп, |
у |
= |
щ еi |
+ |
у2е 2 |
+ ... + |
упе п, |
||
то в силу аксиом 1°)-4°) и соотнош ений |
(4.25) получим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
|
|
|
(х, у) |
^ ^ |
|
|
^ |
^ Ук^к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
к = 1 |
|
г = 1 к = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Х\У 1 |
+ Х2 У2 + . .. |
+ Хпу п . |
||||
В ы разим далее |
координаты |
ад, ж2, ... , х п |
произвольного |
элемен |
|||||||||||
та х относительно ортонорм ированного базиса e i, е 2, ..., |
еп. |
|
|||||||||||||
У м нож ая |
разлож ение |
этого |
элемента |
по |
базису |
х = |
х±е± + |
||||||||
+ ж2е 2 |
+ ... + |
|
х п е п |
скалярно |
на |
щ |
и |
пользуясь |
соотнош ениями |
||||||
(4.25), получим |
(для лю бого |
к , равного 1, 2, ... , |
п ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
е к) |
|
^ ^ жге г, |
|
|
^ |
^ ^г(е П |
е &) |
= ЗД • |
|
И так, |
как и в случае |
вещ ественного |
евклидова пространства, |
ко |
|
ординат ы |
произвольного |
элем ент а х |
от носит ельно |
орт онорм иро |
|
ванного базиса равны скалярны м произведениям эт ого |
элем ент а |
на |
|||
соот вет ст вую щ ие базисные элем ент ы . |
|
|
|
В полной аналогии с доказательством теорем ы 4.4 устанавливает
ся, что все ком плексны е евклидовы прост ранст ва одной и т ой ж е разм ерност и п изоморф ны м еж ду собой.
п о |
ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
§ 4. М етод регуляри зац и и д л я оты скания норм ального
реш ен ия линейной систем ы
Снова возвратим ся к рассм отрению общей линейной системы т
уравнений с п неизвестны м и вида |
(3.1). Э ту систему к ратк о запиш ем |
||||||
в м атричной ф орм е 17) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А Х |
= |
В . |
(4.26) |
Н апомним, что |
в этой записи |
символ А обозначает м атрицу а — ||а^-|| |
|||||
(г = 1 , 2 , . . . , |
ш; |
j = 1, |
2, . .. , |
n), |
а символы X и В |
обозначаю т столб |
|
цы (или векторы ) вида |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X I |
|
|
Ь \ |
|
|
|
X |
Х 2 |
, |
|
ъ 2 |
|
|
|
= |
в |
= |
|
||
|
|
|
Х п |
|
|
Ь т |
|
первы й из |
которы х |
п одлеж ит |
определению , |
а второй — задан . |
Будем рассм атри вать случай, когда значения элементов м атрицы А
и столбца свободных членов В задан ы нам лиш ь приближ енно 18) . То гда естественно говорить лиш ь о приближ енны х значениях искомого столбца X . И злож енны е в преды дущ ей главе и основанны е на ф орм у
лах К р ам ер а алгоритм ы вы числения столбца реш ений X в этом слу
чае м огут приводить к больш им погреш ностям и теряю т практический
смысл |
19) . |
|
|
|
|
|
|
В |
этом п ар агр аф е |
мы излож им принадлеж ащ ий А .Н . |
Тихоно |
||||
ву алгоритм , |
позволяю щ ий находить так |
назы ваем ое |
норм альное |
||||
(т. е. |
наиболее |
близкое |
к началу |
координат) реш ение |
X |
с точно |
|
стью , |
соответствую щ ей |
точности |
задан и я |
элем ентов м атрицы А и |
столбца В 20) .
Введем в рассм отрение так назы ваем ы е сф ерические нормы столб-
17)См. формулу (3.6) из предыдущей главы.
18)Такая ситуация будет иметь место в случае, если эти значения получаются из физических измерений или если в процессе вычислений приходится округлять указанные значения до некоторого знака.
19)Особенно это относится к случаю так называемых «плохо обусловленных» матриц (для которых «малые» изменения элементов матрицы базисного минора ведут к «большим» изменениям элементов обратной матрицы).
20)См. Тихонов А.Н. «О некорректных задачах линейной алгебры и устой
чивом методе их р еш ения»// Д оклады Академии наук СССР. 1965. Т. 163, №3. С. 591-594.