книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

изоэнтропой г—т5, но изоэнтропические процессы в отдельных ступе­ нях изображаются отрезками изоэнтроп, начинающимися в точках, соответствующих действительным значениям параметров на входе в каждую ступень. С общей изоэнтропой совпадает только изоэнтропа расширения в I ступени (отрезок г—т16), остальные расположены правее ее.

Поэтому изоэнтропическая работа расширения в турбине в целом

выделена штриховкой на рис. 4.19.

Эта особенность является результатом того, что потери в преды­ дущей ступени, выделяясь в виде тепла, несколько нагревают газ на входе в последующую ступень и как бы увеличивают располага­ емый перепад энтальпии в этой ступени. Иногда говорят, что в сту­ пени имеет место частичный возврат тепла потерь, выделившегося в предыдущей ступени. Указанное обстоятельство определяет за­ висимость между КПД турбины в целом и ее отдельных ступеней.

Очевидно, что суммарная работа многоступенчатой турбины равна сумме работ всех ступеней этой турбины:

Тогда, с учетом определения внутреннего изоэнтропического КПД

многоступенчатой турбины больше КПД ее отдельных ступеней. Причиной тому рассмотренный выше частичный возврат тепла по­ терь в предыдущих ступенях.

КПД отдельных ступеней многоступенчатой турбины (за исклю­ чением охлаждаемых, у которых КПД меньше) отличаются друг от друга на 1—2 %. Поэтому КПД многоступенчатой турбины также на 1—2 % больше КПД ее отдельных ступеней.

Если же провести аналогичное рассуждение для политропических КПД турбины и учесть, что сумма политропических работ расшире­ ния в отдельных ступенях равна общей политропической работе многоступенчатой турбины (Ьтпол ~ пл. 1—г—т—2), то из выраже­ ния, аналогичного (4.55), установим, что политропический КПД многоступенчатой турбины равен КПД ее отдельных ступеней (если

во всех ступенях они были бы одинаковы).

91

Г л а в а 5

АЭРОДИНАМИКА ТЕЧЕНИЙ И ПОТЕРИ В ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН

5.1. Общие вопросы аэродинамики лопаточных машин

5.1.1. Задачи и методы аэродинамического расчета

В предыдущей главе основные уравнения теории лопаточ­ ных машин, рассмотренные ранее, использовались для термодина­ мического анализа процессов в лопаточной машине. Для такого анализа, как было показано, достаточно простейшей одномерной мо­ дели лопаточной машины. Рассмотрение аэродинамических процес­ сов в лопаточной машине требует более сложных двух- и трехмерной моделей.

Ранее указывалось, что течение газа в лопаточном венце турбо­ машины имеет достаточно сложный характер. Отметим дополни­ тельно наиболее важные особенности этого течения.

1. Течение газа носит пространственный характер. В основном вследствие больших окружных компонент скоростей возникают большие градиенты скоростей и давлений в направлении радиуса г. Поэтому поля скоростей, давлений, плотностей и температур сильно изменяются вдоль радиуса. Из-за искривления межлопаточных каналов возникают большие градиенты скоростей и давлений в ок­ ружном (ф) направлении. Наконец, вследствие сжимаемости сущест­ венно изменяются параметры вдоль оси г турбомашины. Таким об­ разом, движение газа зависит от трех пространственных координат,

т.е. является трехмерным.

2.На течение газа сильное влияние оказывает вязкость жид­ кости и газа. Реальное течение газа в лопаточной машине является турбулентным. Без учета вязкости невозможно иметь представление

овозникающих при течении потерях и, следовательно, оценить КПД лопаточной машины. Кроме того, возникновение отрыва вяз­ кого потока от рабочих поверхностей лопаточной машины приводит к изменению качественных характеристик лопаточных машин, главное из которых — возникновение неустойчивости течения в комп­ рессорах и насосах. Для расчета таких течений необходимо решать нестационарные уравнения Навье—Стокса. Решение этих уравнений невозможно без использования численных методов, в которых рас­ четная область течения аппроксимируется конечным числом рас­ четных точек. Основная трудность такого расчета турбулентных те­ чений связана с тем, что в турбулентности важное значение имеют движения, масштабы которых намного меньше расстояний между узловыми точками в самых мелких расчетных сетках, используемых на практике. Перечисленные и другие трудности приводят к тому, что прямые расчеты полей турбулентных течений с использованием

уравнений Навье—Стокса практически невозможны. Другой путь к расчету турбулентных течений заключается в построении моделей течения, описывающих поведение осредненных характеристик по-

92

тока, т. е. использование уравнений Рейнольдса. Однако в этом случае система уравнений оказывается незамкнутой (число неиз­ вестных превышает число уравнений) и приходится применять взятые из опыта замыкающие соотношения, простейшим из которых является модель пути смешения. Выход из создавшихся трудностей, как известно, был предложен Л. Прандтлем, который в начале века разработал модель пограничного слоя. Эта модель позволила исполь­ зовать для расчета течений, в том числе в турбомашинах, развитые еще в середине XVIII века Л. Эйлером методы классической аэро­ динамики невязкой жидкости и газа. Модель пограничного слоя, полученная путем упрощения уравнений Навье—Стокса, учитывает эффекты вязкости только в тонком пристеночном слое, принимая, что в основном потоке (в его ядре) можно пользоваться уравнениями Эйлера для невязкого потока. Важно отметить, что если нет отрыва пограничного слоя от поверхности по основному свойству этого слоя, независимости параметров потока поперек слоя, можно, рас­ считывая распределение давлений для невязкого основного потока, считать, что это давление будет одинаковым как на внешней границе пограничного слоя, так и на поверхности обтекаемого тела. Кроме того, рассчитывая распределение скоростей в невязком потоке, можно оценить границу, где пограничный слой будет безотрывным.

Рассчитав параметры невязкого потока, затем переходят к рас­ чету пограничного слоя. Для турбинных решеток, в которых вслед­ ствие конфузорпого течения можно обеспечить безотрывное течение на номинальном режиме работы, рассмотренная схема позволяет рассчитать потери, достаточно удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными. Для компрессорных решеток, в ко­ торых вследствие диффузорности течения и возникающего отрыва расчет потерь пока не дает удовлетворительных результатов. Поэ­ тому для компрессорных решеток определение потерь производится на основе обобщения экспериментальных данных.

Итак, в связи с практической важностью расчетов течений не­ вязкого (идеального) газа, рассмотрим сначала подробно теорию

Как указывалось ранее, для непрерывных течений идеаль­ ного газа используются дифференциальные уравнения (2 .6) и (2 .7 ), эквивалентные (2 .1 ) и (2 .2 ).

В левой части уравнения Эйлера (2.7) стоит так называемая пол­ ная или индивидуальная производная. Полная производная фикси­

93

Первый член в правой части уравнения (5.1) определяет локаль­ ное ускорение, а второй — конвективное ускорение. В случае ста;

Для рассматриваемого баротропного процесса, когда давление зависит только от плотности, введем функцию Р = J ——. Градиент этой функции

Для того чтобы получить интегралы уравнений движения, приведем их к форме Лемба—Громеки. Применим известную формулу вектор­ ного анализа:

Уравнение (5.6) и есть уравнение в форме Лемба—Громеки.

В теории турбомашин при рассмотрении пространственных движений часто применяется цилиндрическая система координат. Рассмотрим, как записываются уравнения неразрывности и Эйлера в цилиндрических координатах. Начнем с урав­ нения неразрывности. Если выделить в цилиндрических координатах (г, ср, г) эле­ мент объема dv, то, приравнивая потоки массы через грани изменению массы внутри объема, получим [46]

Уравнение (5.7) и есть уравнение неразрывности в цилиндрических координа­ тах. Запишем теперь уравнение Эйлера в цилиндрических координатах. Очевидно, что полная скорость так выражается через проекции:

Дифференцируя выражение (5.6) и учитывая, что в цилиндрических координатах можно записать

grad р : дг tr+ г & +

94

dc

Рассмотрим установившееся движение; в этом случае— = 0 и по выражению

(5.11) будем иметь dE — 0. Таким образом, в установившемся движении полная энергия потока постоянна. При постоянстве полной энергии работа равна нулю. Это значит, что извлечь работу из установившегося движения невозможно Рассмо­ трим, чему равна работа в неустановившемся движении. Введем функцию Ф та­ кую, что

Поскольку мы находимся в неподвижной системе отсчета, то, фиксируя какуюлибо точку пространства, мы можем найти ее смещение: t = —ф/со, где со — угло­ вая скорость ротора. Учитывая это обстоятельство, можно записать

Имея в виду уравнение (5.11), окончательно получим dE — d / дФ \ дф \ дф / dt

=■- d со. Поскольку дФдф = сиг, а сог = и, то

Соотношение (5.14) есть дифференциальная форма формулы Эйлера. Таким образом, мы получили ответ на вопрос — чему равна работа в неустановившемся движении: работа определяется формулой Эйлера. Ответ на этот принципиальный вопрос мы получили, используя уравнения движения в форме Лемба — Громеки.

95

Рассмотрим другие важные выводы, которые следуют из уравнений движения в форме «Пемба — Громеки, причем будем принимать, что движение установившееся.

Показано (см., например, работу [46]), что непосредственно из уравнения (5.6) можно получить следующий интеграл уравнения:

Он справедлив для движения: безвихревого во всем потоке; вихревых вдоль линий тока, вдоль вихревых линий и для винтового течения.

Можно также в частном случае найти интеграл уравнения неустановившегос* движения [46].

5.2.Относительное движение

Всвязи с тем, что абсолютное движение во вращающемся венце турбомашины является неустановившемся, и наряду с тремя пространственными координатами, в уравнения входит в качестве аргумента время. Параметры потока зависят от четырех координат,

что вызывает определенные трудности при решении уравнений. В то же время, рассматривая относительное движение, ранее было отмечено, что это движение в практически интересных случаях мо­ жно считать установившемся (периодически неустановившемся). Поэтому нам необходимо установить вид уравнений движения и не­ разрывности в относительном движении. Начнем с уравнения дви­ жения. Будем рассматривать относительное движение при постоян­

—► —^

С учетом выражения (5.17) преобразуем w X rot w:

96

уравнений движения в абсолютном (5.15) и относительном (5.20)движениях, можно увидеть, что они отличаются на величину и?/2. Если струйки тока на входе во вращающийся венец турбомашины и на выходе из него располагаются на одном радиусе, то интегралы уравнений движения в абсолютном и относительном движе­

ниях совпадают (надо только абсолютную скорость заменить относительной до). В теории осевых турбомашин (при = и2) этот факт имеет большое значение. По­ тери в неподвижных и вращающихся решетках и все параметры течения находятся экспериментально продувкой плоских неподвижных решеток, поскольку интегралы уравнений движения при их = и2 совпадают. Это дало возможность для определения параметров потока (потерь, углов входа и выхода) во вращающихся решетках исполь­ зовать данные продувок неподвижных решеток.

Следует отметить, что при безвихревом абсолютном движении относительное

лельны вихревым линиям абсолютного движения (при вихревом абсолютном движе­

Уравнение неразрывности в относительном движении аналогично (5.7):

Итак, уравнения (5.21) и (5.22) составляют систему уравнений стационарного течения невязкой сжимаемой жидкости через враща­ ющийся лопаточный венец. Даже идеализированное течение (невяз­ кое, стационарное) достаточно сложное (параметры потока зависят от трех пространственных координат). Эта сложность заставила при­ бегать к ряду упрощений. Основное упрощение произвел Н. Е. Жу­ ковский в конце XIX и начале XX века. Он свел трехмерную за­ дачу к двум двухмерным — о закрутке лопаток вентилятора и винта по закону сиг - const и обтекании лопаток, расположенных на по­ верхностях вращения с параллельными оси г образующими (гипо­ теза цилиндрических сечений). Как мы видели выше, в этом случае интегралы Бернулли уравнений движения в относительном и аб* солютном движениях совпадают. Подход Н. Е. Жуковского послу­ жил основой для развития гидродинамики турбомашин. Еще в 1906 г. Лоренц рассмотрел задачу об осесимметричном течении невязкой несжимаемой жидкости. В этой работе в уравнениях движения от­ брошены производные по окружной координате и введена массовая

сила Fy что эквивалентно замене конечного числа лопаток бесконеч­ ным числом бесконечно тонких лопаток.

Распространенный в настоящее время подход к расчету простран­ ственного потока в венцах турбомашины состоит в решении предель­ ных двухмерных задач установившихся течений: осесимметричного течения через венцы с бесконечным числом лопаток и двухмерного течения на осесимметричных поверхностях токов в слое переменной толщины.

Трехмерная задача сводится к двум двухмерным задачам о те­ чении в слоях, образуемых поверхностями тока и 52 (рис. 5.1). В целях упрощения уравнения пространственного движения могут быть осреднены по координатам ср и г, где на поверхности S2 тече­

вариантны относительно поворотов на любой угол вокруг оси z. Ввиду симметрии потока речь идет о его расчете на средней поверх­ ности S2. В принятой модели для симметрии потоков предположим, что лопаточный венец состоит из бесконечного числа бесконечно тонких лопаток [51].

Уравнение поверхности S2 в цилиндрической системе координат S2 (г, ф, г) = 0. На поверхности S2 одну из координат, например ф, можно выразить через г и г\ ф = ф (г, г). В этом случае произвол-

98

ные искомых (как и любых подобных функций), вычисляемые по линиям /2г и m2z (рис. 5.2), определяются по формулам:

где А/ — скачок функции при переходе через лопатку; ^ — угловой шаг.

На рассматриваемой поверхности S2 справедливы равенства:

(5.25)

w x п = nrwr -f- nuwu+ nzwz = 0 ,

где п — нормаль к поверхности S2; dl — линейный элемент поверх­ ности.

Из соотношений (5.25) получим

Обратимся к рис. 5.2. Угол 6П определяет наклон поверхности лопатки к радиусу. Очевидно, что в случае радиальных лопаток 6П= = 0. В общем случае, как

видно из рис. 5.2,

= (5.27)

Угол рп (см. рис. 5.2) отличается от угла потока р и равен ему только тогда, когда меридиональные линии тока совпадают с поверхностями кругового цилиндра (т. е. когда wr ~ 0, 7 -- 0). Из рис. 5.2 следует, что

С учетом уравнений (5.24), (5.25), (5.28) соотношения (5.23) запи­ шутся так:

Осредним уравнения движения по координате ф. При осреднении

более высоких степеней пульсации пренебрегают. При осреднении производных по ф они вычисляются по формулам (5.29). Произведем операцию осреднения уравнений (5.22):

Принимая бесконечно большое число бесконечно тонких лопаток,

можно считать, что члены с (шх ft) компонент массовой силы равны нулю. Уравнения (5.30) называются уравнениями Лоренца. Исполь­

зуя условие (w х ft) = 0 , которое называется условием непротекания, и данные, приведенные на рис. 5.2, получим выражение для компонен­ тов массовой силы:

100