книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

В настоящем сборнике представлены работы, написанные С. П. Тимошенко на протяжении 1914— 1970 гг. Все они, кроме двух, вышли в свет на иност­ ранных языках (английском, французском, немецком и сербскохорватском), опубликованы в различных зарубежных изданиях и впервые публикуются на русском языке. В работах рассмотрены различные проблемы прочности, колеба­ ний и устойчивости конструкций. Большой объем составляют статьи по теории упругости. Здесь публикуется приближенный метод решения плоской задачи теории упругости, в котором функция напряжений выбирается в виде ряда функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, а коэффициенты этого ряда вычисляются из требования минимума потенциальной энергии. При анализе напряжений в листе в окрестности круговых вырезов автор рассмотрел нагру­ жение сдвигающими силами и растягивающими усилиями в двух направлениях, а также дал точный метод решения этой задачи; одновременно сформули­ ровал и приближенный метод решения задачи.

•В сборнике представлен цикл работ по изгибу и кручению стержней, дано использование аналогии функции напряжения при изгибе и кручении с функ­ цией, описывающей равновесие равномерно .натянутой на контур поперечного сечения мембраны. Поверхность мембраны представляется в виде ряда в за­ висимости от формы поперечного сечения, а коэффициенты этого ряда вычис­ ляются так, чтобы потенциальная энергия стержня была минимальной.

Четыре статьи сборника относятся к теории тонких упругих оболочек, в од­ ной из них изучается круговая цилиндрическая оболочка, в другой описывает­ ся метод асимптотического интегрирования осесимметричной сферической обо­ лочки, в остальных разбирается устойчивость оболочек в линейной постановке.

Теория тонких упругих пластин рассмотрена в ряде статей сборника. Это прежде всего исследование конечных прогибов круговых пластин. Автор впервые вывел уравнения конечных осесимметричных прогибов пластины в пе­ ремещениях и, рассмотрев их для случая чистого изгиба сплошной пластины, применил к полученной нелинейной системе дифференциальных уравнений численный метод. Он нашел прогибы прямоугольной пластины с учетом на­ чальной кривизны, развил способ решения произвольно нагруженной прямо­ угольной пластины, жестко закрепленной по всему контуру, дал расчет пря­ моугольных пластин с различным закреплением сторон при действии сосредо­ точенной поперечной нагрузки. В сборник включены работы по устойчивости однородных и подкрепленных пластин.

В исследованиях автора большое место занимают стержневые системы: арки, фермы, нити, стержни с начальной кривизной, перекрестные балки. Здесь следует отметить применение тригонометрических рядов, позволивших упростить решение задачи, а также решение энергетическим методом задачи об изгибе круговой трубы прямоугольного поперечного сечения с учетом его сплющивания. Приведены также работы по устойчивости плоской формы из­ гиба стержней и элементов ферм. Важный цикл работ относится к колеба­ ниям и удару стержней. Прежде всего следует отметить статью, посвящен­ ную построению уточненной модели поперечных колебаний призматических стержней, в которой выводится дифференциальное уравнение колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения; эта работа сыграла боль­ шую роль при разработке аналогичных теорий колебаний для пластин и оболочек. Публикуемая работа по проблеме удара груза по балке заметно расширила наше понимание самого механизма удара; автор принял во внима­ ние деформацию балки в месте удара согласно известной герцевой теории сжа­ тия, вычислил контактную силу в месте удара из условия равенства прогиба балки с учетом обжатия и пути груза с момента соударения в месте удара. Это дало возможность выявить время соударения груза и балки, установить характер поведения контактной силы во времени и выяснить закон изменения прогибо в впроцессе удара. При изучении крутильных колебаний круговых ва­ лов автор учитывал как массовые силы дисков, так и массу вала. Исследование поперечных колебаний стержней при движущейся нагрузке выполнены автором в связи с расчетом колебания мостов в случае прохождения по нему поездов.

Ряд интересных результатов по механике деформируемых твердых теполучен и при специальном исследовании отдельных конструкций. Эти иссле­

на напряжения в рельсах, дал интересную модель расчета рельса при сложном

и усталостью паровозных осей. Он предложил оригинальный метод определе­

мая 1972 г. Этот сборник не только дань памяти великому ученому, но и ценный

Публикация сборника моих работ на русском языке, предпринятая изда­ тельством «Наукова думка», меня бесконечно трогает. На Украине я родился, работал профессором Киевского политехнического института, был директором Института механики Украинской академии наук, состоял в числе первых шест­ надцати академиков этой академии. Кроме двух работ, все представленные в сборнике статьи первоначально опубликованы на иностранных языках и вы­ полнены после моего отъезда из России, во время моего пребывания в Югосла­ вии и Америке. Двадцать восемь статей было перепечатано в оригинале в сбор­ нике моих работ, вышедшем в Америке в 1953 г., остальные статьи никогда не перепечатывались. Большинство исследований имеет своим истоком работы, выполненные мною в России.

Я долго мечтал о том, чтобы на моей родине вышло собрание моих трудов. Изданием настоящего сборника и предстоящим выпуском сборника моих ра­ бот в Физматгизе это собрание, по существу, завершается, и это приносит мне ни с чем не сравнимую радость и удовлетворение.

С. П. Тимошенко

Декабрь 1971 г.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ 1

Etude de la flexion des barres au moyen d’une methode approximative.

ОСНОВНОЙ МЕТОД

Исследование изгиба стержней, основанное на интегрировании соот­ ветствующих дифференциальных уравнений, не представляет никаких за­ труднений, пока применим принцип сложения действия сил или в стати­ чески неопределимых случаях, если число лишних неизвестных невелико. Исследование одновременного действия изгиба и сжатия или изгиба и рас­ тяжения приводит к более сложным формулам, неудобным для практиче­ ского приложения, а исследование тех случаев изгиба, где приходится иметь дело с большим числом лишних неизвестных, может привести к весьма утомительной, а иногда и невыполнимой работе, состоящей в решении системы большого числа уравнений. Во многих случаях решение таких задач можно упростить и получить приближенный результат с достаточ­ ной для практических приложений точностью, не прибегая к интегрирова­ нию соответствующих уравнений. Приближенный метод основан на исполь­ зовании начала возможных перемещений. Будем исходить из основного уравнения

нение потенциальной энергии, соответствующее выбранному возможному перемещению.

Возьмем случай действия на балку системы вертикальных нагрузок Р£ (рис. 1). Принимая во внимание, что работа каждой из сил на какомлибо возможном перемещении равна Pfiy£, где бу£— приращение прогиба

Работа внешних сил на любом возможном отклонении изогнутой оси балки от положения равновесия равна соответствующему приращению потенциальной энергии. Так как при возможных перемещениях силы Рс

1 Более полное изложение этого вопроса имеется в работе Т и м о ш е н к о С. П. Применение нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластинок. Изв. Киевского политехнического института, Отдел инженерной механики, 1910, год 10, кн. 1, стр. 1—49. Отд. оттиск: Киев, 1910, 49 стр.

сохраняют свою величину, то уравнение (2) можно представить еще и в таком виде:

т. е. приращение заключенной в скобки разности на всяком возможном отклонении от положения равновесия равно нулю, и, следовательно, эта разность для положения равновесия достигает своего максимального или минимального значения. Такой вывод дает способ разыскания изогнутой оси балки. Из всех возможных форм нужно выбрать такую, которой соот­

ветствует максимум или минимум выражения

является задачей вариационного исчисления. Можно упростить ре­

и при заданных условиях на концах известен. Можно положить у = ср (х) и подобрать вид функции ср (х) так, чтобы были удовлетворены условия на концах и чтобы определяемая ею кривая подходила к искомой форме из­ гиба. Удовлетворить последнему условию можно, выбрав для ср (х) выра­ жение, включающее несколько произвольных параметров. Меняя величи­ ны этих параметров, получаем различные формы изгиба. Чтобы найти форму, наиболее подходящую к действительной, выберем для произволь­ ных параметров те значения, при которых выражение (4) имеет значение максимума или минимума. Так как теперь имеется конечное число пере­ менных, то задача сводится к отысканию обыкновенного максимума или минимума. Нужно составить производные от выражения (4) по каждому из параметров и приравнять их нулю. Уравнения эти и послужат для определения надлежащих значений параметров. Чем большее число па­ раметров будет взято, тем ближе кривая подойдет к искомой, тем большую точность будет иметь приближенное решение. Далее при рассмотрении частных задач увидим, что, ограничиваясь только одним произвольным параметром, можно при удачном выборе функции ср (х) получить вполне удовлетворительный результат.

ИЗГИБ БАЛОК С ОПЕРТЫМИ КОНЦАМИ

Применим метод, изложенный в предыдущем параграфе к исследова­ нию изгиба балок с опертыми концами под действием системы вертикаль­ ных нагрузок (рис. 1). В этом случае ось балки изогнется по кривой без

перегибов и место наибольшего прогиба будет близко к середине пролета. В качестве первого приближения положим, что балка гнется по синусоиде,

тех

тогда y = f sin-у—. Легко видеть, что эта форма изгиба удовлетворяет

условиям на концах. В самом деле, при х = 0 и х = I величины у и его вто­ рая производная по х у" обращаются в нуль. Следовательно, на опорах равны нулю прогибы и изгибающие моменты. Это соответствует случаю свободного опирания. Прогиб балки на расстоянии^-от левого конца равен

у. = f sin Наибольший прогиб, соответствующий середине пролета,

равен, очевидно, /. Выражение (4) в данном частном случае напишется

так: / У Р{ sin-^p- — V. Составляя производную от этого выражения по /

и приравнивая ее нулю, получаем уравнение

из которого может быть найдено значение параметра f. Нужно только вместо V подставить его выражение в зависимости от прогиба.

Для энергии изгиба имеется такое выражение:

/ /

Подставляя его в уравнение (5), получаем

2/3 V* п • яс/ £/jt4

Чтобы составить представление о точности этой формулы, применим ее к нескольким частным случаям. Если на балке имеется один груз Р, про­ гиб по середине будет

Эта формула отличается от точной f = Pl3/4:8EI примерно на 1,5%. Уменьшив расстояние с и при этом увеличив Р с таким расчетом, чтобы

произведение Рс сохраняло постоянное значение М, в пределе получим

вательно, даже для такого предельного положения нагрузки приближен­ ная формула дает вполне удовлетворительный результат. От изгиба сосредоточенными силами легко перейти к сплошной нагрузке, распреде­ ленной по любому закону. Обозначим через qинтенсивность нагрузки. В об­ щем случае она будет некоторой функцией от х. Если выделить один эле­ мент нагрузки qdx на расстоянии х от левой опоры, то вызываемый этим