lec7
.pdfВ.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
его аргумента кратных периоду дискретизации:
. |
(7.21) |
Это означает, что отсчѐты квазибелого шума, взятые с интервалом не коррелированны. Поскольку – гауссов процесс, то некоррелированность для него означает независимость. Когда отсчѐты случайного процесса независимы, его многомерная ПРВ может быть представлена в виде произведения одномерных:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(7.22) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– одномерная ПРВ шума, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- дисперсия |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- математическое ожидание |
. |
|
||||||||||
Когда сигнал отсутствует случайный процесс |
, |
|||||||||||||||||
равны также и их ПРВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (7.23) |
|
|
|
|
||
Когда сигнал присутствует, процесс |
|||||
представляет собой гауссов процесс |
, к которому прибавлена |
||||
детерминированная составляющая |
. Прибавление детермини- |
||||
рованной составляющей изменяет математическое ожидание исходного процесса и не изменяет его корреляционную функцию (и дисперсию), так как она определяется центрированной составляющей процесса. Поэтому в рассматриваемом случае также обладает свойством независимости отсчѐтов, имеет дисперсию
, |
равную дисперсии шума |
. С учетом сказанного, для ПРВ |
|||||
обрабатываемого случайного процесса запишем: |
|
||||||
|
|
|
|
|
, |
(7.24) |
|
где |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
(см. (7.9)).
Подставив выражение для математического ожидания и одномерной ПРВ в (7.24) получим:
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
(7.25)
.
Возвращаясь к (7.15) с учѐтом (7.23) и (7.25) для отношения правдоподобия запишем
(7.26)
.
В последнем выражении (7.26) выполним предельный переход
. При этом:
1. |
обработка сигнала является непрерывной; |
||
2. |
, квазибелый шум |
|
переходит в белый; |
3. |
|
|
– энергия сигнала; |
4. |
|
|
– коэффициент кор- |
|
реляции для сигналов |
и |
; |
5.Отношение правдоподобия преобразуется в функционал правдоподобия:
; (7.27) 6. и неравенство (7.15), определяющее об-
ласть, где располагаются реализации аддитивной смеси сигнала и шума имеет вид:
. (7.28)
7.Правило принятия решения (7.17) в случае непрерывной обработки:
. (7.29)
Подставим выражение для отношения правдоподобия в последнее неравенство:
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
. (7.30)
Рассматривая логарифм обеих частей неравенства в (7.30) и учитывая монотонность логарифмической функции, правило принятия решения перепишем в виде:
|
, |
(7.31) |
|||
где |
|
|
|
– пороговое значение. |
(7.32) |
|
|
||||
Полученное правило принятия решения показывает, что оптимальный обнаружитель должен определить коэффициент корреляции между обрабатываемой реализацией и сигналом
и сравнить его с пороговым значением .
X |
h |
|
|
|
«сброс» |
СФ 
h 
Рис.7.4. Структурные схемы оптимального обнаружителя детерминированного сигнала
Коэффициент корреляции может быть получен на выходе коррелятора (рис.5.2) или согласованного фильтра (рис.6.3) с параметрами , в момент времени . Структурные схемы оптимального обнаружителя показаны на рис.7.4.
В состав обнаружителя входит коррелятор или согласованный фильтр и пороговое устройство. Принцип оптимального обнаружения основан на сравнении обрабатываемого колебания с опорным сигналом. Когда коэффициент корреляции превышает пороговое значение, обрабатываемое колебание считается подобным опорному сигналу и принимается решение о его наличии. В схеме с коррелятором опорный сигнал генерируется непосредственно в месте обработки. Во втором случае информация об опорном сигнале определена структурой согласованного фильтра.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
7.4.2. Помехоустойчивость обнаружителя детерминированных сигналов
Качество обнаружения сигнала характеризуется вероятностью правильного обнаружения и вероятностью ложной тревоги .
Для определения этих характеристик обратимся к схеме оптимального обнаружителя с коррелятором (рис.7.4).
X |
h |
|
«сброс»
Рис. 7.5. К определению вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения
Рассматривая повторение опытов по обнаружению, приходим к задаче о воздействии на коррелятор с опорным сигналом
смеси |
сигнала и белого гауссова шума |
|
(или только шума |
), которая рассмотрена в п.5.2, где |
|
установлено, что отклик коррелятора |
является гауссовой слу- |
|
чайной величиной. В случае, когда сигнал присутствует, параметры распределения даются (5.20):
, |
|
|
|
. |
(7.33) |
|
|
||||
В случае, когда сигнал отсутствует – (5.19): |
|
||||
, |
|
|
. |
(7.34) |
|
|
|
||||
В соответствии с рис.7.5. правильное обнаружение будет |
|||||
иметь место тогда, когда при наличии сигнала (гипотеза |
) от- |
||||
клик коррелятора превысит пороговое значение |
и обна- |
||||
ружителем будет принято решение о том, что сигнал присутствует. Вероятность правильного обнаружения с учѐтом (3.19):
. (7.35)
Подставляя в (7.35) выражение для ФРВ гаусса (3.42) и (7.33), получим
. (7.36)
Вероятность правильного обнаружения определяется значением порога принятия решения, энергией сигнала и СКО отклика
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
коррелятора.
Ложная тревога будет иметь место, когда при отсутствии сигнала (гипотеза ) отклик коррелятора превысит пороговое значение и обнаружителем будет принято решение о том, что сигнал присутствует. Вероятность ложной тревоги с учѐтом
(3.19):
. (7.37)
Подставляя в (7.37) выражение для ФРВ гаусса (3.42) и (7.34), запишем
. (7.38)
Вероятность ложной тревоги определяется только значением порога принятия решения и СКО отклика коррелятора.
Выразим из (7.38) отношение порога принятия решения к СКО отклика коррелятора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.39) |
и подставим в (7.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
(см.(7.33),(7.34) и (6.22)), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
а также свойство |
|
|
|
|
, окончательно получим |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
(7.40) |
||||
Последнее выражение даѐт связь между вероятностью правильного обнаружения, вероятностью ложной тревоги и отношением сигнал/шум на выходе согласованного фильтра и определяет семейство кривых (рис.7.6), называемых кривыми обнаружения (кривыми Неймана – Пирсона).
Кривые обнаружения характеризуют потенциальные возможности по обнаружению сигнала (помехоустойчивость оптимального обнаружителя). Показатели качества обнаружения не зависят от вида используемого сигнала, а определяются только отношением сигнал/шум на выходе согласованного фильтра (то есть энергией сигнала и спектральной интенсивностью шума).
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
1 |
PD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.9 |
|
10 1 |
|
|
|
|
|
0.8 |
PF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
10 3 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
10 5 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
qсф |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Рис.7.6. Кривые обнаружения детерминированного сигнала
Кривые обнаружения используются при проектировании приѐмных устройств РТС обнаружения и позволяют по заданным в техническом задании показателям качества определить требуемое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.
Отдельно отметим, что выражение (7.32) в большинстве практических случаев не может быть использовано для расчѐта порога принятия решения, так как требует в качестве исходных данных значений вероятности появления сигнала на входе обнаружителя . Вероятность может быть определена, когда имеется определѐнная регулярность событий и возможность многократного их наблюдения. Однако, например, при проектировании РТС военного назначения получить такие данные бывает затруднительно: ввиду быстрых и резких смен боевой обстановки представляется сомнительным, что противник предоставит возможность многократно наблюдать его боевые полѐты и оценить вероятность его появления в рабочей зоне РТС. В подобных случаях задают приемлемое значение вероятности ложной тревоги
, после чего порог принятия решения, исходя из (7.33)-(7.34) и (7.39), определяют по формуле:
(7.41)
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
7.5. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой
7.5.1. Структура обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой
На вход обнаружителя (рис.7.1) поступает смесь сигнала (3.81) и шума, когда сигнал передавался, либо только шум, когда сигнал не передавался
|
, |
|
где |
, |
(7.42) |
|
||
– равномерно распределена на интервале |
. |
|
Оптимальный обнаружитель |
реализует |
правило принятия |
решения (7.17а) и для определения его структуры следует отыскать выражение для отношения правдоподобия, соответствующее рассматриваемому случаю.
Вернѐмся к случаю дискретной обработки сигналов и рассмотрим выражение для ПРВ обрабатываемого процесса при условии, что сигнал передавался. С учѐтом (3.7) и (3.10) запишем:
|
|
|
|
, (7.43) |
где |
|
– отсчѐты реализации |
обрабатываемого про- |
|
цесса |
; |
- совместная ПРВ процесса |
||
и случайной величины ; |
|
- ПРВ процесса |
||
при условии, что случайная величина |
приняла известное |
|||
значение; |
|
- ПРВ случайной величины . |
|
|
Подставив (7.43) в (7.16), для отношения правдоподобия получим
|
(7.44) |
|
|
|
|
|
, |
|
где |
- отношение правдоподобия, соответст- |
|
вующее сигналу с известным значением начальной фазы, то есть детерминированному сигналу.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
Переходя к случаю непрерывной обработки сигналов, (7.44) перепишем в виде
, |
(7.45) |
где функционал отношения правдоподобия для детерминированного сигнала даѐтся (7.27)
; |
(7.46) |
- детерминиро-
ванный сигнал.
Рассмотрим подробнее выражение для коэффициента взаимной корреляции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(7.48) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подберѐм такие величины |
и , |
чтобы (7.48) представлялись в |
|||||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(7.49) |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Нетрудно убедится непосредственной подстановкой, что |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
(7.50) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C учѐтом представления (7.49), выражение для коэффициен- |
|||||||||||||||||
та взаимной корреляции (7.47) можно переписать в виде |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7.51) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Структурная схема устройства, на выходе которого может быть получена величина , соответствующая (7.50) и (7.48) показана на рис.7.7.
Сравнивая рис.7.7 и рис.5.3 приходим к выводу, что величина может быть получена на выходе коррелятора огибающих с
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
опорными сигналами |
и |
в момент времени |
. |
X
«сброс» +
X
«сброс»
Рис.7.7. Структурная схема устройства для формирования Z
Чтобы подчеркнуть это, (7.51) перепишем следующим образом:
. (7.52)
Возвращаясь к (7.46), имеем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
(7.53) |
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив (7.53) в (7.45), учитывая, что |
|
и (3.54), для |
|||||
|
|||||||
функционала правдоподобия в случае сигнала со случайной начальной фазой получим
. (7.54)
Правило принятия решения (7.17а) с подстановкой (7.54) и с учѐтом монотонности (см. рис.3.4) преобразуется следующим образом:
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(7.55) |
||||||
где |
|
|
|
|
- порог принятия решения. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
Оптимальный обнаружитель сигнала со случайной началь- |
|||||||
ной фазой должен определить величину |
и сравнить еѐ с поро- |
|||||||
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
гом принятия решения . Когда имеет место превышение порога, принимается решение о наличии сигнала. Величина может быть получена на выходе коррелятора огибающих (КО) или как отсчѐт огибающей сигнала на выходе фильтра, согласованного с сигналом (см. рис.6.11). Структурные схемы оптимального обнаружителя показаны на рис.7.8.
КО 
h 
СФ 
ДО 
h 
Рис.7.8. Структурные схемы оптимального обнаружителя квазидетерминированного сигнала
Таким образом, оптимальная обработка при обнаружении сигнала со случайной начальной фазой предполагает сравнение комплексной огибающей обрабатываемого колебания с комплексной огибающей опорного сигнала, с последующим пороговым анализом значения модуля коэффициента корреляции.
7.5.2. Помехоустойчивость обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой
Для определения вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения обратимся к схеме обнаружителя с коррелятором огибающих и будем рассматривать повторение опытов по обнаружению (рис.7.9).
КО 
h 
Рис.7.9. К расчѐту характеристик помехоустойчивости обнаружителя