Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lec9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

866.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

aопт [ξ (t)]	R s	1	Tc	(t)s0 (t)dt .
	0				(9.30)
	E	E			(9.30)
	E	E	0
	0	0	0
Структурные схемы, соответствующие (9.30),					показаны на
рис.9.2.

		R	ˆ
		R	ˆ
(t)	К	s0	A
(t)	К
		1/ E0
		1/ E0

s0 (t)

(t)	СФ		ˆ
(t)	СФ		A
			t Tc
	s0	(t)	t Tc
	k	1/ E0

Рис.9.2. Структурные схемы оценивателей амплитуды детерминированных сигналов

Для определения потенциальной точности оценивания амплитуды детерминированного сигнала найдём вторую производ-

ную (9.29)

2		2E
	ln [ξ (t) \| A]	0	q2	,

A2			сф0
		N0

где

2E0

- отношение сигнал/шум на выходе фильтра со-

сф0

гласованного с сигналом s0 (t) , и воспользуемся (9.17):

2ˆ

M qсф2

qсф2 0

(9.31)

ln [ξ (t) | A]

9.6.2. Оценивание неэнергетического параметра детерминированного сигнала

Отношение правдоподобия в рассматриваемом случае даёт-

ся (7.27):

		E		2R
		E		s	,

	[ (t) \| ] exp	N0	exp	N0
		N0		N0
	Tc
где E s2 (t, )dt - энергия сигнала, независящая от ;
	0
Tc
R s	(t)s(t, )dt R s ( ) - коэффициент корреляции.

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

Логарифм отношения правдоподобия

ln [ (t) \| ]			2R s ( )	E	,	(9.32)
			N0	N0

Правило (9.27) конкретизируется в виде:
aопт [ξ (t)] : R s ( m )					ˆ	(9.33)
		max R s ( ) m .
	i 0...M 1

Структурные схемы многоканальных оценивателей, соответствующие (9.33), показаны на рис.9.3.

	R s ( 0 )		R s ( 0 )
К
		СФ0

t Tc

s(t, 0 )

( )

R s ( 1)

СФ1

С ˆ

(t)

s(t, 1)

t Tc

s(t, 1)

R s ( M 1)

СФM-1

t Tc

s(t, M 1)

Рис.9.3. Структурные схемы многоканальных оценивателей неэнергетического параметра детерминированного сигнала. К – коррелятор, СФ – согласованный фильтр, СВМ – схема выбора максимума.

Отметим, что аналогичные схемы рассматривались в разделе 5 (ср. рис.5.4).

Для определения потенциальной точности оценивания найдём производные (9.32):

	ln [ (t) \| ]	2	R		( ) ,
	ln [ (t) \| ]		R		( ) ,
		N0		s
		N0
2	ln [ (t) \| ]	2 2		R		( )	,
	ln [ (t) \| ]			R		( )	,
2		N0 2		s
2		N0 2

и (привлекая (9.1)) математическое ожидание:

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

ln [ξ (t) | ]

M R

()

ξs

M ξ (t) s(t, )dt

ξ (t)s(t, )dt

2 T

c s(t, 0 )s(t, )dt

r( , 0 ) qсф2

r( , 0 ) ,

где

- максимальное отношение сигнал/шум на выходе

сф

фильтра, согласованного с сигналом s(t, ) ,

r( , 0 )

s(t, 0 )s(t, )dt - нормированная АКФ по параметру.

Дисперсия оценки из (9.17)

2ˆ

λ min

r( , )

сф

Дисперсия оценки, соответствующая истинному значению параметра 0 :

2ˆ				1			.

				2
λ min		2		2			(9.34)
		2			r( , 0 )		(9.34)
		qсф
		qсф	2			0
						0
В п.5.5 (см.(5.69)-(5.69в)) показано, что АКФ является
функцией только	разности своих						аргументов, тогда

r( , 0 ) r( 0 ) r( ) и последнее выражение перепишется в виде:

2ˆ				1		.		(9.35)

		q2
λ min		q2		r (0)
		сф
В частности, при оценивании начальной фазы, из (5.69в) по-
лучим:
r( ) cos( ) ;			r ( ) cos( ) ;
	2ˆ				1		.
	2ˆ						.
	θ min				2
					q
					сф

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

Дисперсия оцен-

r( )				ки, как видно из (9.35),
1				ки, как видно из (9.35),
1				определяется	отноше-
				определяется	отноше-
				нием сигнал/шум на
				выходе согласованного
1		3		фильтра и второй про-
	2	3		изводной АКФ сигнала
1 2			3	изводной АКФ сигнала
1 2			3	по параметру в окрест-
				по параметру в окрест-
				ности нуля, которая ха-
				ности нуля, которая ха-
0				рактеризует	«остроту»

Рис.9.4. Графики АКФ в окрестности нуля	графика АКФ. Для по-

яснения сказанного аппроксимируем АКФ в окрестности нуля выражением

r( ) 1 2 .

Тогда для второй производной приближённо имеем: r ( ) 2 .

Фрагменты графиков аппроксимирующей функции в окрестности нуля показаны на рис.9.4 при различных значениях параметра . Из рисунка видно, что чем больше значение тем «острее» пик АКФ в окрестности нуля. При этом оказывается и большей по абсолютному значению производная АКФ и, соответственно (9.35), меньшей дисперсия оценки. (Другие качественные соображения были высказаны в п.5.5, см. также рис.5.5)

9.7. Оценивание неэнергетического параметра квазидетерминированного сигнала

9.7.1. Структура оценивателя и потенциальная точность

В случае сигнала со случайной амплитудой и фазой (7.61) s(t, ) Av(t, ) cos( 0t (t, ) θ) ,

где A и θ – независимые случайные величины, A имеет распределение Релея с параметром s , θ – равномерно распределена на интервале [ , ].

Функционал отношения правдоподобия		определяемый
(7.74) удобно представить в виде:
[ (t) \| ] a exp(b 2	) ,	(9.36)
s0

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

		N	0		2
где a			0	, b	s	,	Eср - средняя энергия сиг-
где a	N0	Eср		, b	2N0 (N0 Eср )	,	Eср - средняя энергия сиг-
	N0	Eср			2N0 (N0 Eср )
нала, s0 (t, ) v(t, ) cos( 0t (t, ))							- опорный сигнал корреля-
тора огибающих.

		( )
КО

	s0	0	СФ0
			СФ0

s0 (t, 0 )

( )

СФ1

КО

(t)

s0 (t, 1)

(t)

(

M 1

)

КО

СФM-1

s (t,

)

s0 (t, M 1)

M 1

s0 ( 0 )

ДО

t Tc

s0 ( 1)

ДО

t Tc	С	ˆ
t Tc	В
	В
	М

s0 ( M 1)

ДО

t Tc

Рис.9.5. Структурные схемы многоканальных оценивателей неэнергетического параметра квазидетерминированного сигнала. КО – коррелятор огибающих, СФ – согласованный фильтр, ДО – детектор огибающей, СВМ – схема выбора максимума.

Логарифм функционала отношения правдоподобия:

ln [ (t) \| ] ln a b 2	,	(9.37)
s0

С учётом (9.37) правило (9.27) конкретизируется в виде:

a	[ξ (t)] :	(	) max			ˆ
						( ) .		(9.38)
опт	s0	m	i 0...M	1	s0		m

То есть оптимальный оцениватель должен определить при каком значении параметра модуль коэффициента корреляции комплексных огибающих обрабатываемого колебания и опорного сигнала максимален. Это значение и принимается в качестве оценки.

Структурные схемы многоканальных оценивателей, соответствующие (9.38) показаны на рис.9.5.

Для определения потенциальной точности оценивания най-

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

дём производные (9.37):

					ln [ (t) \| ] b			2 ,
					ln [ (t) \| ] b			2 ,
									s0

				2	ln [ (t) \| ] b		2		2s ,
		2			ln [ (t) \| ] b		2		2s ,
		2					2		0

и математическое ожидание:
		2				2
	M		ln [ξ (t) \| ] b				M{ ξ2s0 }.			(9.39)
	M	2	ln [ξ (t) \| ] b			2	M{ ξ2s0 }.			(9.39)

ξs	представляет собой отклик коррелятора огибающих с опор-
0

ным сигналом s0 (t, ) на воздействие аддитивной смеси сигнала со случайной начальной фазой и амплитудой s(t, 0 ) и белого шума. Анализ этой ситуации выполнен в п.5.4, где установлено,

что	ξs		имеет		распределение Релея				(5.63)		с параметром
		0
2	2	2	2N	E		(где	E	- энергия сигнала		s	(t, ) ), матема-
1	s	ss		0	0		0			0
		0

тическое ожидание и дисперсию (5.64). Используя (3.77), запишем

M{	2	} M	2	{		}	2			2	2		2
M{	ξs	} M		{	ξs	}				1	2
	ξs				ξs				2	1			1
	0				0			ξs	2			2
								0

				2 2			2 2	2	4N	E .
						1	s	ss		0 0
								0
Возвращаясь к (9.39), получим:
	2			2

M		ln	[ξ (t) \| ] 2 s2b		ss2 0 .				(9.40)
M	2	ln	[ξ (t) \| ] 2 s2b	2	ss2 0 .				(9.40)

Здесь
T
ss cv(t, 0 )v (t, )dt ( , 0 ) ( ) -						автокорреляционная
0
0
функция комплексной огибающей v(t, ) по						параметру			. По-
скольку параметр			для комплексной огибающей является не-

энергетическим, то (см. п. 5.5) корреляционная функция является функцией разности 0 .

Дисперсия оценки из (9.17):

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

2ˆ			1			.

			2
λ min	2 2b		2	2 ( , )


	s	2			0
		2

Дисперсия оценки, соответствующая истинному значению параметра

											2ˆ																1								,

																							2
											λ min							2b					2			2 ( , )
															2
															2					2
																		s		2								0		0
или																														0
или
											2ˆ																1							.

																									2
											λ min							2b							2		2
															2													()
															2					2								()
																		s		2										0
Далее, с учётом (3.79), рассмотрим																														0
Далее, с учётом (3.79), рассмотрим
2 2b			2					4										4			4								E2
								s													s								0

s	2N		(N					E ) 4N									(N					E )							E2
	2N	0	(N			0		E ) 4N								0	(N		0			E )							E2
		0				0				ср						0			0							ср		0
								Eср2					1													4Eср2							1					1		qсф4		.ср	,
		4N		2							Eср		E2					16N							2				2Eср				E2				16E2				q2		,
											Eср		E2																2Eср				E2				16E2				q2
							1						0													1						0					0		1		сф.ср
				0							N0													0
				0																				0																		2
																													2N0													2
где qсф.ср					2Eср						- среднее отношение сигнал/шум на выходе
где qсф.ср							N0				- среднее отношение сигнал/шум на выходе
							N0
согласованного фильтра.
И окончательно
		2																			1															.
	ˆ
													4

		λ min									1												2
											1		qсф.ср										2					2 ()													(9.41)
												2				2										2		2 ()													(9.41)
									16E0 1					qсф.ср																	0
														qсф.ср

																	2

Дисперсия оценки определяется средним отношением сигнал/шум и второй производной (остротой пика графика) квадрата

модуля нормированной АКФ сигнала по огибающим 2 ( ) .

4E02

В дальнейшем будет полезно следующее выражение для расчёта второй производной модуля корреляционной функции,

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

входящей в (9.41):

	2	2 ( )				2		( ) ( )

2							2

																( )

							( )						( )								( )

										2 Re ( )							( )
										2 Re ( )							( )

									2
									2

							( )			2								( )
				2 Re			( )			2	( )							( )				( )

																			2										2
																			2										2

															( )									2					.
																													.
											2 Re									2 ( )							( )


Теперь, поскольку (0) 2E0 , можем записать:
	2		2	( )		4E0		Re		2		( )					2				( )		2			.		(9.42)
																							2


	2									2
	2				0					2				0											0

9.7.2. Потенциальная точность оценивания времени запаздывания квазидетерминированного сигнала

При оценивании времени запаздывания сигнала s(t, ) Av(t )cos( 0 (t ) (t) θ)

Av(t ) cos( t (t) θ)

0 0

v(t, )

(t, )

потенциальная точность характеризуется временной корреляционной функцией комплексных огибающих (5.97):

	1
( ) v(t)v (t )dt		\| V ( ) \|2 e j d .
	2

Найдём первую и вторую производные для (9.42):

		1
	( )	1			j \| V ( ) \|2			e j d ;
	( )	2			j \| V ( ) \|2			e j d ;
		2

2	( )			1		2		2		j
							\| V ( ) \|		e		d ;
2							\| V ( ) \|		e		d ;
2			2

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

					2			1								2
					2			1								2
			( )								\| V ( ) \|2 d					;
			( )					2			\| V ( ) \|2 d					;
								2
						0

		2								1		2		2


Re				( )									\| V ( ) \|		d .
Re	2			( )					2				\| V ( ) \|		d .
	2						0		2
							0

Подставив полученные результаты в (9.42), получим:

2		2			1	2		2		1		2	2
2					1					1			2

	2		( )	4E0			\| V ( ) \|		d 2		\| V ( ) \|		d
				0	2					2
				0	2					2

(9.43)

Введём в рассмотрение нормированный энергетический спектр комплексной огибающей сигнала

				1 \| V ( ) \|2
W ( )						0 .
W ( )			2			0 .
			2		2E
					0
Поскольку
		1
2E		1			\| V ( ) \|2 d ,
2E					\| V ( ) \|2 d ,
0	2
	2

то введенная нормировка обеспечивает выполнение условия:

W ( )d 1.

(Ср. аналогичное условие нормировки для ПРВ) Обозначим

1	\| V ( ) \|2
		d W ( )d -
		d W ( )d -
2	2E0

(9.44)

(9.45)

первый начальный момент нормированного энергетического спектра сигнала. Он определяет координату центра симметрии фигуры, образованной графиком энергетического спектра и осью абсцисс. (Ср. аналогичное определение для математического ожидания).

Обозначим

2	1		2 \| V ( ) \|2			2	W ( )d -	(9.46)

		( )			d ( )

2	2			2E0

второй центральный момент нормированного энергетического спектра. Он характеризует отклонение графика энергетического

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

спектра от своего центра симметрии – эффективную ширину спектра . (Ср. аналогичное определение дисперсии).

В качестве примера на рис.9.6 показаны несколько графиков нормированного энергетического спектра, обозначены абсциссыи ширина спектра . В большинстве случаев ориентировочно можно считать, что гармонические составляющие сигнала, оп-

ределяющие	его			форму,		локализованы			в		интервале
[ 1,5 , 1.5 ].
W ( )				3			W ( )		1
W ( )				3			W ( )			3
	0	.4							0.8
	0	.3							0.6
	0	.2							0.4
	0	.1							0.2

4	2		0	2	4	2 1.5	1	0.5	0	0.5	1	1.5	2

W ( )			3						W ( )
	0	.4	3					0.4	W ( )
	0	.3						0.3		3
	0	.3						0.3
	0	.2						0.2
	0	.1						0.1

4	2		0	2	4	4	2	0	2	4	6	8	10

Рис.9.6. Примеры энергетических спектров комплексных огибающих сигналов

С учётом введённых обозначений (9.43) преобразуется следующим образом:

2		2						1		2			2			2	2


			( )				4E0				\| V ( ) \|			d		8E0
2			( )				4E0	2			\| V ( ) \|			d		8E0
2					0			2
					0		\| V ( ) \|2
				1			\| V ( ) \|2
	2					2					2			2		2		2	2
	2					2					2			2		2		2	2
8E0				2			2E		d			8E0			W ( )d 2
							0


2	2		2
		W ( )d
8E0	W ( )d 2		W ( )d

2		2	2		2
					.
			8E0
8E0	( ) W ( )d
				2

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.05 Mб23lec5.pdf
#
12.03.2015864.18 Кб28lec6.pdf
#
21.08.2019134.14 Кб0Lec6f.doc
#
12.03.2015941.86 Кб27lec7.pdf
#
12.03.2015843.65 Кб20lec8.pdf
#
12.03.2015866.32 Кб15lec9.pdf
#
28.09.2019217.09 Кб2lect2.doc
#
18.08.2019216.06 Кб5Lection 2.doc
#
18.08.2019341.5 Кб1Lection 3.doc
#
18.08.2019195.58 Кб3Lection 5.doc
#
18.08.2019239.1 Кб2Lection 6.doc