4.Энергия стационарного магнитного поля
Общее
выражение для энергии магнитного поля,
сосредоточенной в некотором объеме
,
остается справедливым и в случае
стационарных процессов:
(28)
Формулу
(28)
можно преобразовать таким образом,
чтобы магнитная энергия была выражена
через токи, создающие магнитное поле.
Для этого заменим в (28)
вектор
его представлением через векторный
потенциал
.
Используя тождество 
,
получаем
(29)
Первый
интеграл в уравнении (29)
преобразуем в поверхностный интеграл,
используя теорему Остроградского-Гаусса,
а во втором интеграле выразим 
через плотность токов 
с
помощью равенства 
.
Тогда
соотношение (29)
примет вид
(30)
где
-
поверхность,
ограничивающая объем
.
Выберем
в качестве поверхности 
сферу
радиуса 
и устремим 
к бесконечности, т.е. распространим
интегрирование в (30)
на все пространство.
Любая
пространственно ограниченная система
токов создает магнитное поле, напряженность
и векторный потенциал
которого при 
убывают пропорционально 
и 
соответственно (или еще быстрее). При
этом поверхность 
возрастает
пропорционально 
.
Следовательно, в пределе при 
первый интеграл в правой части уравнения
(4.29) будет равен нулю. В результате
получим
(31)
В
случае линейных токов выражение для
энергии магнитного поля упрощается.
Рассмотрим вначале уединенный контур
с током 
.
Формула (31)
для этого контура принимает вид
(32)
Применим к интегралу в (32) теорему Стокса:
(33)
где
-
магнитный поток через поверхность 
,
опирающуюся
на контур 
.
Подставляя (33)
в (32),
получаем
(34)
В
случае
контуров 
выражение
для 
записывается
следующим образом:
(35)
где
-
магнитный поток, сцепленный с контуром
,
а 
-
ток в контуре 
.
В
формуле (35)
векторный потенциал
и поток 
обусловлены не только током 
,
но и токами в остальных контурах. В силу
принципа суперпозиции можно записать
следующее равенство:
(36)
где
- векторный потенциал, создаваемый в
рассматриваемой точке током
,
протекающим в контуре
.
Выделим
в сумме (36)
векторный потенциал 
,
соответствующий току 
:
(37)
и подставим в (35). В результате придем к выражению
Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде
(38)
где
-
поток, сцепленный с контуром 
,
который обусловлен током 
контура
.
Первое слагаемое в правой части формулы (38) определяет собственную энергию контуров системы, а второе - взаимную энергию.
5. Индуктивность
Поток
,
пронизывающий уединенный контур 
,
пропорционален току в этом контуре:
(39)
Коэффициент
зависит
от конфигурации и размеров контура 
и называется его
индуктивностью.
Индуктивность измеряется в генри (Гн).
Из закона индукции Фарадея и формулы
(39)
следует, что индуктивность уединенного
контура численно равна величине эдс,
наводимой в этом контуре при линейном
изменении его тока на 1 А за 1 с.
Подставляя (39) в (34), получаем
(40)
В
случае
контуров
поток 
пропорционален
току 
:
(41)
Коэффициент
пропорциональности 
при 
называют взаимной
индуктивностью
контуров 
и 
,
а коэффициент 
-
собственной
индуктивностью
контура 
.
Коэффициент
при
можно
определить следующим образом.
Воспользовавшись формулами (33)
и (15),
представим выражение для потока 
в виде
(42)
где
и
-элементы
контуров 
и
соответственно, a
-
расстояние
между этими элементами.
Приравнивая правые части формул (42) и (41), получаем
(43)
Как
видно, взаимная индуктивность контуров
и 
зависит только от их формы и взаимного
расположения и не изменяется при
перестановке индексов (свойство
взаимности):
(44)
Из закона индукции Фарадея и формулы (41) следует, что взаимная индуктивность двух контуров численно равна эдс, наводимой в одном из них при линейном изменении тока в другом на 1 А за 1 с.
Перепишем выражение для энергии магнитного поля системы линейных токов с учетом равенства (41):
Таким образом, для определения энергии магнитного поля системы линейных токов достаточно знать собственные и взаимные индуктивности и токи в них.