2. Магнитостатика

Предположим, что в каждой точке рассматриваемой области плотность тока проводимости равна нулю (), а сама область не охватывает тока. Кольцевые области, сцепленные с током (рис.12), в данном разделе не анализируются.

У

Рис.4.2

Рис.12

равнения описывающие магнитное полезаписываются . Интегральные соотношения магнитостатики получаются из уравнения Максвелла, если в последних положить . При этом второе уравнение остается без изменений а первое принимает вид

(7)

Так как в рассматриваемом случае , то по аналогии с электростатикой можно ввести в рассмотрение скалярную функцию, , называемую магнитостатическим потенциалом и связанную с вектором соотношением

(8)

В однородной среде магнитостатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

(9)

Разность значений магнитостатического потенциала между точками и можно представить в виде

(10)

На границе раздела двух сред с разными магнитными проницаемостями ( и ) должны выполняться общие граничные условия для составляющих векторов и :

Таким образом, напряженность магнитостатического поля и напряженность электростатического поля в области без зарядов удовлетворяют одинаковым уравнениям и однотипным граничным условиям. Следовательно, решение задач магнитостатики можно получить из решений аналогичных задач электростатики простой заменой в них на и на .

3. Магнитное поле и постоянный ток

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток или область охватывает ток (рис. 12), магнитостатический потенциал становится неоднозначной функцией. Разность его значений между точками и зависит от контура, по которому выполняется интегрирование в формуле (10), а именно при каждом обходе контура вокруг тока в положительном направлении (так, чтобы контур образовывал с направлением, в котором течет ток, правовинтовую систему) значение интеграла в (10) возрастает на величину .

Таким образом, магнитостатический потенциал не позволяет установить связь между стационарным магнитным полем и создающим его постоянным током. Для определения стационарного поля обычно вводят векторный потенциал , связанный с векторами и соотношениями

(11)

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет уравнению

(12)

при

Если токи сосредоточены в ограниченной области , то решение уравнения:

(13)

где - расстояние от элемента до точки, в которой вычисляется потенциал.

Если токи распределены по поверхности с плотностью , равенство (13) следует заменить выражением

(14)

а в случае линейного тока , протекающего по контуру ,- формулой

(15)

В (14) и (15) - расстояние от элементов и соответственно до точки, в которой вычисляется потенциал.

Перейдем от векторного потенциала к напряженности магнитного поля . Предполагая, что пространство заполнено однородной изотропной средой, получаем

(16)

Учитывая, что плотность тока не зависит от координат точки, в которой вычисляется поле, и используя тождество , преобразуем подынтегральное выражение в (16):

(17)

где Ro - орт вектора , проведенного из в точку наблюдения.

Подставляя (17) в (16), получаем

(18)

К аналогичным выражениям для вектора в случае поверхностных и линейных токов:

(19)

(20)

Представляют собой интегральные формы закона Био-Савара:

(21)

Закон Био-Савара характеризует магнитное поле , создаваемое элементом тока . Покажем, что поля также можно представить в виде суперпозиции элементарных полей , от отдельных элементарных токов. И получим выражение

Найдем магнитное поле и векторный потенциал прямолинейной бесконечно-протяженной уединенной нити, обтекаемой постоянным током. Получаем напряженность магнитного поля нити

(22)

Векторный потенциал рассматриваемой нити должен иметь только - ю составляющую , величина которой зависит от координаты . Учитывая (11) и расписывая в цилиндрической системе координат, получаем , откуда следует, что

(23)

Интегрируя выражение (23) по , находим

(24)

Постоянную в формуле (24) обычно полагают равной нулю.

Тогда

(25)

От формулы (25) нетрудно перейти к выражению для потенциала, создаваемого токами, неизменными вдоль оси , которые протекают по цилиндру произвольного сечения

(26)

где - расстояние от элемента , характеризуемого координатами до точки наблюдения .

Если поле создано поверхностными токами, распределенными по некоторой цилиндрической поверхности , образующие которой параллельны оси , а плотность поверхностных токов не зависит от координаты , то векторный потенциал выражается формулой

(27)

где -линия пересечения поверхности с плоскостью, перпендикулярной к оси , a -расстояние от элемента до точки , в которой вычисляется потенциал.