2. 4. Метод касательных (Метод Ньютона)
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Причем производные f ‘(x) и f ’’(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки.
Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой.
Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0, т.е. f ‘(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки (рис. 2.11)
y
в
B0
a b ξ
x
x1
x2
Рис. 2.11
Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B0(b, f(b)).
Уравнение касательной в точке B0: y-f(b)=f ’(b)(x-b).
Полагая y=0,
найдем
.
Теперь
.
Применяя метод
еще раз для отрезка
,
получим
.
(2.4)
Пусть теперь f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.12)
y
b
x1
x2 ξ
x a
A0
Рис. 2.12
Если снова провести касательную к кривой в точке B, то она пересечет ось ox в точке не принадлежащей отрезку [a, b].
Поэтому проведем касательную в точке A0(a, f(a)).
Ее уравнение y-f(a)=f ‘(a)(x-a).
Находим x1, полагая y=0
.
Корень
,
применяя снова метод касательных,
получим
и т.д., тогда
(2.5)
Сравнивая формулы (2.4) и (2.5) между собою, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимают конец b отрезка, во втором – конец a. При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за начальную точку следует выбрать тот конец отрезка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком производной.
Условие окончания
вычислительного процесса:
,
где
- заданная точность.
2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень отделен на отрезке [a, b].
Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13)
y
в
B0
a ξ
a1
a2
x b
b1
b2
A0
Рис. 2.13
В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b).
Тогда вычисления следует проводить по формулам:
;
.
Теперь корень ξ заключен в интервале [a1, b1].
Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:
;
и т.д.
;
(2.6)
Если же f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.14), то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:
y
a
b2 ξ
x b
b1
Рис. 2.14
;
.
Вычислительный
процесс прекращается, как только
.
Задания. Найти наименьший положительный корень уравнения одним из методов, указанных преподавателем.
|
1.
|
2.
|
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
