Министерство науки, высшей школы и технической политики
Российской Федерации
Ивановский ордена Трудового Красного Знвмени
химико-технологический институт
211
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ,
ОПИСЫВАЕМЫХ. ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
Методические указания
Составители: В.А.Таланова
C. М. Чаусова
Иваново 2008
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ И
ПРОГРАММИРОВАНИЮ
Наименование: Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями .
1.1 Содержание работы и порядок выполнения
Задача, предлагаемая в курсовой работе - задача прямого моделирования - получение однозначного решения при условии, что математическая модель определена полностью, т.е. известны все параметры модели, начальные условия, задается:
Схема механизма химической реакции.
Константы скоростей отдельных стадий реакции.
Начальные концентрации компонентов.
Продолжительность реакции.
Метод численного решения дифференциальных уравнений кинетики.
Требуется:
1.Составить кинетическую модель данной химической реакции.
2. Выполнить на калькуляторе численное решение дифференциальных
уравнений кинетики с целью получения кинетических зависимостей компонентов реакции в виде таблиц и графиков функций (t) для пяти равноотстоящих значений t .
2. Выполнить программирование задачи для ЦВМ на алгоритмическом
Языке Паскаль.
3. Решить задачу на ПК для 20 равноотстоящих значений t .
1.2. Содержание и оформление отчета
Отчет по курсовой работе должен включать формулировку задания, а также подробное описание порядка выполнения работы в соответствии с предыдущим разделом ''Содержание и порядок выполнения".
В отчете должны быть представлены:
система дифференциальных уравнений, представляющая кинетическую модель данной химической реакции;
описание метода численного решения системы дифференциальных уравнений;
результата численного решения задачи на калькуляторе в виде таблиц, графиков»
Паскаль-программа решения задачи или решение с помощью Excel;
результаты решения задачи на ПК в виде таблиц и графиков решений, построенных на миллиметровой бумаге. Отчет оформляется в тонкой (12 листов) ученической тетради.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Маршрут химической реакции принято отражать с помощью стехио-метрического уравнения, которое показывает, в каких соотнешениях вещества вступают во взаимодействие.
Компоненты реакции обозначают буквами А,В,С,...
Например, А + В ->2С - стехиометрическое уравнение.
Если стехиометрическое уравнение отражает механизм химической реакции, то оно служит основанием для составления кинетических уравнений.
Кинетические уравнения определяют связь между скоростью химической реакции и концентрациями реагирующих веществ.
Кинетические уравнения записываются на основании закона действующих масс, в соответствии с которым, скорость химической реакции пропорциональна концентрациям взаимодействующих веществ и не зависит от концентрации продуктов.
Так, для приведенного выше стехиометрического уравнения имеем:
здесь к - константа скорости химической реакции.
Решая систему дифференциальных уравнений с некоторыми заданными начальными условиями получим кривые зависимости , ,- кинетические кривые, таким образом, можем рассчитать концентрации компонентов в определенный момент временя.
3. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида
с начальными условиями , где i=I,…,K .
Как правило, система уравнений, описывающих кинетику изучаемой реакции является нелинейной и поэтому не может быть решена аналитически. Возникает необходимость использования методов приближенного численного интегрирования.
Эти методы позволяют приближенно отыскать решение дифференциальных уравнения только на некотором конечном интервале [а,b].
Пусть, имеем, некоторое дифференциальное уравнение первого порядка y=f(x,y) с начальными условиями . Будем искать решение этого уравнения на отрезке []. Разобьем этот отрезок на n равных частей. Тогда получим систему равноотстоящих узлов
Здесь - шаг интегрирования.
Численные методы дают возможность найти в некотором числе точек приближения для значений точного решения
.
Наиболее простым методом решения дифференциальных уравнений и их систем является
3.1. Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение (I), с начальными условиями y(
Пусть y=y(x) искомое точное решение. Интегральная кривая проходит через точку (
Найдем приближенные значения функции в точках . Построим систему равноотстоящих точек узлов
Проведем прямые
Рассмотрим отрезок []
На этом отрезке есть одна точка, которая принадлежат искомой кривой - это точка А Заменим дугу искомой кривой y=y(x) на отрезке [] касательной к ней, проведенной в точке ()
В качестве возьмем ординату точки пересечения прямой x= с касательной.
Очевидно . Но ,
т.е. .
Но из уравнения (I) следует, чтo
Итак, получаем .
Предположим теперь, что точка принадлежит искомой кривой. В этой точке опять проведем касательную к графику функции до пересечения с прямой х = .
Тогда аналогично:
.
Продолжая и так далее, получим систему значений которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках
Итак, расчетные формулы метода Зилера:
.
Для системы дифференциальных уравнений
i= I,…,k
расчетные формулы записываются аналогично
здесь i - номер уравнения в системе, n - номер шага.
Метод Эйлера является грубым методом, ошибка, которую мы допус каем ка каждом шаге пропорциональна , т.е. .
Чтобы повысить точность вычислений, использует некоторые усовершенствованные методы.
3.2. Метод Эйлера-Коши
Пусть опять решаем уравнение y’=f(x,y), y(
Решение ищем на отрезке [].
Пусть нам известны координаты некоторой точки, принадлежащей искомому решению (). Найдем средний тангенс угла наклона касательной для двух точек : () и ().
Последняя точка, есть та самая, которую в методе Эйлера мы обозначаем (), но здесь точка будет вспомогательной.
Итак, сначала по методу Эйлера находится точка А, лежащая на прямой , тангенс угла наклона которой
В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной
Затем через точку () проводим прямую L, тангенс угла наклона которой равен
Точка, в которой L пересечется с прямой ,будет искомой(). Таким образом, есть искомое приближение значения функции на данном шаге интегрирования.
Расчетные формулы метода Эйлера-Коша следующие:
Аналогично, для системы дифференциальных уравнений:
Здесь i - номер уравнения системы, m - номер шага.
Пример.
Задано:
Уравнение уу + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у = -2х2/у. Разобьем интервал [1,2] на десять шагов с шагом h = 0,1.
Расчетные формулы метода Эйлера-Коши:
Первый шаг (i = 0):
х1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;
1= y0 + h f(y0, x0) = 3 + 0,1(-212)/3 = 2,93.
х2 = х1 + h = 1,1 + 0,1 = 1,2;
y2 = y1 + (h/2) (f(y0, x0)+ f(1, x1)) = 2,93 + (0,1/2)*((-21,12)/2,93+(- 2*1,1^2/2.93)) = 2,85633.
Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.
Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:
3.3. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка
Пусть имеем дифференциальное уравнение
с начальными .
Ищем решение на отрезке [].
Пусть имеем точку () принадлежащую искомому решению. Для того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке ()
До пересечения с прямой где
Тогда , получим координату (по формуле Эйлера)
Теперь найдем тангенс угла наклона касательной в т.В ( (прямая L ).
Через точку А про ведем прямую I ||L . Ординату точки пересечения прямых и
возьмем в качестве
Таким образом
для системы дифференциальных уравнений
расчетные формулы имеют вид:
Пример.
Задано:
Уравнение уу + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у = -2х2/у. Разобьем интервал [1,2] на десять шагов с шагом h = 0,1.
Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 2-го порядка:
Пример вычисления (первый шаг):
x0+1/2 = х0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05;
y1+1/2 = y0 + h/2 f(y0, x0) = 3 + (0,1/2)(-212)/3 = 2,9666.
x1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;
y1 = y0 + h f(y0+1/2, x0+1/2) = 2,96+(0,1)*(-2*1,05^2/2,96)=2,885506.
Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.
Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:
ПРОГРАММА МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА 2-ГО ПОРЯДКА