книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ i. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ

151

Или записываемое иногда просто как

dXt = a(t, X)dB(t) + p(f, X)dt.

(1.1)'

Тонная формулировка состоит в следующем.

О п р е д е л е н и е

1.2. Пусть заданы

а = (a }(t, w)) ^

зфа,г и ^ =

* (P'(f,

Под решением*)

уравнения (1.1)

мы подра­

ный с

т. е. X — такое

отображение

со е

£2 <-* X (со) е

W d,

что для каждого t е

[о, оо) 0по

t/$t(Wrf) -измеримо;

(III)

семейства

согласованных

процессов

Ф](£, со) и

\|?'(f,

со),

определенных равенствами

Ф] (t, со) = a} (t, X (со))

п

Wl(t, со) =

ji*(t, X (со)),

принадлежат соответственно пространствам***)

2 ?2°с и

где

2£i00 — множество

всех

измеримых

(^"^-согласованных

процессов

*

Aij'lf таии\,

что для каждого t~^0

[|4f (к, <o)lds<;oo п. н.****);

(IV)

с вероятностью

единица

о

X2(t), ...,

X(t) = (X'(t),

Xd(t))

и B(t) — (B'(t),

B2(t), ..., Br(t))

удовлетворяют

равенствам

f

t

j a] (s, X) dBj (s) +

t

X 5 (t) -

X 1 (0) =

£

J p1 (8, X)ds,

i = 1, 2,

. . . , d,

о

0

( 1. 2)

где интеграл

no

dB3(s)

является

стохастическим

интегралом

Ито,

определенным в § 1 главы II.

(1.2)

называется

мар-

Первый член в правой части уравнения

типгалъным членом, а второй — сносом.

движения

Чтобы

подчеркнуть

особую

роль

(^^-броуновского

В = (В (t)) в

определении 1.2,

мы

называем

Х = ( Х ( £ ) )

решением

(1.1)

с

броуновским

движением

В = (B(t));

иногда

саму

пару

(X, В)

будем называть решением

(1.1).

*) Определяемое здесь «решение» иногда называется «слабым решени­

ем». (Примеч. ред.)

**)

См. § 7 главы I.

***)

См. определение 1.6 главы II.

*♦**)

Y, ¥ '

е

5 ^ ос отождествляются, если j* |V (s, w) — V' (s, со) |ds = о

для каждого f >

0 п. н.

о

152

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

З а м е ч а н и е

1.1. Условие

(III)

определения 1.2 удовлетворя­

ется, если а и р ограничены*),

или

в более общем случае, если

sup{lla(£,

iy)ll +

llp(f, и?)II; t

[О, Г], 1Ы1Г

М) < °°

для каждых Г и 1 > 0 ,

где

[М1г = max

\\w(t)\\ и IIаI =

1 /

2 2 UjJ2.

a e =Rd <g>Rr.

0<t<T

Y

ская функция

(t, х) ^ [0, оо)Х R1-► R". Тогда для a (t,

w)

и 0(f, w),

определенных

равенствами a (t, w) — a(t,

w(l))

и

£(f,

w) =

— b(t, w(t)),

очевидно, имеем a<=sld'r, f e

'. В

таком

случае

уравнением марковского типа и имеет следующий вид:

dX(t) = a(t,X(t))dB(t)+b(t,X(t))dt,

(1.3)

или, покомпонентно,

dXl (t) = 2 ol (*, X (t)) dBk(t) + V (t, X (0) dt, i = 1, 2,

. . . , <** (1.3)'

h=i

случайных флуктуаций.

определений,

касающихся

един­

Теперь мы дадим

несколько

ственности решений. Для заданных а е

г и

(5

<= Md- ‘ рассмот­

рим стохастическое дифференциальное

уравнение

(1.1). Предпола­

гаем, что существует по крайней мере

одно решение (1.1).

усло­

О п р е д е л е н и е

1.4. Будем

говорить,

что

выполняется

вие единственности решений для уравнения

(1.1), если для любых

g 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ

153

Пиями *) па

R*

совпадают

законы распределения

процессов

X и

X' па пространстве Wd.

З а м е ч а н и е

1.2. Вышеприведенное определение эквивалентно

следующему:

условие единственности решений выполняется

для

уравнения (1.1), если для любых двух решений X

и X’

уравнения

(1.1) таких,

что X (0) = х

п. н. и X' (0) = х п.н.

для

некоторого

заметим

следующее

обстоятельство:

если

X — решение уравнения

(1.1) па

пространстве

(Q,

Р)

с

потоком

о,

то,

поло­

жив **)

Р“ = Р(*|£Г0),

будем

иметь,

что для

почти

всех

фиксиро­

ванных (о X — решение

(1.1)

на пространстве

(Q,

Рш с

пото­

ком ( Г , ) (>0 такое,

что Х(0) = Х(0,

со)

(см.

следствие

теоре­

мы 1-3.2).

определенная в

определении

1.4,

иногда

назы­

Единственность,

решений для

уравнения

(1.1),

если для любых двух решений X

и

X ', определен и ых на

одном

вероятностном пространстве (Q,

Р)

с одним и тем же потоком

(&~t) и одним и тем же г-мерным

(^■()-броуповским

движением,

из

равенства Х (0 )= Х '(0 )

п.н. сле­

дует, что X(t)~ X' (t) для всех t >

Он. н.

более

З а м е ч а н и е

1.3. Можно

рассмотреть также следующее

узкое определение потраекторной единственности.

Говорят, что выполняется условие потраекторпой единственно­

сти (в узком

смысле),

если

для

любых

двух решепий

X и

X ' с

Х(0) = Х'(0)

п. н., которые

определены

на одном и том

же

веро-у

ятностном пространстве

(Q,

Р) с потоками (&~,) и (9№t)

соот­

ющимся одновременно

и (<Ж()-броуновским движением, име­

ем X (t) = X' (I)

для всех 1 >

0 п. п.

Так как не

обязательно

верпо, что B(t) является (ЗГt \/3{?,)-

154

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

З а м е ч а н и е

1.4. Точно так же, как и

в замечании 1.2, мы

должны рассматривать только

неслучанпые

начальные значения,

т. е. Х(0) =

Х '(0) = х п. и. для некоторого х s

Rd.

Чтобы

попять

некоторые

применения понятия иотраекторпой

Функция *) Ф(ж, w \ Rd X W ;-> W '; называется <£ (RdX W J)-из­

меримой,

если для любой борелевской вероятностной меры

р на

IV'

существует

функция

Фц (х, iv): Rd X Wd -> W d,

которая

a (R ri w r0Y xpW/ $

(wd)-измерима, и

для почти всех х(р)

спра­

ведливо

Ф(х,

ю ) = Ф 11(х, w)

для**)

Р^-почти всех w. Для

такой

функции

Ф(#,

w)

и случайного вектора | из R'1 и r-мерного

броу­

новского

движения B = B(t),

являющихся

независимыми

в

сово­

купности, мы полагаем Ф(£,

5 ) = Ф (1(1, В),

где д — закон

распре­

ный случайный элемент.

X = ( X ( t ) )

О п р е д е л е н и е

1.0 (сильное решение). Решение

уравнения

(1.1)

с

броуновским

движением

В~В(1)

называется

сильным решением, если существует функция

F (х, w): Rd X Wj->-

-> W d,

которая

^ (R d X W o)-измерима, для каждого r e R d,

w ~ F ( x , w)<Mt{W 0)pW/&,r

(W d)- измеримо для каждого t > 0 и если

справедливо равенство

Х = Р(Х(0), В) и. н.

(1.4)

Мы будем говорить, что уравнение (1.1) имеет единственное

сильное решение, если существует функция F (х, w): R‘ X

W‘

с теми же свойствами, что и выше, и такая, что

В ==

(I)

для

любого г-мерноп»

(#"()-броуновского движения

= (B(t))(B( 0) =

0)

на вероятностном пространстве с потоком

t)

рывный процесс X = F (|,

В) — решение (1.1)

на этом простран­

стве с Х(0) = 1 п. н.;

(II) для любого решения (X, В) уравнения (1.1) справедливо

равенство

X = F(X(0), В)

н. н.

рассматривать как

Таким

образом, сильное решение можно

функцию F(x,

w), которая задает решение X уравнения (1.1), ес­

ли только мы

подставим

начальное значение

Х(0)

и

броуновское

движение В.

1.1. Для

заданных

a<=st-d’ T и

р е

^

1 уравнение

Т е о р е м а

(1.1) имеет единственное сильное

решение тогда

и

только тогда,

*) WJ = {ш €= С ([0,

оо) Rr): w (0) - О}.

**) pw _ (r-мериая)

мора Винера па WJ (т. е. распределение В).

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ

155

уравнения (1.1)

такое,

что распределение

начального

значения

Л (0) совпадает с

р и

выполняется условие

потраекторной един­

ственности решений.

Если существует единственное

сильное

Д о к а з а т е л ь с т в о .

вероятностном

пространстве с

потоком (#”f). Тогда, если опреде­

лим непрерывный процесс X равенством

X = F(%, В), то

X — ре­

шение (1.1) с Х(0) = | н!

н. К тому

же,

если существуют

два ре­

шения (X, В)

и

(X',

В')

на

одном

вероятностном

пространстве

с B(t) = B'(t)

и Х(0) =

Х '(0)

п. н., то X = F(X(0),

B) = F(X'(0),

В’ ) = Х ' . Отсюда

следует,

что

выполняется условие

потраекторпой

С'дипственности решений*).

чального распределения существует решение (1.1)

и выполнено

условие потраекторпой единственности

решений. Пусть j e R '

фик­

сировано

и пусть

(X,

&)

и

(X',

В')— любые

решения**)

(1.1)

с X (0) = х и X' (0) = х

п. н. Пусть

Рх и Рх — распределения

веро­

ятностей

соответственно

(X,

В)

и

(X',

В )

на

пространстве

W d х Wo.

Если

л:

W d х W 0r э

(шг, w2 « u ) 2e W 5

является

проекцией, то оба маргинальных распределения л(Рх)

и л (Рх) сов­

падают с Р^-мерой Випера на

Wj. Пусть Q 2{divx) и Q' 2 (dwx —

регулярные условные распределения wt относительно w2, т. е.

(I) для фиксированного w2е WJ

Q 2 (dwx) — вероятностная ме­

ра на (Wd, ^?(Wd));

(II) для фиксированного - AeJ?( Wd)

отображепие

w2<~*Q 2 (А)

является

^ (W o )

-измеримым;

(III)

для каждых A t <=Jf(W d) и А2е

$ ( WJJ)

P * ( ^ X 4 ) =

J QW2(Al)P w (dw,).

Д2

Аналогично определяется Q

1 через Рх.

На пространстве

Q =

=wdxwdX WJ

определим

борелевскую

вероятностную

меру

Пусть 3F — пополнение топологического о-поля 38(Q)

по

мере Q и

3Tt =

П (#t+e V - Л , где 38t = 9St ( W d) x $ t(W d) X * t( W

j ) ,

a

Jf -

8

(ir„

ws) и

множество всех (^-пулевых множеств. Тогда, очевидно,

(X, 5 )

имеют

одинаковые распределения и

то же

самое

верно и

для (w2, w3

и

(X В ' ) .

Чтобы завершить паше доказательство, нам нужно сначала до­

казать две вспомогательные леммы.

Л е м м а

1.1. Для

A ^ 38t(W")

(4)

или

Q'"(A)

являются 3lt (ws)plV- измеримыми отображениями.

и

4 е | , ( ¥ )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для фиксированного

О О

существует условная вероятность Qf (Л) такая,

что w е

WS

Qf (А)

является

-измеримым отображением

и

Рх( А х С ) =

= §Q7(A)Pw (du>) для каждого C e ^ ( W j ) . Если мы сможем по-

с

то от­

казать, что зто равенство справедливо для всех С ^38 (WS),

сюда будет следовать, что Q7{A) = QW(A) для почти всех

w(Pw ,

С = {w e WJ; рtu>s

Д ,

е Аг],

At, A2^ 3 t (WJ),

где 0( определяется равенством

(Q,w)(s)= w(l + s ) —w(t).

Далее, так как 0,w n33t(Wl)

независимы но мере Pw, то имеем

$Q7(A)Pw(div)=

j

Q7{A)Pw {dw)Pw (0twt=A2 =

с

{pjiceA!1}

=

РХ(А X {Р(И>е ^x} ) P w (0iWe А2 =

=

Рх {А X {р(^ s

ЛД) Рх (W d X {64и> е= А2}) =

= / > ( X s 4 , p , ( B ) e i l I) P ( 0 ( ( S ) e 4 1) =

=

Р(Х<= А, р, (В) <= i4lf 0, (В) е= Л2) =

= Р ( Х е 4 , В е С ) =

? 1( Л х С),

так как ( Х е 4 ,

р, (5) е

Л,) е <F,, а 0,(5)

и

независимы. Этим

завершается доказательство лсммьг.

является

r-мерпым (£F,)-

Л е м м а

1.2.

Процесс

и>3=(ш:1(1))

броуновским движением па (Q, Ф~, Q).

доказать

только

независи­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

мость w3(t) — w3(s) и

для каждых

t > s. Для этого

достаточно

§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

159

Где о

е # г и р е #

1. Для /<= Сь(Rd)*)

положим

d

3

d

(Л/) (t, w) = 4-

2

аУ (*>гу) z H

j (“>(0) +

2

Р1(*, “>) S i (w <*»•

(2Л>

<,j-i

i= i

где

t e

[0,

°°),

w e

W",

ai; (f, w) =

2

a’h (*> w) “ ft (£. »)•

(2.2)

s=i

Если (X(t), 5 ( 0 ) — решение

(1.1)

па вероятностном простран­

стве

(Q,

P)

с

потоком

(^”i)> T0 согласно

формуле

Ито

*

^

r

r>

f (X (0) -

/ (X (0)) -

j (Л/) (s,

X) ds = 2

2

j

a'<(s’ x ) S

{ X (s))

0

i-"1 ?i=M0

(2.3)

и, следовательно,

(s,

t

/ (X (0) -

/ (X (0)) -

J (Л/)

X) ds <= J t^ oa

0

для

каждого

/ е

Cb2(R rf).

(2.4)

Обратно, если d-мерпын непрерывный согласованный

процесс

X =

= Х(/),

определенный

на

вероятностном

пространстве

(Q,

Р)

с потоком (#*()> удовлетворяет

(2.4),

то

па расширении (Q,

Р)

и (!Ft) пространства (Q,

Р)

с

i)

можно определить г-мерпоо

t) -броуновское

движение

B = B(t)

такое,

что

(X,

В ) — реше­

ние

уравнения

(1.1).

Действительно,

пусть

В, =

( r e R d : \х\ ^ I)

и для каждого i выберем

/ ( ж ) е Cb(Rd)

так, что j(x) — Xi при ж е

еВ, .

Тогда, положив

о, =

inf U : Х( £ )ё В,},

I — 1,

2,

..., убежда­

емся, что

М<Ц

Mil){t) = X\t Д о , ) - Х ! ( 0 ) -

j

P! (s,X )d s<=*#;:,

1

=

1,2, . . . , d .

Таким образом,

о

M i ( t ) - X * ( t ) — Х*(0) — Jp*(*. X ) d s e

Jf^,oc,

г =

1, 2, . . . , d .

о

Выбрав

/ e C b ( R d) так,

что

f ( x ) = x ,xs,

г е В , , аналогичным

обра­

зом находим, что

i

(2.5)

<Mt, Mj'>{t)=\ ^{s,

X)ds.

._______________

b

160

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Согласно теореме Н-7.1' на расширении (Q,

Р)

и (#*<)

можно

определить

r-мерное

t) -броуновское движение

В = B(t)

такое,

что

г

(

ЛГ4(*) =* 2

\«£(«, X)dBh(s),

i =

l,

2,

. . . , d .

* -Ч

Следовательно, (X, В) — решение

(1.1).

закон распределения Рх

Если X

удовлетворяет

(2.4),

то его

на

(Wd, ^?(Wd) ) удовлетворяет условию*)

t

/ (м>(<)) -

/ (И> (0)) - J и /) (s, ш) ds S

Ж ’1ос

(2.6)

О

для

к аж д ого/е Сь (W d). Очевидно, что

X (t,

w)=w(t)

является

случайным

процессом

па

(Wd, j$(W d), Рх) с

(Jf,+ (Wd)),

удовлет­

воряющим

(2.4). Поэтому имеем следующий результат.

эквива­

П р е д л о ж е н и е

2.1.

Существование

решения

(1.1)

летворяющего

(2.4), а также эквивалентно существованию вероят­

ности Р на (Wd, J7(Wd) ),

удовлетворяющей (2.6).

Т е о р е м а

2.2. Предположим, что ограничены и непрерывны

функции**) a ^ s 4 - d,r и $ < ^ s4 -d- x. Тогда для любой заданной веро­

ятности р

на

(Rd,

с компактным носителем существует ре­

шение (X,

В)

уравнения

(1.1) такое, что распределение Х(0) сов­

падает с р,

г. е, Р ( Х ( 0 ) е 4 )

= р(Л)

для любого А<=3}(Вг).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

2.1

достаточно

построить процесс X со свойством

(2,4)

и

с

Р {Х ( 0 ) е Л) = р(4)

для каждого

A e ^ ( R d). Для каждого

I = 1.

2, . . . определим

ф,(£)

следующим образом:

w) =

ф1 (0 =

к/2‘

для

к/2' <

t < (к +

1) /2'

(к =

0, 1,

2, ...)

и положим ai ( t ,

w) =

a(<$i{t), w) и

$t(t,

jl(ф, (t), w ) . Очевид­

но, a, e j^d’г и

e s4-d■*. На вероятностном пространстве

(Q, ST, P )

с потоком

(8Гi)

построим

r-мерпое

(^',)-броуновскоо

движение

B = B(t)

и

d-мерпый

#*0-измеримый

случайный

лектор***)

1 с

Р(| е

Л )= р(Л)

для

каждого / l e J ? ( R d). Определим но индукции

d-мерный непрерывный процесс Х; (1 = 1, 2, ...)

следующим обра­

зом: Х,(0) = £. и если

уже

определен Xt(t)

для

t^k/2‘, то

для

к/2‘

t *£ (к + 1) 2! определим Х;(t) равенством

X, (е) — X, (fc/21) + a{k!2’ ,X,:U (B(t)~B(k/2')) +

+

Р (k!2l, X,j/() (t — k/2l),

*)

^ 2,Iog определяется относительно потока 3ft\.(Wd).

**)

То

есть функция[0, oo)xWd э (t,

w) at- (t, гс)еRd ® Rr I I .T I I [$ (t, w) e

e ftd ограничена н непрерывна.

***)

Заметим, что так как ц имеет компактный носитель, то \ ограпичен.