Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4527 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 4. н е в ы р о ж д е н н ы й д и ф ф у з и и

2G1

Является линейным пространством, образованным всеми полилиней ными (мультилипсйными) отображениями и:

Г, (Л/)* х Тх (Л/)* Х	- Х Г Д(М)* X Тх (М) х Т х (М) Х - - - х Т х (М) R
V	ч

собычными правилами сложения и умножения на число*).

Ныбор локальных координат (ж1, х2,					хй	вводит в ТХ(М)		базис
» ( y i) > ••ч		J	сопряженный с ним базис обозначается
через (dx') x, (dx2)*,		...,	(dxd x. Через
	®	■••® ( - ^		® (dxJl)* ®		•••® (dxl(i)x
\ дх 1 / х			\ д х р / х
обозначим элемент и е			Тx(M)pq такой, что
							6V6!'1 •••		lq'
							!р '1		lq'
для всяких к,, к2, ...,			Z,, 12,	..., Jtj. Очевидно,			система
				® (dx^)* <g>(dx'*).x®
		Ч» Ч» •••'		/i> /2 »	•••<jq		-, ■■ ' 1 d,		(4.1)

образует базис пространства Tx(M)q. С™-тензорное поле типа**)


(р, q)	есть отображение				u:	М э г »		u ( x ) e	Tx(M)q,	компоненты
и г л \ г - - 1у	( х )	которого		относительно базиса (4.1) принадлежат классу
С°° в каждой координатной окрестности.									JV‘2'"JQ	удовлетворяют
обычному		правилу		при	преобразовании координат:
			дх	1 дх	2	дх*р д х 1		д х '2	19	,<	42)
									^ ^ 4 ,
	~ v * d x			h' dxh*		д х '1' д х д х * ' 1			Ч'2 •'Ч
Обратно,		если	система			С°°-функций \|uJ1V"!''(x)J				определена в
каждой координатной окрестности и удовлетворяет равенству											(4.2),
то существует			единственное (р,				<7 )-тензорпое		поле, координаты ко
торого	совпадают с			ней.			просто векторное поле. (О,				^-тен
(1,	0)-тензорное			поле — это

зорное поле называется дифференциальной \-формой. Пообще (диф ференциальная) р-форма есть (0, р)-тензор, который альтернативен, т. е. компоненты удовлетворяют условию

Ио(»1)а(у...о(1р) И = sgn И u h i2...ip (х)

*)	Тх(.]/)* — дуальное (сопряженное) пространство пространства ТХ(М).
**)	Мы также пазовем ого просто (р, д)-тепзорпъш нолем.

262 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

для всякой перестановки *) о. Если положить dx1i f\dx^/\- ••/\dx*P =

= -j 2 sSn (CT)	® dxa^*^®		•••<8>dxa^v\	то р-форма и(x) вы-
ражается в виде		•••A dxh' =
иИ =		•••A dxh' =
	= Р-	2	uhh...i	{x)dx^f\dx^f\---f\dxlv.
		il< i2< " < iP
Внешним произведением аД р р-формы а				и д-формы [5 является
(р + (7 ) -форма, определенная равенством

(“ ЛР) И = “ A 1ft r . . f t p (■») Р»р ы Л р + s . . . f c p A . , И dx't/Xdx'sД ... Д<£г"рН«. (4.3)

Внешней производной da р-формы а является (р + 1)-форма, опре деленная равенством

(da) (х) = JL Oi и ..л	(х) dx^dx^ Д ... ДЛрЧ	(4.4)
С/Х 1 -	*

Аффинной связностью V мы называем правило, которое каждо му Х^Зс(М) ставит в соответствие линейное отображение Vx; Ж(М) Ж(М) со следующими свойствами:

(I)Vxy билинейна по X и У;

(И)

^ ix+ sr — /^лг +

(4.5)

(III)V .,(/r)= /V xy + (X /)F **).

Оператор V* называется ковариантпым дифференцированием относительно X. Система фупкций (Г]Л(,г)) определяется в любой координатной окрестности равенством

Гу (х)	называются компонентами			связности	V. в	любой системе
локальных		координат	V*y можно	выразить	следующим		образом:
		VA-У =	(х) Y* (х) (х) + X i(х) ±		У" (*)] ± ,		(4.6)
где X =	Xх (х) — и Y — Y l(x)— .			Компоненты		связности удов-
		д х 1	д х '
*) Такого рода свойство, очевидно, не зависит от выбора координат. Ана
логично можно определить понятие симметрического тензора.							равенством
**) Для		f e F ( M )	и A s X(Л/)	f X s X ( M )	определяется

(/A )g = JX(g) для всякого g e f ( М).

§ 4. НКВЫРОЖДКНПЫК ДИФФУЗИИ	263

летворяют следующему правилу преобразования при замене коор динат:

		js ft	<>ХР 0 x q (lx 1* J ,r		(l2X r	t)xh			(4.7)
		^	ex'- d x 3 <)x’	Vq	d x i d x 1 0 x r

Обратно, любая система гладких функций						Г и- (х),	определенная в
каждой координатной окрестности				и удовлетворяющая правилу (4.7),
Определяет аффинную связпость посредством равенства								(4.6).
Для	заданного	тензорного		поля	и (х) — (“ J'j2" Jp(x)J				типа
(р, д)	тензорное	поле	(Ум) (.>:) =			(т)\|	типа	(р,	q + 1)

определяется равепством

-w+j-

(4 .8 )

где индексы I и т в и занимают соответственно места £« и /». По средством правила преобразования (4.7) легко убедиться, что

Уи(х) — тензорное поле; ^и(х) называется ковариантной производ

ной тензорного поля и(х). Для Х = Х ’ - А е З ? ( М )			(р, д)-тензор-
		дхг
пое иоле Vхи, определенное равенством
	lP =	X ku b lr - ] v
	q	3Ui"3q'h
называется	ковариантной производной тензорного поля и(х) по на
правлению X. Заметим, что если		u = Y <s£(M), то	Ули совпадает
С ИСХОДНЫМ VJEF .			кривая в М
Пусть*)	с: I э t >-» c(t) е М — (кусочно) гладкая		кривая в М

и и (t) = {иу1.*"jp (О)— тензорное поле вдоль с, т. е. u(t) е ТС(г>(М %

для ( е / и t-*u(t) является (кусочпо) гладким отображением; u(t) называется параллельным вдоль с (относительно связности V)t если

d e h {t)

£ - ; £ : . £ « > + 2 г й (м ч )и*;;,

d t

р-1

*) I обозначает интервал в R1.


264	ГЛ. Л". ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
13 частности, тензорное поле и(х)						параллельно вдоль кривой с тогда
и только тогда,			когда	(Vc(f)u)	(с(/))^: =				(с ( 0 ) ^ р )	=
г е / . Для U, t, <= /,				u(t,) определяется но u(t0 единственным
образом	как	решение уравнения				(4.9), и		мы	говорим, что	u(t,)
получается .из			u(t„)	параллельным			переносом		вдоль кривой	c(t).
Рассмотрим			многообразие		М	с	аффинной связностью			V =
= \|Г}л (•£)!•		Пусть		GL(M) — расслоепие				линейных реперов.		Для
каждого	r^GL(M)
	/ / г =		\|х =	^		(х) е У			(Ш <= RdJ	(4.10)

является линейным подпространством пространства Tr(GL(M)),

которое,	очевидно, не	зависит	от	выбора локальных координат
(х‘, <?•).	Касательный	вектор X	в	II, называется горизонтальным.

Аффинную связность можно также определить как правило, кото

рое каждому		r^GL(M) ставит в соответствие		линейное	подпро
странство	II,	пространства	Tr(GL(M)) (см. Номизу [136]);		IIтна
зывается	горизонтальным		подпространством.	Пусть %е	ТХ(М);
T,(GL(M)) называется			горизонтальным лифтом вектора		§, если

§ горизонтально, я (г) = х и		(Лт)г\| = \|. Если задано	г такое, что
п(г) — х, то	\| единственно.	Для заданного Х<=£(М)	существует
единственное	X е X(GL(M))	такое, что X, — горизонтальный лифт

Хя(г) для всякого r^GL(M). X называется горизонтальным лифтом

векторного поля X. В локальных координатах

			X =		X* (х) ±		- ТУ(х) X' (х) el ± ,				(4.11)
если Х ^ Х Ч х ) —..					Для заданной гладкой кривой с: I э t						c(t) s
		У ' дх'
s M	гладкая		кривая		с: /	э	£ >-*•c(t)^GL(M)			называется горизон
тальным лифтом				кривой		с,	если	(I) - j f (t)	горизонтально		и (II)
n(c(t)) =		c(t)	для	( е / . Очевидно,				если задано		г = (х, е = [е,, е2, ...
. . .,	еД),	где	х — начальная точка					кривой с,	то	существует	и един

ствен горизонтальный лифт с, начинающийся в г. Действительно,

c{t) = (c(t),		e(t) = [e,(l), e2(t), ...,		е(,(/)]), где ef(£)s Гс(()(М)		полу
чатся из е, параллельным			переносом вдоль кривой с.		Для каждого
j = 1, 2, ... ,d существует единственное векторное поле Г					е ! {GL(М))
такое,	что	(£j) , — горизонтальный		лифт вектора е}<=Тх(М)		для
всякого	г = (х, е = \е„ е2,		..., еД). В системе локальных координат
(я1, ej)	Г, можно выразить так:
		г	i о	TI7 h г о		(4.12)
		L}~ e}d x i ~ T",eiepr f

§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ

265

{Г|, С2, .

называется

системой канонических горизонтальных

векторных полей или базисных векторных полей ([7] и [136]).

Пусть и (х) =

{и)1]2

— (Pi

-тензорное

поле.

Определим

систему

гладких

функций

Fu (г) =

{.F V 4 "\р.^ (г)| па

GL(M)

ра

венством

и (х) =

(г) е{

® е,

<?,• ® е1} ® <?'2 ®

<?’®

(4.13)

для г = (х,

е =

[е,, е2,

..., е,(]),

где

. ..,£*]

является

сопряженным (дуальным) с е базисом. В системе локальных ко ординат (я*,еи) можпо записать

№

(г) =

и(Хр у

; м

■••е'% ч ;> . .. /;/\

(4.14)

и 1 \ П ~ Ч

i p s — lq

i , J 2

) q

кд n2

«p

где

(/j) — обратная к

(e)) матрица. Fu(r) =

|/ги^2' ^''(г)| называется

скаляризацией

тензорного

поля

и(х)

или

системой

ком-

понентов тензорного

поля и(х),

прочитанных

в репере

е.

F .W

является GL(d, JX)-эквивариантным в том смысле, что

F 'iV

]р(r) =

12*

. аУЬ'лЬ1* •••Ь'.ч

(4.15)

3 q '

11 'Л -

ftp ^

>ч

для всякого

а =

(aj) ^GL(d, R);

(&j) — обратная

(aj)

матри

ца.

Обратпо,

всякая

GTj{d,

Н)-эквивариантная

система

F(r) —

= {F\Fz "\р (г)1

гладких

функций

па

GL(M)

задается как

F = Fu

{

h*2‘"3q

)

для некоторого одиозиампо определенного тензорного ноля и.

П р е д л о ж е н и е

4.1.

(4-16)

для всяких

i,,

г2,

.. •,

ip,

jt, h,

•••,

h u m — 1,

2, ...,

где

{£,„} —

система канонических горизонтальных векторных полей.

Доказательство предоставляется читателю.

Для аффинной связности

V =

|Гу| Гу =

Г у —

являются

компонентами

тензора

Т типа

(1.2).

Т называется

тензором кру

чения. Естественное определение тензора кручения Т дается ра

венством		Y) = VAY _ V YX - [ X , Y],				X, Y e £ (M ) .
	Т(Х,	Y) = VAY _ V YX - [ X , Y],				X, Y e £ (M ) .
Аффинная связность				V = [Гу]	называется связностью без круче
ния или симметричной связностью, если						тензор кручения	равсп
	Iylt	T»/I
	ij =	1 И*		класса С“	называется римановым многообра
Многообразие			М	класса С“	называется римановым многообра
зием,	если на	М	задано тензорное поле			g = (ga) типа (0,	2) та
кое,	что

(I) g симметрично, т. е. ga(x) = ga(x) ;

266	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООГ.РАЗИЯХ
(И)	g положительно определено, т. е. g>,{x)	> 0 для всех х

и |^0 eR '*).

Тензорное поле g называется фундаментальным тензорным по лем или римановой метрикой (тензорным полем). Оно определяет скалярное произведение на каждом касательном пространстве ТХ(М) посредством

<£, '»!> = Я у(*)бУ .£ = V

и *1 ” ^ ( ^ ) х-

<4-17)

Аффинная связность V = {Гу} называется совместимой с римановой метрикой g, если скалярное произведение сохраняется при парал лельном переносе касательных векторов, т. е. для каждой гладкой

кривой	c(t) и касательных		векторов V (t)—:	и 1]’ (4) —- в	с(1)
из равенств			дх1	Ох1
из равенств
	d	(/)	0 и ^ + Г ] , ( ( с ( 0 ) ^ т / ! (0 =		0
# +г\|»И<>)		dt s" (f)	0 и ^ + Г ] , ( ( с ( 0 ) ^ т / ! (0 =		0
следует,	что

£ (* u (* (0 )5 ‘ (f)V (f)) = 0.

Отсюда легко	заключить, что	v совместима с	g тогда	и	только
тогда, когда
А ёи =	ёцТ'м + ё\Л)	Для всех г, у, /с =	1, 2. . . . ,	d.	(4.18)
о хн

Совместимая с g аффинная связность пе единственна (см. пижеслсдующее предложение 4.3), по если мы предположим допол нительно, что она симметричпа, то такая связность будет един ственной. Действительно, из (4.18) вместе с соотношением

Гу = Гд следует, что

Гу = |/ ‘Д + — — Ц ghm. (4.19)

Эта связпость называется римановой связностью или связностью

Леви-Чивита:	{ / j] называются символами. Кристоффеля.			равен
Пусть 0(М ) — подмногообразие		GL(M) ,	определенное	равен
ством
0( М )= {г = (х, а) е GL(M); е — ортопормальный базис ТХ(М) }. (4.20)
В системе	локальных координат	(хг, е})	многообразия	GL(M)
r . e O (f) тогда и только тогда, когда
	ёые\е) =	8У,		(4.21)

*) Свойства (I) и (II), очевидно, не зависят от выбора координат.

	§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ		267
я л и , эквивалентно,	S	е1Л = gy,	(4.22)
	d
где (giS — обратная л (£,,)		матрица. Эквивалентность	соотноше

нии (4.21) и (4.22) легко проверяется следующим образом. Поло


жим е = (ej)			и	G = (ga) . Тогда
(4.21)	<^ e G e = I ^ e					GuzGme = / -w (Gl/ie) * =
= (Gl/2e		)	-=> G>/2eeG1/2= /				ee* =	G -I/2G~1/2 =		^	(4.22).
Ортогональная			группа 0(d)			действует		па	0(М), и	0 ( М ) — глав
ное расслоение над					М со структурной группой 0(d);					0(М)	назы
вается расслоением					ортонормальных реперов на М. Пусть v — аф
финная связность, совместимая с g, а с: [я,									Ь] -*• М — гладкая кри
вая в	М.	Если		г = (с(0),		е ) е О ( 1 ) ,		то	горизонтальный		лифт
c(t) = (c(t),		e(t))		кривой c(t) принадлежит 0(М), т. к. e(t) — орто-

нормальный репер в c(t). Аналогично, горизонтальное векторпое по ле X векторного поля Х^Х(М), суженное на 0(М), является век


торным нолем на О (М)		и канонические		горизонтальные векторные
поля Lm, m = 1, 2, .. ., d,			являются векторными нолями на					0(М).
Пусть	М — рнманово	о	многообразие	и	V =	(Гу)— аффипная
связность,	совместимая		римановон метрикой			g.	Связность		V
позволяет нам «катить»		М вдоль кривой			j (t) в	Rd,	с тем	чтобы
получить	кривую с{1) в	М в качестве следа кривой f(t).						Интуи
тивно, бесконечно малое перемещение кривой c{t)						совпадает с			бес
конечно малым перемещением кривой Ч(t)					в касательном простран
стве, которое можно идентифицировать				с	R* посредством			выбора

ортопормального репера, а бесконечно малое перемещение репера задается посредством связности, т. е. параллельного переноса вдоль

кривой	c(t).	Точнее,	пусть	Y: (0, оо) з	t y ( t ) е	Rri — гладкая
кривая	в Rd. Пусть		г = (х,	е )е 0(М) , и	определим	кривую c(t) =
—(с(1),	е(1))	в 0(М)	посредством равенств

V. <?(*) = О,			(4.23)
С (()	' '		(4.23)
с	(0) =	х ,
е	(0) =	е .

В локальных координатах

i — 1, 2, . . . , d,

(4.24)

г, а.= 1, 2, . . . , d.

268	ГЛ. Л'. ДИФФУЗИ01ШЫК ПРОЦЕССЫ и л МНОГООБРАЗИЯХ

Уравнение (4.23) можно переписать так:

1 # < о - г . (? < о ) $ « > .

(4.25)

| с (0) = г,

где {ZTt, Е2, ..., Ed — система канонических горизонтальных век торных полей. Кривая c(l) — n(c(t)) в М зависит от выбора на чального репера е в х; эту кривую мы обозначим так: c(f) = = c(f, г, 'f), г — (х, е). Немедленно получается, что

c(t, Tar, 1f) =c(f , г, ay), f e [ 0, оо), a e O ( d ) ,

(4.26)

где кривая ау в R'1определяется равенством

И ) ( 0 = «Т(0-

(4-27>

Теперь пусть w(t) — (wa(t) ) — каноническая реализация d-мер- оIого вииеровского процесса. Стохастическое исчисление позволяет нам определить в М случайную кривую X(t) аналогичным образом. Пусть r(t) = (r(t, г, и?))— решение стохастического дифференци ального уравпения

dr(t) = Lx (r(t)) о dwa(t),

(4.28)

г (0) = г.

r(t, г, w) — поток диффеоморфизмов на 0(М), соответствующий каноническим горизонтальным векторным нолям Е„ Ег, ..., Ел и векторному нолю сноса*) Го355 0. В локальных координатах (4.28) эквивалентно следующему:

|dXl (f) =

e1a ( 0 od«jCt(0.

= 1,2, . . . , d ,

1 d 4 ( 0 - ~

r L ( X (t))e!Ut)°dXm(t),

i , a

= i,2, . . . , d ,

( *'

где

r(t) = (X*(t), <?a(0)-

To,

что

решение

r(t) =

(X:(t),

ela (t))

принадлежит O(M),

если только

r ( 0 ) e O ( I ) ,

очевидно,

так как

— векторное

поле

на

О(М). Конечно,

можно также

непосред

ственно проверить, что d ( ^ X ( O K ( 0 4 ( 0 ) = o

применением

соотношения (4.18). Теперь случайная кривая

X(t) = (X'(t))

на М

определяется

равенством

X(t)= я[г(£)].

Согласно

(4.26)

имеем

(записывая X(t) = (X(t, г, и>)))

X (t, Tur, w) =

X (t, г, aw) для

t~^ 0,

а е

О (d)

ше=\У/.

(4.30)

Но

aw= (aw(t) ) — другой d-мерпый

виперовский процесс,

и поэто

му

вероятностный

закон

Х(*,

Tar,

не зависит

от

a е

0(d).

*) 13 стохастическом дифференциальном уравнении (1.1) векторное поле

Ло называется векторным полем сноса.

§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ	269
Другими словами, вероятностный закон Х(*, г, w)	зависит только

от х = п(г). Мы обозначаем этот закон через Рх. Строго марковское свойство системы {Рх} легко выводится из аналогичного свойства для г(-, г, w).

З а м е ч а н и е 4.1. Конечно, r(f, г, w) можно определить как Поток диффеоморфизмов на GL(M) для любой аффинной связпости, но его проекция на М в общем случае не является строго марков ской системой, так как не всегда верно, что закон я[г(-, г, и?)] зависит только от х — п(г). По этой причине мы ограничились аф финной связностью, совместимой с g и потоком диффеоморфизмов на О(М).

Таким образом, мы имеем диффузию {Рх) па М. Мы теперь покажем, что эта диффузия совпадает с Л-диффузионным процес сом, где дифференциальный оператор А задается равенством

А = ±-Ам + Ь.

(4.31)

Здесь Ам — оператор Лапласа — Бельтрами на Л/, задаваемый равенством *)

Адif = Л ' Ч Н/* = gl	<rf	Ai IА Л1	(4.32)
	с:х1д х '	()хV

а b = Ьг (х) — : — векторное поле, задаваемое равенством

д х 1

Ь' = у Г Ч 1 т \ ) - Г ) „ „ ) .

(4.33)

Действительно, рассматривая f(r) = f(x) для г = (х, е), получаем

/ ( X	(#)) — / ( X ( 0 ) ) = / (Г (< )) - / (Г ( 0 ) ) =			,(
	t	г	I	,(
=	f ( L j ) (г (s)) о d,S (.9) =	f LJ (r (s))dwa(.9) +	i - j	2 A* (В Д (r(s))ds.
	0	II	0	a L

Следовательно, достаточно показать, что

у2 ^ a ( l j ) = A f .

а—i

Заметим, что оператор А, задаваемый	равенством (4.31), можно
также записать в виде
А	l> d xh '
д х гдх*	l> d xh '

*)	риманова связпость.

270 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Согласно предложению 4.1

L 'a (Т'а/) ^	v /)а — (Д У v/)aa = (V jV j/ ) ваСа*
Поэтому
2 2а (2 а/)	= 2 (V;V;/) ciei =
а-^ 1	a^i

всилу (4.22). Ниже подытоживаются вышеприведенные результаты.

Те о р е м а 4.2. Пусть М — риманово многообразие с аффинной связностью v, которая совместима с римановой метрикой g, и

пусть Lt, L2, ..., JEd— система канонических горизонтальных век торных полей. Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав нение (4.28) на О(М). Решение определяет поток диффеоморфиз мов r(t) = (r(t, г, w)) на 0(М), и его проекция X(t) = n(r(t)) определяет диффузионный процесс па М, соответствующий

дифференциальному		оператору Л, задаваемому				равенством (4.31).
О п р е д е л е н и е		4.1. Процесс		r(t)	из теоремы 4.2 называется
горизонтальным лифтом .4-диффузии X (t).						Л-диффузия		X (t)
О п р е д е л е н и е		4.2. В	случае А = Ам/2
называется броуновским движением на М.						броуновского		дви
Таким образом, горизонтальный лифт1 r(t)
жения X(t) на	М строится		посредством римановой связности. Те
перь мы докажем следующее			(I)	Для	всякого	векторного		поля
П р е д л о ж е н и е		4.3.
на рим-ановом многообразии М существует аффинная
связность V =	(Гу]	на Л7,	совместимая с римановой метрикой g,
такая, что выполняется (4.33).
(II). Две	аффинные		связности		V =	(Г?;) и V' =	(Гу ),
совместимые с римановой метрикой g, удовлетворяют условию								(4.34)
/Т ‘,;=g»Tii			для	всех	i = 1,2,	. .., d

тогда и только тогда, когда

/1	__	т ' п		i— 1,2,
Г i n	—	*	it.j
где (Гу) и \Тi}} являются				тензорами
V и V' соответственно.	(I)		Определим
Д о к а з а т е л ь с т в о .

..., d,

кручения

(4.35)

связностей

		г}* = (Д} +		7^-i (b}bh- g }hbi),
где	bi = gnb}. Далее, так		как b)bk — gjhbl являются		компонентами
(1,	2)-тензора, то	V =	(Гр,)	удовлетворяет правилу (4.7) и по
этому определяет		аффинную		связность ([188]). Она	удовлетворяет

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4527 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб17Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб0Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб1Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf