Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ

271

условию (4.18), так как

gmqTlp gpmXiq = —j gpq — gmq (;p ) — gpm{/g ) ■

— JZTl (gmq&l bp— gmqglpbm+ gpmbfbq — gpmglqb ) =

= — J=2\ (glqbp— bqg,p + g,pbq— g;qb,) = 0.

'Гак же

4*№(Ь*1 - г}*) = - j — g ' ^ ^ - g , ^ ) =

(П) Спачала мы отметил! следующее тождество для любой аф финной связности (Г]*}, совместимой с g: если [Т)и1 — тензор кручения и S}k = gimgjnTmh, то

rj/i = {/л! +~пT}k+ -j (Sjh +

(4.36)

Действительно, в силу

(4.18)

<>hg-V— g A

— g>mTl:} —0,

< ) х

j g«h — gm h Tjs

tfsml jh — 0,

— ~ ^ g jl t + gm hi'Tj + /ТдпГГь = 0.

Поэтому, согласно

(4.19),

I i i

\ J s f д

(^ft 8у -r ~ i 8sk -

^ &*) -

= 4 gisgm}(IT. -

n )

+ \ g isgmh(г™ -

г™) + i. (r|tj + rj„) =

= — Y (SJ><+ s h) + 4

( Г'Ь' +

rjft) =

— \ (s )h +

$!<]) +

rjk — ~

T)h.

г1'ем

самым (4.36)

доказано. Так

как

g1 7 )к =

то

(4.34)

вы

полняется в том и только в том случае, если

g’kSjk =

gjkS’jlh

для всех

г =

1, 2,

т. е.

gi"gimg;n (тптк-

Т'£) = gim(Tnmn -

T’Z )

= 0 ,

i = 1, 2, . . . ,

Наконец, это эквивалентно следующему:

gbigin {Tin -

7’mn) =

{Tin -

Til) =

0, к =

1, 2, ... , d.

272	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Отсюда легко убеждаемся,			что соответствие	между V =	(Г]/,}
и -Ъ,	определенное	равенством	(4.33), является	биекцией,	если
d = 2,	тогда как при	d > 2 оно	является много-однозначпой		сюръ
екцией.				и А — дифферен
Пусть М — дифференцируемое многообразие				и А — дифферен

циальный оператор второго порядка на М, выражаемый в локаль ных координатах в виде

Aj (г) = 1	(х) - f L , (х) +	V (х) М- (*),	/ е F (М),	(4.37)
*	дхгох*	Ох1
где {а’3{х)) симметрична и неотрицательно			определена*).	Если
(а<3(х)) строго положительно определена, т. е.
а<3(х)%{%} >	0 для всех х	и \| = (\| ()е= Rtf\{0>,		(4.38)

то оператор А называем невырожденным. Соответствующая Л-дцф- фузия также называется невырожденной. Теперь любая невырож денная диффузия на М может быть построена но теореме 4.2. Дей ствительно, пусть А — невырожденный дифференциальный опера тор. При замепе локальных координат (ai}(x)) и (Ъ\х)) преобра зуются соответственно по формулам

а11(х) =		дхг дх1		(4.39)
а11(х) =		а'“ ( х ) ^		(4.39)
		дхк Ох1
И
		i)xhaxl		(4.40)
		i)xhaxl
Из (4.39) следует,	что	(а,3(х) ) — тензорное	поле типа	(2, 0), и
поэтому обратная	к нему матрица (gij(x))		определяет	тензорпое

поле тина (0, 2), которое также симметрично и положительно

определено. Таким образом, оно определяет римапову		метрику g
на М, н поэтому М — риманово многообразие. Далее, имеем
	А = \ А м + Ъ,	(4.41)
где b = Ь1(х) —г задается равенством
	дхг
	bi { x ) = h i{x) + \ g li\ii\	(4.42)
Очевидно,	Ъ— векторное поле па М. Выберем теперь	аффинную
связность	V = {Г]„} на Л/, совместимую с g, такую, что**)

Ь1( х ) = ^ тк({т1и} - Т 'тк).

*)	Эти свойства (atj (х)) не зависят от выбора локальных координат.
**)	gmk — amk ,10 определению.

§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ

273

Ото всегда возможно в силу предложения 4.3. Л-диффузия теперь строится так же, как и в теореме 4.2.

З а м е ч а н и е 4.2. В этом построении Л-диффузии мы восполь зовались аффинной связностью. Л-диффузию можно также построить с использованием лишь римановой связности Vя. в этом случае мы

сначала		строим	поток диффеоморфизмов	r(t) = (r(t,	г,	w) )	на
()(М)	как решение стохастического дифференциального				уравнения
			dr(t) = Ea{r(t))°dw,‘ (t) + L0(r{t))dt,			(4.43)
где (£,,		Г 2, ...,	L<i) — система канонических горизонтальных				век
торных нолей, соответствующая связности Vя, а векторное поле
сноса	.Г,, — горизонтальный лифт (относительно связности					Vя)	век
торного		поля Ъ. Тогда Л-диффузия Х(1)		получается проектирова
нием: X(t) = n\r(t)\

Исследуем, наконец, некоторые задачи, связанные с инвариант ной мерой невырожденной Л-диффузни. Для простоты будем пред полагать, что М компактно и ориентируемо. Как мы видели выше,

без потери общности можно предположить, что М — риманово	мно
гообразие и Л имеет вид
Л = Ам + Ь,	(4.44)

где Дм — оператор Лапласа — Бельтрами и bsS( M) . Пусть ( P J — система диффузионных мер, определенная оператором Л (т. о.

Л-диффузия).	Р* — вероятностная				мера	на*)		W(M). Переходная
полугруппа Т,	Л-диффузии определяется равенством
(7 V )(z)=			j	Hw{t))Px{dw),			/ е С ( М ) .		(4.45)
			W(М)
Пусть Q — область		(т.	е.	связное	открытое			множество)	в М, в
определим p°ipe\V(Q),			n;e\V(M),		равенством
					если	t <	T Q {W ),
					если	t >	T Q Or),
где т0(ш)= inf {/:		w(t)^Q}. Мера-образ				меры		Px (те£1)	при ото

бражении р° обозначается через Р*. Эта мера является вероят

ностной мерой па W(Q). Как легко		видеть, 1Р*1жга определяет
диффузию на Q; эта диффузия называется минимальной Л-диффу-
зией на Q. Переходная полугруппа этой диффузии определяется
равенством **)
(T?f)(x)= .f f(w(t))PQx(dtv)=	f	Hw(t))I{XQ{w >t]Px(dw),
\V(Q)	\V (M )	/ e C b(Q). (4.46)
_______________		/ e C b(Q). (4.46)
*) 'Гак как .V компактно, то W(A/) =		W (M) — множество всех непрерыв

ных путей (траекторий) в М.

**) Мы полагаем /(А) = 0 для / е Сь(Й). 18 с. Ватанабэ, Н. Икэда

274	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
О п р е д е л е н и е		4.3. Борелевская		мера, р (dr)			па М называет
ся инвариантной мерой Л-диффузпи (Рх), если
	\| ТJ (х) р (dr) =		i/(r)p (d r)	для	всех	/<=С(М).		(4.47)
	м		А/
О п р е д е л е н и е		4.4. (I) Л-диффузия (Рх) называется симмет-
ризуемой, если существует борелевская мера v (dr)							на М такая, что
j	Т </(х)8 (х) v (dr) = i		/ (г) (Ttg) (х) v (d x )		для	всех	/, g е	С(А/),
ы		м						(4.48)
								(4.48)

(II)Л-диффузия {Рх} называется локально симметрируемой,

если (d*j	симметризуема для всякой одпосвязной области Q c f ,
т. е. если	существует	борелевская мера	v°(dr) на	Q такая, что
j T?f(x)g (х) vQ(dx) =		f/ (x) T®g(x) v° (dr)	для вссx	/ , g e Q, (Q).
h	s>			(4.49)
				(4.49)

Ясно, что если {P*} симметризуема, то мера v в (4.48) является инвариантной мерой.

Дифференциальная 1-форма ©6 определяется по векторному нолю Ъравенством

©b — bi(x)dx\

(4.50)

где Ь= Ъ1— и bi — gtjb’ в локальных координатах. В силу хоро

д х х

шо известной теоремы де Рама — Кодаира [39] он допускает сле дующее ортогональное разложение *):

ю6 = dF + б? + а,

(4.51)

где F^F(M), ^ — 2-форма, а а — гармоническая 1-форма. Напомним некоторые основные понятия. Внутреннее (скалярное) произведе ние определяется па совокупности АР(М) всех р-форм равенством

					(а, р ),= \|‘ <а, (J>dc,	(4.52)
					м
где	а =	2	■<ip	ai1Л)»-
			■<ip
Р = .	. 2	.	Р		i dx
i		-<>р	1’2’’*'
i					Jpl
=8					Jpl

*) Относительно внутреннего произведения, определенного ниже равенст вом (4,о2).

		§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ					275
й dx — элемент объема, определенный равенством
		dx = ydet (gjj(x) )dx'dx2 ...			dx*.
Оператор б: Л„(М)-> A„_,(M)			определяется равенством
(da,		РЬ = (а, бр)Р- „	а е А Р-,(М ),		ре=Лр(Л/).		(4.53)
Лапласиан	де	Рама — Кодаира	□:	АР( М ) А Р(М)		определяется
равенством		□ = _(rffi +		Sd).			(4.54)

а^Ар(М)	называется гармонической, если				Da — 0.	Совокупность

всех гармопических //-форм обозначается через 11Р(М). Известно,

что Da = 0	тогда		и только		тогда, когда			da = 0 и 8а = 0.	Для
/ е F(M), g	r a	d	(М)	определяется равенством
				grad/ = gij^ - ^					(4.55)
						ох' дхг
и для X e J ( f ),		div X ^ F ( M )				определяется равенством *)
	divX =			-6<ex =		47= L = ^ I (X i / Ш С ) .			(4.56)
						У det G	д х ‘
Тогда оператор Лапласа — Бельтрами							(4.32) также задается в виде
	AAf/ = div(grad/) = —bdf						для	f^F( M) .	(4.57)
Легко видеть, что р — инвариантная мера А-днффузии (Рх) тогда
и только тогда, когда
	[ Af (х) р (dx) =				0	для	всех	/ е F (М).	(4.58)
	м
Действительно, согласно теореме 3.1 мы знаем, что u(t, x ) — T,f(x),
f^F(M), является единственным решением уравнения
			15 = Ли(*’ х)'
			I	lim	u(t,y) =		f(x).
			U l 0,2/-»*

К тому же мы видели в доказательстве теоремы 3.1, что Au(t,x) =

= Tt(Aj)(x). Поэтому, если выполняется			(4.47),	то диффорепци-*
рованием но t получаем
f Т( (Af) (х) р (dx) = 0		для всех	/ е ^ (М).
м
Устремив НО,	получаем (4.58).	Обратно,	если	удовлетворяется
•) С = (Su) и	X =

18*

270	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
270
(4.58), то
	О =		j (Аи) (t, х) р. (dx) =				J Ttf (x) \x {dx).
			M				M
Следовательно,		(4.47)		выполняется для f^F(M)					и поэтому		выпол
няется и для / е		С(М).			Справедливо			равенство*)
П р е д л о же ни е				4.4.	Справедливо			равенство*)
где **)		(Л/,		h)o = (/,		A*h)t ,	U	h = F(M),
где **)
	A*h =		-------bdh +			b(hu>b —		Amh — div (hb).			(4.59)
Доказательство			получается непосредственно						из	определения.
П р е д л о ж е н и е				4.5.	Инвариантная мера				p(dx)	А-диффузии

существует и единственна с точностью до мультипликативной кон

станты; более того, p(dx)	задается в	виде	v(x)dx, где v^F(M)
является решением уравнения
	A*v = 0.		(4.60)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Уравнение	(4.58)	эквивалентно урав

нению Л*р = 0 в смысле распределений Шварца па М. Так как А* — эллиптический оператор, то, согласно лемме Вейля [1], любое ре шение должно иметь вид p = vdx, v^F(M) . Более того, А, — 0 является наибольшим собственным значением задачи нахождения

собственных	значений		( А —А)ср		= 0; оно простое, и	(сср„:	c e R } —
собственное	пространство,			где	ср0(х) =1 . Поэтому	Я = 0	является
также наибольшим собственным значением задачи						(Л* — А)ср = 0;
оно простое,	и	связанное		с ним	собственное пространство		задается
в виде {с(р0:		c e R \| ,	где	ср*	можно выбрать так,	что	ф0 (ж' ) > 0

для всех х е М * * * ) . Следовательно, все инвариантные меры Л-диф

фузии	задаются		в виде р = ccp*dx			для		некоторой		константы с > 0.
Выберем U ( x ) ^ F ( M )				так, чтобы			Л*(е~р) = 0,			т. е.	e~udx яв-
ляется инвариантной мерой. Так как							•			1
ляется инвариантной мерой. Так как							•	Л* (е~и) --------^-bd(e-u) +
+ 8(е~-ищ) =		0,		-j						для	некоторых
+ 8(е~-ищ) =		0,	то е~ищ ---- ^ d(e~u) =							для	некоторых
Pi е Ао (М) и а, е			/7, (М), т. е.
			e~uidb=	-i- d (e~v) +				6Pi +	а,,		(4.61)
*)	(/, £')„ ■-	J / (rl g (.r) dx,		dx		"l/(let G dx1dxi ,.. dxd.
		м							<1*1A ' ^ ' 1 Л
**)	Для / e	F (M) и a ^ A p (M),			a		a {	f	<1*1A ' ^ ' 1 Л		f\dx'p,
fa определяется равенством fa				(fa.	,		.	4 dx{1f\ dxi2 Д ■••Л rfxtp.
				\			•*/>/

***) Этот факт хорошо известен и также является следствием теория по ложительных операторов [93].

				§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ					277
9Д0	&1 ^Л 2(М)		и	Й1^/7\|(Л/).		Обратно,	если		U удовлетворяет
(4.61)		с некоторыми ^			и ccj, то
		A*(e~L) =		8^е~го)ь-----^-d(e~l )j =			6(6^	+	а х) == О,
и поэтому e~U(x)dx				является инвариантной			мерой. Формула (4.61)
надает разложение				де	Рама — Кодаира 1-формы			е~и<аь.
Т е о р е м а			4.6.	(I)	Л-диффузия симметризуема тогда и только
тогда,		когда
					6р — а = 0 в (4.61)*),				(4.62)
а это		условие	эквивалентно следующему.
					6^ = а1 =	0 в (4.61).			(4.63)
Условие (4.62) или (4.63) эквивалентно условию,									чтобы Ъ задава
лось	в виде				b = gradF,	F^F(M),			(4.64)
					b = gradF,	F^F(M),			(4.64)

и в этом случае инвариантные меры имеют вид константа X e2F(x)dx. (II) А-диффузия локально симметризуема тогда и только тогда,

когда

	6^ = 0		в	(4.51).			(4.65)
Это условие эквивалентно следующему:
	dcob =			0.			(4.66)
	(III) Мера cdx (константа	с >		0)	является		инвариантной	ме
рой А-диффузии тогда и только тогда, когда в							(4.51) dF = 0;	это
условие эквивалентно следующему.
	бсоь =	—div Ъ= 0.					(4.07)
■ва	С л е д с т в и е . А-диффузия	симметрична				относительно римано-
	объема dx (т. е. симметризуема и мера v					в	(4.48) совпадает с
dx)	тогда и только тогда, когда		она		представляет собой броунов
ское движение па М.			U0(x)^F{M)				определяется усло
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
виями
	f е~ио{x)dx =	1	и	Л* (е~ио) = 0.
	м
Тогда м ерае-1 ,“('т)Фг------ единственная					инвариантная вероятностная

мера ^4-диффузии. Если мы введем другое внутреннее произведе ние на F(M) посредством равенства

<u, v> = [ и (х) v (х) e~v°{x)dx,	(4.68)
м

) См. [91] и [131].

278	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
то легко видеть, что
где	<Аи, v> = <и,	Лу>,
где
	! v = 2 AMV — (Ь +	grad U0 v.	(4.69)

Предположим, что Л-диффузия симметризуема. Как мы отмечали выше, мера v из (4.68) является инвариантной мерой, и поэтому, если мера v нормирована так, что она является вероятностной ме

рой, то мы должны иметь

v (dx) = е~1oKXdx.

Таким

образом,

(Т,и, v> =

<u, 7Vv> для и, v^F( M)

в силу

(4.48), и поэтому диф

ференцированием

по

t получаем

ы м и , v> =

<и, TiAv).

Устремив

110, имеем

<Ли,

v> =

<и, Лу>,

и ,

следовательно,

Лу =

= Ах для всех v^F(M), т. о.

Ь= — (fe + grad t/(,).

(4.70)

Поэтому

b =

- - j

grad U0.

Обратно,

если

b = grad/<’, F^F(M),

то

m — dF,

и поэтому

e2Fcob= y d ( e Jf).

Следовательно,

U =

—2F

удовлетворяет

урав

нению

(4.61)

c 6P! = oc = 0. Поэтому e~vdx — инвариантная

мера и

U = U a + c

для

некоторой

константы

с.

Следовательно,

имеем

Ъ— —

j grad U0,

отсюда

следует, что Лv = Лv, v^F(M) . А в

общем

случае Л-диффузия {Pi)

Л^диффузия

(РЛ связаны друг

с другом через свои переходные полугруппы Tt и Tt соответственно

.соотношением
	<Т,и, v> = <и,	T/v),	и, v^F(M) .
Действительно,
£	< TtKu, 7>> = < - ЛТ,-л, 7\v> +		<Г(- 8и, 2Tsv} =
	=	— <2"\|-4и, Л7>> + <Г(_4н, 2 f,v > = 0
и,	следовательно,	(
		(
	<7>, v> — <и, f,v> = —		<Т( - sw, Tsv} ds = 0.
	A	О
	A

Поэтому из ^4—	Л следует, что	<7\и, v> = <u, Ttv)	и, следователь-
но, Л-диффузия	симметризуема.	Доказательство (J)	завершено. До-

§ 5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС	279
киантельство (II) можно провести аналогично. Наконец, мера	dx

ннлнется инвариантной мерой тогда и только тогда, когда функ


ции	U	в	(4.61)		постоянна, т.		е.	соь = бр + а	для	некоторых
[1 е Л2 (М) и а е				Я, (М).					дать вероятност
З а м е ч а н и е				4.3. Представляется интересным					дать вероятност
ную	интерпретацию				для	условий	типа	«в (4.51)	а = 0»,	«в (4.61)
оц = 0»		или	«в	(4.61) ^ 1		= 0». В	этой	связи Маиабэ 1116] получил

следующий результат. Сначала он определил «стохастический сим

вол Кронекера»		7(Х[0,	f], с)	между d — 1 цепью с		в М и орбитой
А'[0,	i] = {X(s);	s e [0 ,	f]> Л-диффузии X(t)		как	случайный про
цесс.	Затем он	показал,	что	в (4.61) af = 0	тогда	и только тогда,

когда для любого d — 1 цикла с

lim I (X [0, t\, c);t = 0 и. н.

tТ ° 0

§5. Стохастический параллельный перенос

и уравнение теплопроводности для тензорных полей

Пусть М — риманово многообразие и А — оператор Лапласа— Бельтрами. Тогда, как мы видели выше, единственное решение уравнения теплопроводности

ди	1 .		(5.1)
-т = т Аи'
11\|(=0 =	/
можно задать в виде		х))],	(5.2)
u(t, x) — E[f(X(t,
где X(t, х) — броуновское движепие		на М,	начинающееся в х.

Для того чтобы обобщить этот факт на случай уравнения тепло проводности для тензорных полей, Ито [71], {75] ввел понятие

стохастического параллельного переноса. Его идея состоит в сле дующем. Рассмотрим уравнение (5.1), где и и / теперь являются тензорными нолями на М, а Au = g<XiVju, где V — ковариаптпое дифференцирование относительно римановой связности. Тогда ре шение и задастся равенством

и(«,х) = £ [ /( Х ( ( ,т ) Ц		(5.3)
где / (X (£, х))* — тензор в точке	х, получаемый	из тензора
/(X (t, х)) в X (t, х) параллельным	переносом вдоль броуновской

кривой с обращенным временем. Трудность этой процедуры состоит

и получении / (X(t, x))# в качество	параллельпого переноса
f(X(t, х)) вдоль броуновской кривой с	обращенным временем. Ито

определил его в качестве предела параллельпого переноса вдоль

кусочно геодезической кривой	от X(t\ х) в х,	аппроксимирующей
броуновскую кривую с обращенным временем.		Но, как мы видели
и предыдущем параграфе, с	использованием	стохастического ис-

280	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
числения	можно	произнести параллельный перенос вдоль броунов
ской кривой от		х в X(t, х) в обычном смысле времени. Более-

того, мы можем фактически реализовать идею Ито, воспользовав шись только такими параллельными переносами. Вместо перенесе

ния тензора		в	X(t,	х) в	тензор х мы переносим ортонормальный
репер	e(t)	в	X(t,	х) в	ортонормальный репер е(1)	в	X(t, х)
вдоль	броуновской			кривой	и прочтем тензор в X(t, х)	с	использо

ванием этого репера e(t). Этот подход принадлежит Малливэну [112]. Теперь ясно, что процесс r(t) = (X(t, х), е(1)) является го ризонтальным лифтом на О(М) броуповской кривой X(t, х), по строенной в предыдущем параграфе. Таким путем решается урав нение теплопроводности (5.1) для тензорпых полей. Модификацией математического ожидания с весом тина Фейнмана — Каца молено решить также уравнение теплопроводности для дифференциальных форм

(	да	1	_	а'	(5.4>
	0 1 -	2	-
la\|t=o =		/.
где □ — лапласиан де Рама — Коданра				(4.54).	и О(М) — рас-
Пусть М — компактное	риманово		многообразие

слоепие ортонормированных реперов над М. Пусть (Et, Ег, ..., Ed — система канонических горизонтальных векторных полей на 0(М)

относительно римановой связности	Как и	в предыдущем
параграфе, поток диффеоморфизмов r(l) = (r(t, г, w))		па О(М) опре

деляется посредством решения стохастического дифференциальногоуравнения

idr(t)=Za{r(t))°dw*(t),

	\ г (0) = г.					V'	" '
r(t) определяет диффузионный процесс на О(М),				который	соответ-
ствует дифференциальному оператору — Ао(мь где
	До(л/) = 2		La (La).			(5.G)
r = (r(t))	называется горизонтальным броуновским движением						на
О(М), а	Л0(М) — горизонтальным		лапласианом Бохнера.		Как		мы
видели в предыдущем параграфе,			проекция X(t) = л [r(f)]		является
броуновским движением на М. Мы пишем r(t, г,				w) = (X(t,		г,	w)T
e(t, г, w)). Мы знаем, что		Tar, w) — X(t, г, aw)				(5.7)
и	X(t,
		г, aw)a	для всякого*)	а е 0(d).		(5.8)
e(l, Tar, w) — e(t,

*) См. (2.31) для определения e(t, г, гг) а.

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб17Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб0Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб1Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf