книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

112

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

< 2КаЕ ( J I F (n) (*) -

F (n-1) (s) |2) ds =

2 Z 2 u

{I F (n)(в)- Y (n~v (s)|2)ds

lo

J

0

h < 2E ||JT|e| к

(F (n) (*)) -

a2 (F (" - 1) (S) ) ] 2 d\Л(, <

< 2E {t j [a2(F ("> (.)) -

a2(F (n- 1) (s) ) ] 2 ds} <

t

< 2F£

2 j £ 11 F (n) (s) -

F (n_1) (s) |2} ds.

О

Следовательно,

£ l|F(n+1 )( t ) - F (n)(0 l4) < ( 2 ^

+ 2ГЯг) j E [|F(n)(s) — F (n_1 ) (s)|2 )d s<

О

t

0

Поэтому неравенство

E ( |F (n+1) (t) -

F (n) (*) |2} <

CXK%

t s

[О* Г1,

(2.6)

получается по индукции. Согласно теореме 1-6.10

E { sup

|F (n+1) (t) -

F (ri) (i) И

<

<

2 E | sup

j‘ [ « 1

k (n) to) -

« 1 ( r (n_1) to)]

to

+

+

2E \ sup

,f[a2 ( F (ll)( s ) ) - a 2 ( ^ n_1 ) (s))]dI(s)

[o <t <T

/ ( T

[a1( F (n)( s ) ) - a 1( F (n- 1)(s))]dM(s)J

j +

; 8 £ ^ | f

+ 2E ( ! f

1a, (F (n) (s)) -

a2 ( Y ^

(S)) |d $\(s)} l

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ

113

Последняя сумма мажорируется выражением

г

8 К* j Е { |Y (n) (s) -

Y (n_1) (s) |2] ds +

0

T

+ 2TK2- § £

(| Y (n)(s) -

Y (n_1) (s)I2) ds< ( 8 К2+ 2TK2 CxKnT~l ^

Следовательно,

p ( sup

1F (ra+1) (t) -

F (ri) (О I >

-^r) < const x

и стандартным

применением

леммы

Бореля — Кантелли получаем*

что У*п)

сходится равномерно на [0,

У] п. н. Предел Y(t) — непре­

рывный

(#"|)-согласованный

процесс,

и согласно (2 .6 )

£ ( 1 У„(г)—

— У(£)|2)->-0

при га-*- оо,

t е [О, Т\

Теперь легко

видеть, что*

Y — (Y(t))

удовлетворяет

(2.5). Чтобы доказать единственность, до­

пустим, что

У, и У2 удовлетворяют (2.5). Тогда, применив выклад­

ки, аналогичные вышеприведенным, получим

t

E U Y ^ - Y A W X K T ^ E i l Y M - Y . m d s .

О

Усокая,

при необходимости,

7i и У2

моментами остановок, можем

предположить,

что

функция

s >-*£{( Y x(s) — У 2 (s) |2}

ограничена*

С л е д с т в и е . Пусть о}(х), i = 1 , 2, ...,

d, у = 1,

2, ..., г,—

действительные непрерывные функции на Rd,

дважды

непрерывна

рого порядков. Тогда

для заданных dX\ dXz, ..., dXr ^dQ

и у =

= (у\ Уг, •••> y<i) e

R<J существует единственный набор квазимартин­

галов У1, У2, ...,

Ydе

Q таких, что

[ Г 1(0) =

у\

{ d Y * (t) =

£

<Jj( F (t)) о d X

* (t),

1=

2 ’ ' ‘ ‘ '’

d '

( 2 ‘ ? >

v

j=i

Д о к а з а т е л ь с т в о . Система

(2.7)

эквивалентна

системе

114

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Эта система уравнений является частным случаем

(2.1). Коэффици­

енты а) и

удовлетворяют условию Липшица

согласно

/i=iдх

следствия.

предположению

теорема

сущест­

Таким образом, установлена достаточно общая

писаны явно.

d = 1, и

рассмотрим

для заданного

П р и м е р * ) 2.1. Пусть

X ^ Q

с Х№— 0 следующее уравнение:

dYt =

a (Y t) ° d X t +

b(Y t)-dt,

Г 0 =

У,

где о е

С2 (R1 -*■R)

с ограниченными а'

и а", а Ъ является лишпи-

цевой

функцией.

Согласно

следствию

к теореме

2.1 существует,

dYt =

а(и(Dt, Xi))adXt +

(

x t

+

(Dt, X t) exp I — j

a' (u (Du s)) dsJ b ( u ( A , X () ) . * .

„

d du

=

a

i i i

w du

ди

,

n\

A

Но из

(u (x, z))

и —

{x, 0) =

1 следует, что

du

i .

*

—

(X, z) = exp

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ

415

d

П р и м е р

2.2.

Пусть Ah= 2

А{ (х)

— С°°-векторное

поле *)

ни Rd,

к — 1, 2,

j=1

что производные

первого и

..., г. Предполагаем,

второго порядка всех коэффициентов ограничены. Для

заданных

Х\ X2, ..., Г е С

с

Х * = 0 ,

i = 1,

2,

...,

г,

и г ( | ' ,

■е R* рассмотрим уравнение

dYl (t)

=

21 At (У (t)) о dXh (t),

i =

1,2,

..., d.

H= 1

1 ^ ( 0 ) =

^,

[I]**). Если векторные поля At, A2,

Ar коммутативны, т. e.

[Ap, Aq] = 0,

p,

q =

1, 2, ...,

г, то

отсюда

следует

интегрируемость

уравнения

Ят/г

A}(u(z,z)),

i =

1,

2, . .

d,

j =

1 , 2, . . . ,

r,

—r(z,z) =

ozJ

u(z,

0) =

z e

Rd,

и, таким образом,

имеем решение

u(z, z) = (ui(z,

z), ..., ud(z, z)).

Если положим Y] =

чг (у, X(),

i =

1, 2,

. . . ,

d,

где X t = (X j,

Xf, . . .

. .. , X(), то из правила дифференцирования сложной

функции

(1.14)

немедленно

следует,

что Y — (У }, F?, . .

Yf)

— решение

уравнения (2 .8 ).

некоммутативный

случай,

предпо­

[И] ***). Рассмотрим теперь

лагая, что векторные поля Аи А2, ...,

Аг удовлетворяют

условию

\Аи

А к]] =

0,

i,

/, *

=

1 , 2 , ...,

г,

(2.9)

ние уравнения

(2.8)

задается

следующим

образом.

Пусть

3£> —

{(I, J): \ < К

J

г)

и

20 — (1, 2, ...,

г} Uiz>. Для

z = (z1) ^ ^

рассмотрим следующую систему уравнений:

i-i

-

4

(“ (*)) -

2

z4

.i (“ (*)),

*

- 1 , 2 , . ,

(2.10)

° Z

р=1

дип

=

A'j'U(и (z)),

! < / < & < ? • ,

h = i , 2 , . . . , d ,

9zO,k)

*)

См. главу V, § 1.

**)

Досс [42].

[187].

***)

Дополнительную информацию на эту тему можно найти у Янато

116

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

d

2 4 * ( * ) ^ й

=

Г 4 А ]:

= Aj<k.

Можно

доказать, что

из

(2.9)

следует

условие

интегрируемости

(2 .1 0 ),

и

поэтому

для

заданного

j e R 1

имеем решение

(и*(х, z))(_ 1,2 ......л уравнения

(2 .1 0 )

такое, что

и*(ж, 0)=х\ i —

= 1, 2, ...,

d. Пусть

t

l < / < f c < r ,

X{'k =

§Xi*dXks,

о

=

2

4

(У,) • dX{ -

is

2

4,3 <Xt) X’i . d x l +

3=1

з‘= 1 ft= l

+

2

Aik(Yt) X { o d X ^

2 4 ( F t)odX|.

K j< .k < r

3 = 1

Например*),

если

d = 3,

r = 2

и

Лх =

+ 2ж2

Аг = ~

—

dx

dx°

dx-

— 2a:1 / 5 , то

решение

У, = (У?,

У*,

У?)

задается

равенствами

дх

y i - y i + X,1,

y f _ y » +

X f

и

y » = y* +

2 (y 2X j - p iX ? ) +

+ 2 ^J X* оdx\ -

J x ; оdx||

Рассмотрим

решение

Y(t) = (Y'(t), Y*(t), ...,

Ya(t))

уравне­

ния (2.8). Если С2-функция /(ж),

определенная на Rd, удовлетворя­

ет условию

Л */= 0,

к =

1, 2,

...,

г,

то

f(Y(t)) = f(y)

для

всех

On. н. Действительно,

df (У (*)) = 2

dif (Y (t)) . dYl(t) =

2

2

4

(У (*))

(У (*)) о dxht =

i = l

4=1 fe=l

"

1

=

,Д ( 4 /) (У (t))cdx\l

= 0

§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ МАРТИНГАЛОВ

117

а

Например, еслиArf => V

A)t(х) ^Ц-(х), к =

1, 2,

d, с А\(х) = 6 ^—

г—1

ete1

<2

—

а:|*, а: = (х1, х2, . . . , a ^ ) e R d\{0},

то

f(x) =

2 (^)* удовлет-

иоряет условию Лй/ =

0, к =

1, 2, . .

г = 1

все­

d. Поэтому решепие У(£)

гда

остается

на сфере

с

центром 0

и

радиусом

|у| (=|У (0 )|).

Если

выберем

Хк

к = 1, 2, . .

d,

с

dXk•dXl — Ьы•dt,

т. е.

(X1, X2,

Xd — d-мерный винеровский процесс, то тогда решение

уравнения

| d F 4 *)=

2

4

(Г (* ))» « ? .

,

, о

а

j

ft=l

4 —- А*

• • •» t*'t.

Т е о р е м а

3.1.

Существуют

универсальные

константы

сР,

CV(Q< р < °о)

такие, что для каждого

М е

Ж ( = М\'ш ) и t ^ O

срЕ (М(*2Р) < Е (<М, М>?) <

СРЕ (М ГР г

(3.1)

где М* = max |Ms|.

о

(3.1)

для ограни­

Д о к а з а т е л ь с т в о * * ) . Достаточно доказать

ченного

мартингала M = (Mt), так как общий случай легко следует

методом

усечения.

Действительно,

полагая

Т„ =

in fU:

\M(t)\&*n

или <М>( > п),

имеем Тпt °° п. н.,

и если (3.1)

выполняется

для

М Тп = (Л7тпд<)

с не зависящими от п ср и Ср, то, переходя к пре­

делу при п -*•

получим справедливость (3.1) для М. В доказа­

тельстве

вместо

<М, МУ будем писать

А.

Согласно

неравенству

(6.16) главы I

^ ( М Г Р) < ( ^ Ё 1 ) " ^ ( 1 М 4|Р),

р >

1.

(3.2)