книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
УДК 378 ББК5.1 Б 50
Берман Г. Н.
Б50 Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие. — 22-е изд., перераб. — СПб., Изд-во «Профессия», 2002. — 432 с.,
Настоящий сборник задач предлагается студентам, изучающим математический анализ в объеме программы для высших учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа.
Первое издание сборника вышло в 1947 году и прекрасно себя зарекомендовало в учебном процессе. Однако за прошедшие годы ряд разделов математического анализа, изучавшихся ранее в вузах, были включены в программу средней школы, и редакторы двадцать второго издания сочли возможным исключить задачи, относящиеся к этим разделам. Нумерация задач для удобства использования осталась такой же, как и в семнадцатом издании (1977 г.).
ISBN 5-93913-009-7
Ответственный редактор: А. Виноградов Верстка: Л. Крымская
Корректор: Н. Полонская
Издательство «Профессия» Санкт-Петербург, 191002, а /я 600
Факс: (812) 272-72-37, тел.: 273-66-32, e-mail: professija@yahoo.com Лицензия ИД №00469 от 25.11.99 г.
Подписано в печать 16.01.02. Формат 60 х 88 1/ 16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 5000 экз. Заказ № 2525.
Подготовлено при участии ТОО «Мифрил». Лицензия ЛР № 070819 от 15.01.97 Отпечатано с готовых диапозитивов в АООТ «Типография “Правда”».
191119, С.-Петербург, ул. Социалистическая, 14
УДК 378 ББК5.1
ISBN 5-93913-009-7 |
© Издательство «Профессия», 2002 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие................................................................................................... |
6 |
Глава 1. Функции........................................................................................ |
7 |
§ 1. Первоначальные сведения о функции................................. |
7 |
§ 2. Простейшие свойства функций............................................. |
10 |
§ 3. Элементарные функции. Обратная функция..................... |
14 |
Глава II. Предел. Непрерывность............................................................ |
25 |
§ 1. Основные определения............................................................. |
25 |
§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования |
|
предела........................................................................................ |
28 |
§ 3. Непрерывные функции........................................................... |
31 |
§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых..... |
34 |
Глава III. Производная и дифференциал. Дифференциальное |
|
исчисление.................................................................................. |
44 |
§ 1. Производная. Скорость изменения функции..................... |
44 |
§ 2. Дифференцирование функций.............................................. |
48 |
§ 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции............... |
66 |
§ 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие |
|
примеры)..................................................................................... |
71 |
§ 5. Повторное дифференцирование............................................. |
79 |
Глава IV. Исследование функций и их графиков................................. |
86 |
§ 1. Поведение функции................................................................. |
86 |
§ 2. Применение первой производной......................................... |
87 |
§ 3. Применение второй производной............................................. |
99 |
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений.................. |
102 |
§ 5. Формула Тейлора и ее применение........................................ |
111 |
§ 6. Кривизна....................................................................................... |
114 |
Глава V. Определенный интеграл............................................................ |
118 |
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства........ |
118 |
§ 2. Основные свойства определенного интеграла...................... |
122 |
Глава VI. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление.... |
129 |
§ 1. Простейшие приемы интегрированйя.................................. |
129 |
§ 2. Основные методы интегрирования........................................ |
133 |
§ 3. Основные классы интегрируемых функций......................... |
137 |
4 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава УП. Способы вычисления определенных интегралов. |
|
|
|
Несобственные интегралы....................................................... |
145 |
|
§ 1. Способы точного вычисления интегралов..... ...................... |
145 |
|
§ 2. Приближенные методы.............................................................. |
153 |
|
§ 3. Несобственные интегралы......................................................... |
156 |
Глава УШ. Применения интеграла......................................................... |
161 |
|
|
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики.............................. |
161 |
|
§ 2. Некоторые задачи физики....................................................... |
181 |
Глава IX. Ряды.............................................................................................. |
192 |
|
|
§ 1. Числовые ряды........................................................................... |
192 |
|
§ 2. Функциональные ряды.............................................................. |
197 |
|
§ 3. Степенные ряды........................................................................... |
201 |
|
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора................................. |
204 |
Глава X. Функции нескольких переменных. Дифференциальное |
|
|
|
исчисление................................................................................... |
208 |
|
§ 1. Функции нескольких переменных.......................................... |
208 |
|
§ 2. Простейшие свойства функций............................................... |
210 |
|
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких |
|
|
переменных................................................................................... |
215 |
|
§ 4. Дифференцирование функций................................................. |
220 |
|
§ 5. Повторное дифференцирование............................................... |
224 |
Глава XI. Применения дифференциального исчисления |
|
|
|
функций нескольких переменных......................................... |
229 |
|
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких |
|
|
переменных................. |
229 |
|
§ 2. Плоские линии............................................................................. |
236 |
|
§ 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в |
|
|
пространстве. Поверхности...................................................... |
238 |
|
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направле |
|
|
нию.................................................................................................. |
245 |
Глава ХП. Многомерные интегралы и кратное интегрирование..... |
248 |
|
|
§ 1. Двойные и тройные интегралы............................................... |
248 |
|
§ 2. Кратное интегрирование.................................. |
249 |
|
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сфериче |
|
|
ских координатах....................................................................... |
254 |
|
§ 4. Применение двойных и тройных интегралов...................... |
257 |
|
§ б. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие |
|
|
от параметра................................................................................. |
269 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
5 |
Глава ХШ . Криволинейные интегралы и интегралы по поверх |
|
|
|
ности ............................................................................................. |
276 |
§ 1. Криволинейные интегралы по длине.................................... |
276 |
|
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам........................ |
280 |
|
§ 3. Интегралы по поверхности...................................................... |
287 |
|
Глава XIV. Дифференциальные уравнения.......................................... |
291 |
|
§ 1. Уравнения первого порядка.................................................... |
291 |
|
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение)........................ |
305 |
|
§ 3. Уравнения второго и высших порядков............................... |
310 |
|
§ 4. Линейные уравнения................................................................. |
314 |
|
§ 5. |
Системы дифференциальных уравнений............................... |
322 |
§ 6. Вычислительные задачи............................................................ |
325 |
|
Глава XV. Тригонометрические ряды....................................................... |
328 |
|
§ 1. Тригонометрические многочлены........................................... |
328 |
|
§ 2. Ряды Фурье................................................................................. |
329 |
|
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ............................... |
333 |
|
Глава XVI. Элементы теории поля.......................................................... |
335 |
|
Ответы, |
|
342 |
Предисловие к 22-му изданию
Настоящий сборник задач предлагается студентам, изу чающим математический анализ в объеме программы для выс ших учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа.
Теоретические справки о необходимых формулах в за дачнике не помещены; имеется в виду, что читатель найдет их в соответствующих разделах учебника. Большинство параграфов для удобства подразделено на части, причем группам задач с однородным содержанием предшествует общее указание. Перед задачами физического содержания даются нужные справки по физике. Для более трудных задач указания к решению даны в разделе «Ответы»; такие задачи отмечены звездочкой.
Первое издание сборника вышло в 1947 году. За прошед шие годы ряд разделов математического анализа, изучавшихся ранее в вузах, были включены в программу средней школы. За дачи, относящиеся к таким разделам, редакторы двадцать вто рого издания сочли возможным исключить. Нумерация задач, однако, для удобства использования осталась такой же, как и в семнадцатом издании (1977 г.).
Глава I
ФУНКЦИЯ
§1. Первоначальные сведения о функции
Функции и способы их задания
1.Сумма внутренних углов плоского выпуклого многоуголь ника является функцией числа его сторон. Задать аналитически эту функцию. Какие значения может принимать аргумент?
4.Функция задана графиком, изображенным на рис. 1. По графику ответить на следующие вопросы:
а) При каких значениях независимой переменной функция обращается в нуль?
б) При каких значениях независимой переменной функция положительна?
в) При каких значениях независимой переменной функция отрицательна?
6.Записать функцию, выражающую зависимость радиуса г
цилиндра от его высоты h при данном объеме V = 1. Вычис лить значения г при следующих значениях Л: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Построить график функции.
7. Выразить площадь равно бочной трапеции с основаниями а и Ъ как функцию угла а при основании а. Построить график функции при а = 2, Ъ= 1.
8. Выразить зависимость дли ны Ь одного катета прямоуголь ного треугольника от длины а другого при постоянной гипоте нузе с = 5. Построить график этой функции.
8 |
|
|
|
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ |
|
|
|
|
9. Даны функции a) f(x) = Z-£\ б) <р(х) = ~ |
~ . |
|
||||||
Найти: |
f (О); |
/ (l); |
f(2); |
/( - 2 ) ; |
|
f { j 2); |
|/(|)|; |
|
ф(0); cp(l); |
cp(2); |
ф (-2 ); |
ф(4). Существует ли |
/ (—l); |
ф (-1 )? |
|||
10. Дана функция f(u) = u3 - 1. |
|
|
|
|||||
Найти: /(l); f(a); |
f(a + 1); |
f ( a - l ) ; 2 / (2a). |
|
|||||
11. Даны функции |
F(z)=2z~2 и ф(г) = 2^l”2. |
|
||||||
Найти: |
F (О); |
F (2); |
F(S); |
* ( - l ) ; |
F (2,5); |
* (-1 ,5 ) |
и ф(0); |
|
ф(2); Ф ( - 1); ф(дс); ф (-1) + *(1). |
|
|
|
|||||
12. Дана функция ф(*)= fa*. |
|
|
|
|||||
Найти: ф(0); |
ф(1); |
\|/(-l); |
ф(^); |
ф(а); \|/(-а). |
|
|||
13.ф(f) = f3 +1. Найти: ф (f 2) и [ф (f)]2.
14.F (лс) = х4 - 2х2 + 5. Доказать, что F(a) = F (- a).
15.Ф {г) —z3 - 5 z. Доказать, что Ф ( - z) = - Ф (г).
16.f (t) = 2t2 + + ■§■+ Ы. Доказать, что f{t) = f (у).
17.f (лс) = sin х - cos х. Доказать, что /(1) > 0.
18. ф (ж) = lg х. Доказать, что ф (лс)+ ф (л: + l) = ф [л (л: + 1)].
19.F(z)=az. 1) Доказать, что при любом z справедливо со отношение F (- z)F(z) - 1 = 0.
2)Доказать, что F (x)F (у) = * (х + у).
20.Даны график функции у = f(x) и значения а и Ънезави симой переменной х (рис. 2). Построить на чертеже / (а) и f ip).
Каков геометрический смысл отношения ^ ^ _ д '^ ?
21. |
Показать, |
что если |
|
любая |
хорда |
графика |
функ |
ции y = f(x) |
лежит |
.выше |
|
стягиваемой ею дуги, то для всех хг Ф х2 имеет место не
равенство
fM+f (x2) > J
Рис. 2
§ 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИИ |
9 |
|
22. Дано: / (я) = х2 - 2х + 3. Найти все корни уравнения:
a)f ( * ) = f (0); б) /(* ) = / ( - 1).
23.Дано: f (*) = 2*3 - 5х2 - 23*. Найти вое корни уравнения /(* ) = / ( - 2).
25. Указать два корня уравнения |
|
если |
|
известно, что функция / (дс) |
определена |
на |
отрезке [- 5 ,5 ] . |
Найти все корни данного |
уравнения |
для |
случая, когда |
ffxl —х2 _\2х *^(3
v 26. F(x) = дг + 6; ф(дс) = 5дс. Найти все корни уравнения
F(*) = |<p(*)|.
27. |
f (х) = х + 1; q>(x) = х - 2 . Решить уравнение |
|
|||
|
|
| /(* )+Ф (*)|=|/М М <р(*)| - |
|
||
28. |
Найти |
значения |
а и Ъ в |
выражении функции |
f{x) = |
= ах2 + Ьх + 5, |
для которых справедливо тождество /(дс + l ) - |
||||
- f( x )= |
Sx + 3. |
|
|
|
|
29. |
Пусть |
f(x)= acos(bx + с). |
При каких значениях |
посто |
|
янных а, Ъи с выполняется тождество f (х + 1)- f(x)= sin х . |
|||||
Сложные и неявно заданные функции |
|
||||
33. |
Дано: |
у - s in * ; |
v = lgy; |
u = 41 + v 2 . Выразить |
u как |
функцию x. |
|
|
|
|
|
34. |
Дано: у = 1+ х; |
z - cosy; |
v = V l- z2 . Выразить v как |
||
функцию x.
35. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций:
1) |
у = sin3* ; |
2) |
y = i/(l + *)2; 3 )y |
= lg tg * ; |
|||
4) |
у = sin3(2* + 1); |
5) y = 5<3‘ < |
|
||||
36. |
f(x) = xs - |
x; |
(p(*) = sin 2x. |
Найти: |
|
||
a) |
/[<P(YJ)]; |
6) |
4>|/(l)]; |
в) |
ф[/(2)]; |
r) / [<p (*)]; |
|
Д) /[/(*)]; |
e) /{/[/(!)]}; |
ж) ф[ф(*)]. |
|
||||
10 |
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ |
|
|
|
|
|
|
37. |
Доказать |
справедливость |
|||
|
следующего |
способа |
построения |
|||
|
графика |
|
сложной |
функции |
||
|
!/ = /[* (* )] = *■(*) |
по |
известным |
|||
|
графикам |
составляющих |
функций: |
|||
|
у = f{x), |
у = (p(*). Из точки А гра |
||||
|
фика функции (р(*) (рис. 3), соот |
|||||
|
ветствующей |
данному |
значению |
|||
Рис. 3 |
независимой |
переменной х, прово |
||||
дится |
прямая, параллельная оси |
|||||
Ох, до пересечения в точке В с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки В проводится прямая, парал лельная оси Оу, до пересечения с графиком функции f (х) в
точке С. Если из точки С провести прямую, параллельную оси Ох, то точка D ее пересечения с прямой NN' будет точкой гра
фика функции F (х), |
соответствующей взятому значению х. |
||
|
38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную |
||
следующим уравнением: |
|
||
1) |
х2 + у2 = 1; 2) а |
о = 1; 3) х3 + у 3 = а 3; |
4) ху = С; |
5) |
21у = 5; 6) lg * + lg(y + l) = 4; 7) 2*+»(*2 - |
2) = х 3 + 7; |
|
8) |
(l + jc)cos у - х 2 = 0. |
|
|
|
39*. Показать, что при х > 0 уравнение у + |у|-;с-|я| = 0 |
||
определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого координатного угла, а при х < 0 данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла (включая и его граничные точки).
§ 2. Простейшие свойства функций
Область определения функции
40. Составить таблицу значений функции целочисленного
аргумента у = ~ |
для 1 < х < 6. |
41. Значение |
функции целочисленного аргумента ы = ср(п) |
равно количеству простых чисел, не превосходящих п. Соста вить таблицу значений и для 1 < п < 20.