книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
|
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |
21 |
||
|
|
|
|
|
|
129. |
Построить график функции: |
|
|
||
1) у = —21 ; |
2) у = 21+3; |
3) у = i •3х ; |
|
||
4) у = 1 - 3х-3; |
5) у = (A)W ; |
6) у = г'* 2. |
|
||
130. |
Используя |
график функции |
у - 2х, построить |
без |
|
дальнейших вычислений график функции: |
|
||||
1) у = 2х- 1; 2) р = ^ - 2’ ; |
3) у = ± - 2^ + 1. |
|
|||
131. |
Показать, что графиком функции y = k a x (k>0) |
яв- |
|||
ляется та же линия, что и для функции |
у = ах, только сдвину |
||||
тая параллельно оси ординат. |
|
|
|
||
132.С помощью графического сложения построить график функции: 1) у = х2 + 2х ; 2) у - х2 - 2х .
133.Графически решить уравнение 2х - 2х = 0.
134. Построить фигуру, |
ограниченную |
линиями у = 2х , |
|
у = |
и х = 3 . По графику найти приближенно координаты |
||
точек пересечения данных линий. |
|
||
135. |
Найти наибольшее возможное значение п, при котором |
||
2х > хп для всех х > 100 (п - |
целое), |
|
|
136. |
Доказать, что у = sh * |
и у = thx - |
нечетные функции, |
а у = ch х - четная функция. Являются ли эти функции перио
дическими?
137. Доказать справедливость следующих равенств:
1) ch2 дг- s h 2х = 1; |
2) |
ch2дс + sh2х - ch2x; |
3) 2sh jtch ;t = sh2jc; |
4) |
sh(a ± p) = shachp ± sh pcha; |
5) ch (a±p )= chachp±shashP; 6) 1 - th2x = — ; ch x
7)l - c t h 2 x = --
|
sh x |
i |
138. Построить график функции: |
|
|
l ) y = - lo g 2x; |
2) p = I g f ; |
S )y = |lg*|; |
4) у = log2|*|; |
5) jr = l + lg(* + 2); 6) у = log2| l-* | ; |
|
7) у = a°e° x; |
8) у = log ,2. |
|
22 |
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ |
139. Используя график функции у = lg х , построить график
функции: 1) у = | lg (х + 1); 2) у = 2lg ( ^ ) .
140. Дана функция у = x + \gj^. С помощью графического
сложения построить график данной функции и по графику най ти наименьшее значение этой функции в полуинтервале (0 , 2].
141. Показать, что график функции у = loga^* + у/х2+ 1j
симметричен относительно начала координат. Найти обратную функцию.
142. Доказать, что ордината графика функции у = loga х
равна соответствующей ординате графика функции у = log^n х ,
умноженной на п.
143. Указать амплитуду и период гармоники:
1) у = sin 3*; |
2) у = 5 cos 2х; |
3) у = 4 sin пх; |
4 )y = 2sin|-; |
5 )y = s in - ^ ; |
6) y = 3sin-y-. |
144. Указать амплитуду, период, частоту и начальную фазу гармоники:
1) |
у = 2sin (Зле + 5); |
|
2) у = - c o s ^ - ; |
||||||
3) |
у = ^sin27i(o)-i); |
4) у = sin-2l±2.. |
|||||||
145. Построить график функции: |
|
|
|||||||
1) У = - sin я ; |
|
2) |
у = 1 - |
sin л:; |
3 )y |
= l - c o s * ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6) у = -2 sin ■—; |
|
7) у = cos 2х ; |
|
8) у = 2sin (х - |
|
|
|
||||
|
sin (з* |
|
|
i |
1 0)у = ± |
sin (271* • |
|||
|
|
|
|
|
|
-1,2); |
|||
|
2 + 2sin(ss.-i-f); |
12) у = 2 cos ■—-71 . |
|||||||
|
|sin л: |; |
14)\у =. |COS X 1j |
|
|
1 ’ |
||||
|
|
15) |
у = |tg * |
||||||
|
\ctgx |; |
17)|у = sec х ; |
|
18) |
у = cosec |
||||
|
COSX ДЛЯ |
-п < х < 0, |
|
|
|
||||
19) у = 1 |
ДЛЯ |
|
0 < х < 1, |
|
|
|
|||
|
JL |
ДЛЯ |
|
1< х < 2 . |
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |
23 |
|
146. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Построить график площади треугольника как функции угла х, заключен ного между данными сторонами. Найти область определения этой функции и то значение аргумента х, при котором площадь треугольника будет наибольшей.
147.Точка движется равномерно по окружности радиуса R
сцентром в начале координат против часовой стрелки с линей ной скоростью v см/с. В начальный момент времени абсцисса этой точки была а. Составить уравнение гармонического коле
бания абсциссы точки.
148. Точка равномерно движется по окружности х2 + у2 = 1.
В момент *о ее ордината была уо, в момент t\ ордината равня лась у\. Найти зависимость ординаты точки от времени, период
иначальную фазу колебания.
150.С помощью графического сложения построить график
функции: |
|
|
|
|
|
||
1) |
у |
= sin х + cos х ; |
|
2) |
у = sin 2пх+sin |
3пх; |
|
3) |
у |
= 2sin-J + 3sin-|-; |
|
4) |
у = х + sin х; |
|
|
5) |
|
у= х - sin х ; |
|
6) |
у = -2х +cosх . |
|
|
151. Графически решить уравнение: |
|
||||||
1) |
х = 2 sin х ; |
2) |
х = tg х ; |
3) х - cos х = 0 ; |
|
||
4) |
4 sin х = 4 - |
х ; |
5) |
2~х = cos х . |
|
||
152. Найти период сложной гармоники: |
|
||||||
1) |
у = 2 sin 3* + 3 sin 2х; |
2) |
у = sin t + cos 21; |
|
|||
153.Представить одной простой гармоникой:
1) у = sin х + cos х ; 2) у = sin х + 2sin (я + -|).
155*. Указать период функции и построить ее график:
156. Найти область определения и выяснить вид графика функции:
1) У - 1& sin х ;
24 |
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ |
157.Построить график функции:
1) |
у = arcctg ж; 2) |
у = 2arcsin J-; |
3) у = 1 + arctg 2 х ; |
4) |
У = у - arccos 2ж; |
5) у = arcsin |
. |
158. Круговой сектор с центральным углом а свертывается
вконус. Найти зависимость угла со при вершине конуса от угла
аи построить график.
159.Картина высотой а висит на стене наклонно, образуя со стеной двугранный угол ср. Нижний край картины на b выше
уровня глаз наблюдателя, который стоит на расстоянии I от стены. Найти зависимость между углом у , под которым наблю
датель видит картину, и углом <р.
161. Выяснить, для какого интервала изменения х справед ливо тождество:
1) |
arcsinх + arccosж = |
2) arcsin *Jx + arccos V* = j ; |
|||
3) |
arccos ‘J l - x 2 = arcsin x ; |
4) |
arccos V l - x2 = - |
arcsin x ; |
|
5) |
arctg x = arcctg-j; |
6) |
arctg x = arcctg |
- я; |
|
7) |
i |
2 |
|
, 2 |
|
arccos |
= 2 arctg x ; |
8) arccos — V = -2 arctg x ; |
|||
|
l+x |
|
|
l+x2 |
|
9) |
arctg x + arctg 1 = arctg |
; |
|
|
|
10) arctg x + arctg 1 = n + arctg |
. |
|
|||
162. Пользуясь тождествами задачи 161, найти область оп ределения и построить график функции:
1) |
у = arccos ^ 1 - х 2 ; |
2) |
у = arcsin V l-ж + arcsin 4х\ |
3) |
у = arccos |
4) |
у = arctg х - arcctg —. |
|
1+дг |
|
х |
163*. Построить график |
функции у = arcsin (sin х). Дока |
||
зать, что эта функция периодична и найти ее период.
164.Построить график функции у = arccos (cos ж).
165.Построить график функции у = arctg (tgx).
166.Построить график функции:
1) |
у = ж - arctg (tg ж); |
2) у - ж - arcsin (sin ж); |
3) |
у = ж arcsin (sin ж); |
4) у = arccos (cos ж) - arcsin (sin ж). |
Г Л А В А II
ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Основные определения
Функции целочисленного аргумента
176. Функция целочисленного аргумента принимает значе
ния
их = 0,9; и2 = 0,99; щ = 0,999; ...; ип = 0,999 ... 9 ;...
л раз
Чему равен lim ип? Каково должно быть л, для того чтобы
п—>°°
абсолютная величина разности между ип и ее пределом была не больше 0,0001?
177. Функция ип принимает значения
“ 1 = i ; «2 = “ з = i ; •••; “ » = -
Найти lim ип. Каково должно быть л, для того чтобы раз- л—>°°
ность между ип и ее пределом была меньше заданного положи тельного числа в?
178. Доказать, что ип - стремится к 1. при неограни
ченном возрастании п. Начиная с какого п абсолютная величи на разности между ип и 1 не превосходит 10-4 ?
179. Функция vn принимает значения
Найти lim vn. Каково должно быть л, для того чтобы абсо-
п—>°°
лютная величина разности между vn и ее пределом не превос ходила 0,001? Принимает ли vn значение своего предела?
2 6 |
|
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
|||
180. |
Общий член ип последовательности их = у , |
и2 = |
||||
|
“ 4 = 16 * |
— имеет вид “ |
jr ’» если п ~ нечетное число, |
|||
и -2" +1, |
если п - |
четное число. Найти |
lim ип. Каково должно |
|||
2П |
|
|
|
л -»~ |
|
|
быть л, |
для того чтобы разность между |
ип и ее пределом по |
||||
абсолютной величине не превосходила |
10“4; данного |
положи |
||||
тельного числа 6? |
|
|
|
|
|
|
181. Доказать, что последовательность |
ип = 4п1+1 |
при неог- |
||||
|
|
|
|
|
Зл 2+2 |
|
раниченном возрастании п стремится к пределу, равному |
||||||
монотонно возрастая. Начиная с какого п величина |
- ип не |
|||||
превосходит данного положительного числа е ? |
|
|||||
182. |
Доказать, |
Г~2 |
2 |
|
неограниченном воз |
|
что ип = ^п *а при |
||||||
растании |
п имеет предел 1. Начиная |
с |
какого п |
величина |
||
11 - ип | не превосходит данного положительного числа е ? Ка
кой характер имеет предельное изменение переменной ип?
183. Функция vn принимает значения биномиальных коэф-
фициентов: их =т, |
m(m-l) |
/п(/л-1 |
|
v2 = * 2 |
v3 = — — 2 3— |
||
|
|
_ m(m-l)(m-2)...[m-(n-l)] |
|
|
*•” |
» |
V 2 -3 ...л |
где т - целое положительное число. Найти |
lim vn . |
||
|
|
|
л—>°° |
184. Доказать, что последовательность пл = 1 + (-1 )” не имеет
предела при неограниченном возрастании л.
185. Доказать, что при неограниченном возрастании п по-
2л+(-2)л
следовательность ип = — — не имеет предела, а последова-
2И+(-2Г
тельность ил = — ^ имеет предел. Чему он равен?
186. Имеет ли предел последовательность:
sin-^f
1) ия = n s in ^ ; |
2) и„ = |
(п > 1)? |
|
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
27 |
|
|
|
187. |
Доказать теорему: если последовательности иъ |
и2, ... |
...» 1/д, |
... и и1э и2, ...» vni ... стремятся к общему пределу а, то |
|
к тому |
же пределу стремится и последовательность иъ |
и2, |
у2* Ы/1>Уд» ...
188.Доказать теорему: если последовательность иъ и2у ...
..., ... стремится к пределу а, то к тому же пределу стремит ся любая ее бесконечная подпоследовательность (например, и3, и5, ...).
189.Последовательность их, н2, ..., ил, ... имеет предел а * 0 .
Доказать, что lim |
= 1. Что можно сказать об этом преде- |
П—>°° ип
ле, если а = 0? (Привести примеры.)
Функции непрерывного аргумента
190. |
Дано у = х 2. Когда д: -» 2 , то |
у 4. |
Каково должно |
||
быть 8 , чтобы из |* - 2 1< 8 следовало |у - 4 1< е = 0,001 ? |
|||||
191. |
Пусть |
у = ^ ^ > |
При я - » 2 |
имеем |
у-> | -. Каково |
|
|
дг+1 |
|
|
0 |
должно быть 8 , чтобы из |х - 2 1< 8 следовало |У ~ § |< ОД? |
|||||
192. |
Пусть |
у = |
При я - » 3 |
имеем |
у -»^ -. Каково |
должно быть 8 , чтобы из |х - 3 1< 8 следовало |j - у |с 0,01 ?
193. Доказать, что sin х стремится к единице при х -> ~ . Каким условиям должен удовлетворять д: в окрестности точки
х= у , чтобы имело место неравенство 1 - sin д: < 0,01 ?
194.При неограниченном возрастании х функция у = —1 -
стремится к нулю: lim |
= 0. |
Каково должно быть JV, что- |
|
|
д_>оо л: +1 |
|
|
бы из |х |> N |
следовало у < е ? |
|
|
195. Если |
х —» + » , |
то у = |
-> 1. Каково должно быть |
|
|
х |
+3 |
N, чтобы из |х |> N следовало |у - 1 1< е ?
28ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§2. Бесконечные величины. Признаки существования предела
Бесконечные величины
196. |
Функция |
ип |
принимает |
значения |
щ = 3, и2 = 5, |
м3 = 7 , |
ип = 2п + 1 |
, ... Доказать, |
что ип - |
бесконечно боль |
|
шая величина при |
п —>«>. Начиная с какого п величина ип ста |
||||
новится больше N?
197. Доказать, что общий член ип любой арифметической прогрессии есть величина бесконечно большая при п —> °о.
(Когда она будет положительной и когда отрицательной?) Спра ведливо ли это утверждение для произвольной геометрической прогрессии?
198. При х -> 0 имеем у = |
-> °°. Каким условиям дол |
|||
жен удовлетворять я, чтобы имело место неравенство |у |> 104? |
||||
199. |
Доказать, что функция у = |
бесконечно велика при |
||
х —> 3. |
Каким должен быть х, |
чтобы величина |у | была боль |
||
ше 1000? |
|
|
|
|
200. |
Когда х стремится к |
1, функция у = — |
неограни- |
|
|
|
|
(х-1) |
|
ченно возрастает. Каково должно .быть |
8 , чтобы из |
| * - i |<6 |
||
следовало — Цг- > N = 104? |
|
|
|
|
|
(* -i) |
|
|
|
201. Функция у = —1 - бесконечно велика при х |
0. Ка |
|||
ким неравенствам должен удовлетворять х, чтобы |у | было больше 100?
202.При х - > +°° имеем: у = Igx —> +°°. Каково должно быть М, чтобы из х > М следовало у > N = 100?
203.Какие из основных элементарных функций являются ограниченными во всей области их определения?
204.Доказать, что функция у = 1+дг ограничена на всей
числовой оси.
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |
29 |
2
205. Будет ли функция у = -^Цг ограничена на всей число-
1+JC
вой оси? Будет ли она ограничена в интервале (0, +°°) ?
206. Является ли функция у = lg sin х ограниченной во всей
области ее существования? Тот же вопрос относительно функ ции у = lg cos х ?
207. 1) Доказать, что функции у = х sin х и у = х cos х не ограничены при х —» «> (указать для каждой из них хотя бы по одной такой последовательности хп, для которой уп -»< »).
2)Будут ли указанные функции бесконечно большими?
3)Построить графики этих функций.
208. Построить графики функций f(x) = 2Хб1ПХ и /(* )=
_ 2 ~хвтхш Для каждой из этих функций указать такие две по
следовательности хп и х'п значений х, что lim /(* „ ) = 00, а
п—>°°
lim / ( * ') = 0 . Л—>°о
209.При каких значениях а функция у - ах sin х будет не ограничена при х —» +<» —» -<») ?
210.Будет ли бесконечно большой неограниченная функция:
1) f(x) = -i-cos-i- при х —> 0 1
2) f(x) = x arctg х при х -» °°;
3)/(* ) = 2х arcsin (sin ж) при х —>
4)/( * ) = (2 + sinjf)lga: при х —>+°°;
5) / (лс) = (l + sin * )lg * |
при х -» +°° ? |
|
211. Функция ип принимает значения |
|
|
и\= 2, М2 = |
«з = ^ , ...» |
, ••• |
Доказать, что ип - бесконечно малая величина при п -> «>. 212. Функция ип принимает значения
Щ —“ 7, U-2 = “ "2» “ 3 = 27 » W4 —g- * ■•*» wn “ пз ’ ** *
Доказать, что пл —бесконечно малая величина при п —> °°.
30 |
|
|
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
|
|
|||
213. |
Доказать, что |
у = |
0 при х -» |
0. Каким услови |
|||||
ям должен |
удовлетворять х у чтобы |
имело |
место неравенство |
||||||
|г/1 < 10“4? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
214. |
Показать, что |
при * —>+«> |
функция |
у = <Jx +1 - V* |
|||||
стремится |
к нулю. Каким должно быть N, чтобы при |
х > N |
|||||||
было у < е ? |
|
|
|
|
|
|
|
||
215. |
Доказать, что если предел функции |
f(x ) при |
х —>°о |
||||||
равен |
а, |
то |
f(xг) |
можно |
представить |
в |
виде |
суммы |
|
/(* ) = а + ф(л:), |
где <р(х) бесконечно мала при х —¥ |
|
|||||||
Представить в виде такой суммы следующие функции: |
|||||||||
1) У- |
|
2) у - |
|
- l-* J |
|
|
|||
|
|
3) У = |
|
|
|
||||
Признаки существования |
предела |
|
216*. Функция ип принимает значения |
|
|
“ * = 7 + иГ........“ ” = |
з?Г + ^ |
+ - + ^ Г - - |
Доказать, что ип стремится |
к некоторому пределу при |
|
-> оо.
217.Функция ип принимает значения
и? ■ |
. - |
1 |
и - 1 , |
1 , |
1 |
|
|
|
! 2-4 ’ |
3 2 |
2-4 |
2 -4 -6 |
|
||
|
|
|
|
., |
и„ = —+ —---1- ... Н------- 1----- |
||
|
|
|
|
’ |
п |
2 2-4 |
2-4-...-2Л* |
Доказать, |
что |
ип |
стремится |
к |
некоторому |
пределу при |
|
п —> оо.
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу.
219. Даны два числа щ и VQ (и0 < v 0). Члены последова
тельностей ип и vn задаются формулами |
|
Ui+2vx |
||||||
_ |
“о+^о .. |
_ и0+2у0 |
.. |
L, |
v2 ■ |
|||
------ 2 |
’ у1 |
“ — а— ’ |
и2 - ------- |
: |
3 |
|||
- |
u„_, +vn_! |
ц , +2у„ |
|
|
||||
вообще u„ = |
2 |
, |
= |
"-1 |
з |
л' |
|
|