книги / Принципы динамической теории решетки

ББК 22.37

Б54

УДК 539.2

Бётгер X*

Б54 Принципы динамической теории решетки: Пер. с англ. - М .: Мир,

1986. - 392 с., ил.

Монография известного физика-теоретика проф. X. Бётгера (ГДР) пред­ ставляет собой современный курс теории колебаний решетки. Рассмотрены системы упорядоченные и с беспорядком (в том числе аморфные), с силь­ ным ангармонизмом и со сверхструктурами. Изложены традиционные и сов­ ременные методы расчета спектров колебаний — методы эффективной сре­ ды, когерентного потенциала, кластерного приближения, а также метод клас­ теров на решетке Бете, решетка Тоды и переход Пайерлса, волны зарядовой плотности и т.п.

Для научных работников, специализирующихся в области физики твердо­ го тела. Может служить учебным пособием для аспирантов и студентов стар­ ших курсов соответствующих специальностей.

1704060000 - 019

Редакция литературы по физике и астрономии

© Akademie-Verlag Berlin 1982

© перевод на русский язык, ’’Мир”, 1986

Предисловие редактора перевода

Монография известного физика из ГДР профессора Харальда Бёггера ознакомит читателя с актуальными проблемами физики твердого тела. Теорию динамики решетки упорядоченных и неупорядоченных крис­ таллов и кристаллов с сильным энгармонизмом автор излагает лако­ нично, широко используя теорию групп. Нет сомнений, что особый интерес у научных работников вызовут рассмотренные в книге сов­ ременные методы расчета колебаний неупорядоченных систем, крис­ таллов с сильным энгармонизмом и систем с несоизмеримыми сверх­ структурами.

Колебаниям неупорядоченных кристаллов посвящена значитель­ ная часть книги - гл. 2 и 3. В этой области физики твердого тела успешно работает сам X. Бётгер, к ней же направлен общий интерес современной физики. Изучение систем с беспорядком, и в первую очередь спиновых стекол, привело к появлению новых концепций физики - к расширению понятия параметра порядка и пониманию причин в различии поведения эргодических и неэргодических систем. Эти же концепции применимы к аморфным твердым телам и к дру­ гим системам с различного рода сильным беспорядком; для их названия сейчас широко употребляется термин “стекло". В книге

X. Бётгера читатель найдет классические методы исследования ко­ лебаний в системах с беспорядком - приближения кластерное, эф­ фективной среды, когерентного потенциала.

Нелинейной динамике посвящена гл. 4. Здесь рассмотрены сис­ темы с сильным ангармонизмом и соответственно концепция солитонов, а также системы со сверхструктурами и волны зарядовой плотности. Кристаллы с волнами зарядовой плотности появились около 10 лет назад; сейчас это одна из горячих точек физики твер­ дого тела. Новые идеи и экспериментальные результаты в этой облао

6 Предисловие редактора перевода

ти изложены в основном в статьях и обзорах. В книге X. Бетгера рассмотрение несоизмеримых структур проведено наряду с изложе­ нием теории традиционных периодических кристаллов.

Все сказанное выше позволяет надеяться, что книга будет ин­ тересна всем, кто хочет быстрее войти в курс современной физики твердого тела и ознакомиться с ее идеями и методами.

Перевод выполнили кандидаты физ.-мат. наук А.И. Буздин (пре­ дисловие, гл. 3, 4,приложение 3) и О.В. Долгов (гл. 1, 2, приложе­ ния 1, 2).

ЛМ. Булаевскип

Посвящается профессору О. Стаейву

Предисловие

За последние два десятилетия в понимании динамических свойств твердых тел, особенно кристаллов с беспорядком и энгармонизмом, достигнуты большие успехи. Это продвижение произошло благодаря применению новых эффективных аналитических и численных мето­ дов, таких, как метод функций Грина и метод молекулярной динами­ ки. Метод функций Грина, например, дает возможность исследовать твердые тела с произвольной концентрацией дефектов, а также луч­ ше понять поведение твердых тел с беспорядком типа стекла. Этот метод можно успешно применять и при исследовании "ангармоничес­ ких" твердых тел, включая сильноангармонические, которые нельзя описать в рамках обычной теории возмущений.

Особый интерес за последние годы вызвали следующие пробле­ мы: динамические свойства твердых тел, как неупорядоченных (ло­ кализация колебательных состояний, нарушение закона сохранения квазиимпульса, роль ближнего порядка), так и ангармонических (сильный энгармонизм, фононная гидродинамика), динамические ас­ пекты ангармоничности и фазовых переходов, обусловленных элект- рон-фононным взаимодействием (мягкие моды, решеточные солитоны), и развитие микроскопической теории динамики решетки.

Вэтом кратком курсе я рассмотрел те основные идеи и теоре­ тические методы, которые были развиты в последние годы для опи­ сания динамических свойств твердых тел. И я думаю, что настоящая книга могла бы служить учебником по основам теории колебаний ре­ шетки. В ее основе — лекции, которые я читал аспирантам Берлин­ ского университета им. Гумбольдта в 1972 - 1979 гг.

Вгл. 1 кратко изложены основы теории динамики решетки, зна­

ние которых необходимо для понимания последующих глав. В этой главе рассмотрен также микроскопический подход к динамике решет­ ки, основанный на исследовании отклика электронов на поле, вызван­ ное колебанием ионов (метод диэлектрической функции).

Гл. 2 посвящена системам с беспорядком замещения, включая изолированные дефекты. Основное внимание здесь уделяется изло­ жению метода функций Грина и использованию его для расчета кон­ фигурационно-усредненных величин.

8 Предисловие

Г л. 3 посвящена системам со структурным беспорядком. В этой главе метод функций Грина применяется к проблеме локализованных состояний и состояний типа плоской волны.Исследование твердых тел со структурным беспорядком оказывается, вообще говоря, существен­ но более сложным делом, чем в случае беспорядка замещения, из-за того, что у них нет исходной периодической решетки.

Гл. 4 посвящена ангармоническим системам, а также системам, испытывающим структурный фазовый переход. Здесь развиваются теория возмущений для слабоангармонических систем и самосогла­ сованное гармоническое приближение для сильноангармонических твердых тел. В этой главе рассмотрены также решеточные солитоны, пайерлсовские переходы и несоизмеримые структуры.

В приложения вынесены некоторые вопросы более формального характера (применение теории групп к динамике решетки, отклик электронов кристалла на электромагнитное поле, расчет эксперимен­ тальных величин).

Чтобы книга отвечала современному состоянию проблемы, я включил в нее ряд вопросов (например, возбуждения фононного типа в твердых телах со структурным беспорядком, некоторые проблемы физики несоизмеримых систем и т.д.), точка зрения на которые пока еще не вполне определилась. Конечно, отбор материала, представлен­ ного в книге, в некоторой степени произволен. Так, отдельные воп­ росы (такие, как колебательные свойства поверхностей, взаимодей­ ствия фононов с другими элементарными возбуждениями и т.д.) пол­ ностью опущены.

Я не ставил перед собой задачи сделать список цитируемой ли­ тературы исчерпывающим: он содержит прежде всего обзорные статьи и последние оригинальные работы.

Эта книга была написана во время моего пребывания в Централь­ ном институте электроники Академии наук ГДР в Берлине. Мне бы хотелось поблагодарить моих институтских коллег д-ра Гилера, д-ра Йане, д-ра Клейнерта, Лейкауфа, д-ра Ульричи и д-ра Брука

за полезные обсуждения. Я также благодарен проф. Куну за ценные советы, д-ру Наттерману за критические замечания, касающиеся разд. 4.4, Гертнеру за чтение рукописи, Траутман из издательства "Академия" за плодотворное сотрудничество. И наконец, я хочу по­ благодарить свою жену, оказавшую мне неоценимую помощь при под­ готовке рукописи к печати.

X. Ветер

1

Основные элементы теории динамини решетки

Эта глава - вводная. В ней мы рассматриваем некоторые воп­ росы теории динамики решетки, которые понадобятся нам в следую­ щих главах. Будет изложен феноменологический подход к динамике решетки1) . Он основывается на предположении о том, что движение атомов в твердом теле определяется набором силовых постоянных, которые можно получить из эксперимента. Кроме того, мы остано­ вимся на микроскопическом подходе к динамике решетки. Этот под­ ход основывается на микроскопическом изучении сил, действующих между ионами, и дает нам удобный способ для сравнения различных моделей силовых постоянных, используемых в феноменологических теориях динамики решетки.

1.1. Адиабатическое приближение

Согласно Борну и Оппенгеймеру [ 55] (см. также [ 54]), движение ядер и движение электронов в твердых телах можно отделить друг от дру­ га. Это разделение эквивалентно предположению о том, что для элек­ тронов в каждый момент времени ядра неподвижны, поскольку из-за своей малой массы электроны движутся существенно быстрее ядер.

Легко показать, что распределенный электронный заряд ионно­ го кора жестко связан с ядром во время его колебания. Однако для валентных электронов такое поведение не столь очевидно. Оказыва­ ется, однако, что и для валентных электронов ситуация аналогична.

В твердых телах, согласно Борну и Оппенгеймеру (т.е. в адиабати­ ческом приближении), существует многочастичный потенциал Ф,

Здесь мы близко следуем стандартным курсам динамики ре­

шетки [ 54, 257] (см. также [ 8б]).

где

действительными, т.е. Апп * о, так как функции фп{г, R) полагаются нормированными на единицу для всех ft.

Если пренебречь недиагональными элементами А и В (т.е. Апт

и Впт для п£т), колебательные волновые функции определяются только свойствами n-го электронного состояния, и электронные пе­ реходы, связанные с движением иона, отсутствуют. В этом случае (1.1.6) имеет вид

(-Z Ion + 4 " O rt) % nv --- & n v % n v y (1.1.9)

где Сп - с пп ~ впплВ этом уравнении v можно рассматривать как колебательное квантовое число. Волновая функция системы электро­

Первый сомножитель волновой функции (1.1.10) описывает движение ионов, второй соответствует предположению о том, что электроны движутся так, как если бы ионы были заморожены в своих мгновен­ ных положениях. Говорят, что электроны адиабатически следуют за движением ионов. Приближение (1.1.10) для полной волновой функции называется адиабатическим приближением.

Чтобы понять, что означает адиабатическое приближение, мы в

где ft® обозначает состояние равновесия I-го иона, щ - смещение