книги / Принципы динамической теории решетки

Для ознакомления с деталями читателю следует обратиться к об­ зорам: [ 27, 250, 254, 255, 257, 379] - примеси в кристаллах, [428] - ПКП, [37, 110, 408] - численные методы; в частности, приложение метода функций Грина и численных методов к одномерным неупорядо­ ченным системам см. в [424].

ная, симметричная матрица и что ее собственные значения, следова­ тельно, действительны. В случае короткодействующего воздействия

D имеет простой вид: все элементы, лежащие дальше определенно­ го расстояния от главной диагонали, равны нулю. Вначале мы рас­

смотрим задачу вычисления частотного спектра 0 . Для этого обозна­ чим через r\ (Di (со2)) число отрицательных собственных значений матрицы 01(со2) = 0 - со21, которое равно числу собственных значе­ ний D, меньших, чем со2. Функция распределения квадратов собствен­

это равенство, можно представить функцию распределения квадратов частот в форме гистограммы. Теорема об отрицательных собствен­ ных значениях дает эффективный метод оценки величины r\(D (со2))

для матриц 0 большой размерности, появляющихся в динамике решетки.

ную матрицу У , то теорема об отрицательных собственных значени­ ях гласит, что

Таким способом ^(D^co3)) для матрицы D1(coa) выражается через на­ бор величин г\(Х.) для матриц Xf. меньшего порядка, чем . Для

удобства в качестве X. обычно используют (П)-элемент матрицы D. (со2), т.е. скалярную величину. Таким образом, число собствен­

ных значений действительной симметричной матрицы D, меньших со2,

просто становится равным числу отрицательных скалярных величин из набора { Х£(со2)}.

Доказательство теоремы об отрицательных собственных значени­ ях основывается на том факте, что число отрицательных собственных

значений симметричной матрицы равно числу изменений знака между последовательными главными минорами при условии, что нулевой ми­ нор является положительным. Напомним, что главным i-м минором

ничные матрицы того же порядка, что и Х1 и Z 1 соответственно. Из структуры первого сомножителя в правой части (2.1 .7) следует, что главный минор во втором сомножителе совпадает с главным минором D1 (со2). Полагая для простоты Х1 скаляром и учитывая процедуру раз­ биения (2.1.6), с очевидностью получаем результат (2,1.5). Для более строгого доказательства (2.1.5) отсылаем читателя к работе [П О].

94 Глава 2

Вычисление отдельных собственных векторов нормальных колеба­

ний требует аккуратной оценки соответствующих собственных значе­ ний. Такая оценка может быть получена посредством описанного вы­ ше метода, использующего то свойство, что r^D^co2)) изменяется на единицу, когда а>2 проходит через точную собственную частоту со2 .

Начиная с удобного частотного интервала, охватывающего оо^ , иссле­

дуя изменения TJ(D (ю2)) и последовательно уменьшая этот интервал вдвое, можно найти величину <а с необходимой точностью . Пусть

со ' — вычисленное приближение к собственному значению со^ , собст­ венный вектор которого надо определить. Этот собственный вектор можно определить с помощью метода обратных итераций, который со­ стоит в итерации уравнения

где max(t/^) означает наибольший по модулю элемент v^a Начальный пробный вектор t/Q может быть выбран произвольно или интуитивно.

Таким образом, если со существенно близко к собственному значе­ нию a>s , чем к другим, то компонента xi (i j s s ) вектора vk быстро падает с ростом к и наблюдается быстрая сходимость к х х.

На рис. 2.1 и 2.2 показаны результаты численных расчетов ко­ лебательных спектров двухкомпонентной неупорядоченной линейной цепочки с взаимодействием между ближайшими соседями. С точно­ стью до графических погрешностей кривая для 32 000-атомной цепоч­ ки (рис. 2.1, а) совпадает с кривой для 250 000-атомной цепочки (рис. 2.1, б)), что можно считать хорошей сходимостью к кривой для

цепочки с бесконечным числом атомов. Сравнивая эти кривые с соот­ ветствующей кривой для 8 000-атомной цепочки, мы видим, что даже

Рис. 2.1. Вычисленный квадратичный частотный спектр для двух компонент­ ной цепочки с неупорядоченными массами при одинаковом числе легких и тяжелых атомов. Отношение масс между двумя компонентами равно 2:1, длина цепочки — 32 000 атомов в случае а и 250 000 атомов в случае б, а —

разрывной кривой показаны результаты вычислений с помощью метода мо­ ментов, пунктирной линией — квадратичный частотный спектр упорядочен­ ной решетки. На рис. б обозначены отдельные пики, возникающие из клас­

теров легких атомов, на которых указаны размеры кластеров. СО| — наи­ большая частота решетки, содержащей только легкие атомы (по [1 1 0 ] ).

последняя достаточно хорошо воспроизводит все существенные спект­ ральные особенности. На рис. 2.1, а мы также изобразили результа­ ты вычисления плотности состояний с помощью метода моментов, которые основываются на первых семи моментах, полученных с по­ мощью (1.4.28) из динамической матрицы D. Мы видим, что такие вы­ числения не воспроизводят правильной картины частотного спектра изза малого количества учтенных многочленов. Из рис. 2.1 и 2.2 видно, что квадратичный частотный спектр неупорядоченной цепочки сущест­ венно отличается от простого 1/-образного спектра регулярной одно­ атомной цепочки или от двойного tZ образного спектра регулярной двухатомной цепочки (последний показан для сравнения на рис. 2.1 ,а).

% Гл4ва2

Рис. 2.2. Вычисленный квадратичный спектр для двухкомпонентной цепочки с неупорядоченными массами при отношении масс компонентов 2:1 и длиной 8000 атомов, с |_— означает концентрацию легких атомов. (Согласно [110] .)

Рассматривая полученные численно собственные векторы, можно по­ казать, что пики в области больших частот возникают вследствие сильно локализованных колебаний кластеров из одного, двух, трех, ...

легких атомов, ограниченных тяжелыми атомами. Соответствую­ щие пики обозначены на рис. 2.1,5 цифрами "1", "2", "3м, . . . . В об­ ласти низких и средних частот эти колебания оказываются сущест­ венно менее локализованными, чем их высокочастотные ветви. Даль­

Для вычисления термодинамических средних физических величин

удобно использовать двухвременные зависящие от температуры функ­ ции Грина. Большинство этих функций содержат корреляционную функ­ цию смещение - смещение (см. приложение 3)

Как будет показано в дальнейшем, корреляционную функцию смеще­ ние — смещение можно легко получить из двухвременной функции Грина смещение — смещение, которая определяется следующим обра­ зом:

Здесь верхний и нижний знаки дают запаздывающую и опережающую функции Грина соответственно, причем ©(f) - функция Хевисайда.

А п В являются произвольными операторами. Ввиду (2.1,18) частота со в (2.1.17) для запаздывающей (опережающей) функции Грина может быть заменена на комплексную частоту z с Imz > 0 (Imz < 0), т.е. за­ паздывающая (опережающая) функция Грина аналитична в верхней (нижней) полуплоскости комплексной частоты, С помощью этих обеих аналитичных частей можно построить новую функцию Грина, которая аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением действи­ тельной оси. Эта функция Грина связана с корреляционной функцией (2.1.14) посредством спектрального представления

что можно показать, используя (2.1.17), (2.1.18), (2.1.14) и свойство

которое следует из свойства перестановки под знаком следа [Sp*(4BC) = Sp(BCM) = Sp (C A B )]. Из (2.1.19) и с помощью тождества

(Р означает главное значение, е-» +0) можно показать, что корреля­ ционная функция (2.1.14) выражается через скачок функции Грина на действительной оси.

Gaa‘(lx, ZV, со + w) — Gaa'(lx, Ух', со — ге) =

Последняя строчка этого равенства будет доказана позднее (с исполь­ зованием (2.1.43)).

Дифференцируя равенство (2.1.18) по времени, получаем уравне-

. ние движения для функции Грина

« «Л(0; В (0 » = «(< - О ([-4(0. -В(<)]) + «М(<). Щ\ л (0 » - (2.1.23)

Чтобы получить замкнутое уравнение для функции Грина смещение - смещение, необходимо применить уравнение движения (2.1.23) дважды и учесть соотношения (ср. (1.3.5), (1.3.6))

Гх'а

которые можно получить, используя гамильтониан (2.1.12) и комму­ тационные соотношения (ср. (1.3.7))

Ш1х), р*'(Ух')] = ih6wdKK.i5ай-, [ил(1к)> uAl'*')] = Ы**)> РЖ *')] = 0.

(2.1.26)

Произведя преобразование Фурье по времени получающегося уравне­

Для гриновской функции идеального кристалла, описываемого

гамильтонианом Н° (2.1.13), справедливо аналогичное уравнение

которую можно диагонализовать с помощью унитарной матрицы, s-я строка которой дается величиной Вд *(/ж), являющейся собственным вектором матрицы D (см. разд. 1.3). Используя эту унитарную мат­ рицу, легко получить из (2.1.36) следующее спектральное представле­ ние:

где, как и в разд. 1.3, полагается, что собственные векторы матрицы

D действительны, а со* означает s -е собственное значение D. Ана­ логично получаем спектральное представление для G0. Заметим, что

строчка (kj) (к - волновой вектор,; - индекс ветви) унитарной матри­

цы, диагонализующей динамическую матрицу идеального кристалла

(1.3.41)), которая является (k j)-м собственным вектором матрицы D0. Таким образом, мы получаем

Согласно рецепту, указанному выше, запаздывающие функции Грина G и G0 получаются заменой в (2.1.38) и (2.1.39) соответствен­

но величины со на со + U(е -> + 0). Как будет видно из окончательных выражений, собственные частоты соответствуют полюсам запаздываю­ щей функции Грина, лежащим в нижней полуплоскости комплексной частоты вблизи действительной оси.

Плотность состояний фононов в идеальном кристалле дается вы­

Совершенно аналогично из (2.1.38) вычисляется плотность состояний