книги / Принципы динамической теории решетки

3

Колебательные свойства систем со структурным беспорядком

3.1. Локализованные колебательные состояния

3 .1 .1 . Пространственная локализация мод в одномерных

системах

При достаточно сильном изменении массы и/или силовой постоянной, связанных с единичным дефектом в системе, как показано в разд. 2.2, могут возникнуть локализованные колебательные состояния. В связи с этим встает вопрос о том, существуют ли локализованные состояния при конечной концентрации дефектов.

Локализация состояний из-за беспорядка - одна из наиболее важ­ ных проблем теории неупорядоченных систем. Она не только играет оп­ ределяющую ро.ль в понимании транспортных свойств, но интересна и сама по себе. Исследования локализации, вызванной отсутствием даль­ него порядка, начались более 20 лет назад. К настоящему времени, од­ нако, эта проблема решена лишь частично и то только для простейших систем.

Рассмотрим вначале некоторые результаты численных исследова­ ний неупорядоченных цепочек с конечным числом атомов N. На рис. 3. I представлены амплитуды колебаний бинарной неупорядоченной цепоч­ ки с N = 50, содержащей 22 тяжелых и 28 .легких атомов. Отношение масс равно 3. Моды пронумерованы в порядке увеличения собственных частот. Видно, что существуют колебания двух различных типов: дело­ кализованные моды при низких частотах и сильно локализованные высо­ кочастотные моды. Можно сделать вывод о наличии границы между дву­ мя типами колебаний, лежащей между 25- и 26-й модами. Аналогичная локализация имеет место и в цепочках со структурным беспорядком то­ го типа, что существует в стекле (типа стекла). Огибающие некоторых

типичных мод одноатомной цепочки cN = 512 и прямоугольной функцией распределения силовых постоянных приведены на рис. 3.2. Снова отме­ тим усиление локализации с ростом частоты. Топологический беспоря-

Номер

моды

128

гг*

288

368

Рис. 3.2. Огибающие нормальных мод одноатомной цепочки из 512 атомов и со случайными силовыми постоянными. Моды пронумерованы в порядке возрастания собственных частот. (Согласно [109] .Г

Большинство найденных численным расчетом мод неупорядоченной цепочки .локализовано, таким образом, в области, малой по сравнению с длиной цепочки. Наличие .локализованных состояний является, очевид­ но, характерным свойством неупорядоченных систем. Мотт и Туз [272]

предположили, а Борланд [ 53] доказал, что все одноэлектронные состоя­ ния в неупорядоченной цепочке локализованы. Используя метод, аналог гичный предложенному Борландом для электронов, Дин [109] продемон­ стрировал наличие локализации всех фононных мод в модели цепочки с беспорядком типа стекла и взаимодействием ближайших соседей. Дока­ зательство Борланда основано на том, что в неупорядоченной системе огибающая волновой функции по мере удаления от одного из концов це­ почки, где задано граничное условие, экспоненциально растет. Отсюда делается вывод о локализации собственных состояний в том смысле,

что огибающая волновой функции по обе стороны от некоторой области экспоненциально затухает.

Собственные состояния (колебательные или электронные) неупоря­ доченной цепочки показаны схематически на рис. 3.3. Видно, что сос­ тояние имеет заметную амплитуду в некоторой области флуктуаций раз­ мера L i и экспоненциально затухает с характерной .длиной .локализации L d вне этой области. Еще одна "длина” , характеризующая локализован-

г - М ♦ н ♦ н ♦ н

Положение в цепочке

Рис. 3.3. Собственные состояния одномерной неупорядоченной системы. Вне области флуктуаций размера L^состояние экспоненциально затухает с харак­ терной длиной!^. ДлинаL* определена по (3.1.1). (Согласно [289] .)

ное состояние,

(3.1.1)

определяет число узлов, участвующих в формировании собственного состояния с частотой со. Здесь В( I , со) - зависящая от массы (см. (13.8) и (1.3.12)) нормированная амплитуда этого состояния [для сис­ тем большей размерности В (I , со) = | В ( с о )|]. Для выяснения физи­ ческого смысла L* рассмотрим одноатомную цепочку из N атомов, где N' атомов вовлечены в движение с примерно одинаковыми амплитуда­ ми. В этом случае L* = N Если периодическая система описывается синусоидальными модами, то L* « (V3)iV. На рис. 3.3 представлена си­ туация, когда четыре области дают основной вклад в формирование дли­ ны L*. Для характеристики «локализованных состояний вместо L* часто испрльзуют также отношение

р(со) = L*(co)IN .

Были выполнены машинные расчеты длины локализации колебатель­ ных мод < L d> , усредненной по системе; результаты приведены на рис. 3.4. Они получены для двухатомной цепочки с изотопическим бес­ порядком, N *= 1000, концентрацией с = 0,5 и заданными на одном из концов граничными условиями. Видно появление расходимости < L d > при стремлении со2 к нулю, что отражает тенденцию к делокализации низкочастотных состояний. Заметно резкое уменьшение длины локализа­ ции вблизи края зонного спектра тяжелых атомов (отмечен на рисунке стрелкой, направленной вверх). Наблюдаются, кроме того, пики < L d(w)>

Рис. 3.4. Конфигурационно-усредненная длина локализации для собственных состояний неупорядоченной бинарной полубесконечной цепочки с концентра­ цией легких атомов с = 0,5. Отношение масс атомов равно 3. — макси­

мальная частота цепочки, состоящей лишь из одних легких атомов. (Соглас­ но [288] .)

на частоте .локальной моды изолированного дефекта (отмечена стрел­ кой, направленной вниз), а также на частотах изолированных кластеров из легких атомов. Ясно, что по сравнению с близлежащими эти моды должны характеризоваться более медленным пространственным спада­ нием. Однако исследование поведения L* показывает [288], что величи­ на L* для этих мод меньше, чем для соседних.

Обратимся теперь к аналитическому рассмотрению локализации в полубесконечной изотопически неупорядоченной гармонической цепочке.

с начальными граничными условиями w(0) и u(l)(w 2(6) + м2(1) 4 0)» Здесь М( / ) и и ( I ) - соответственно масса и смещение I-го атома, а у - силовая постоянная взаимодействия ближайших соседей. В случае бесконечной или полубесконечной цепочек произвольное значение со, по­ падающее в область разрешенных частот, лежит в общем случае беско­ нечно близко к некоторой собственной частоте. В результате решение (3.1.3) с частотой со можно записать в виде

где

(3.1.5)

(3.1.6)

X j называется вектором состояния, Тг - матрицей перехода. Величи­ ны Mi представляют собой независимые случайные переменные. Пове­ дение амплитуды колебаний вдали от фиксированного конца цепочки определяется, таким образом, пределом произведения случайных мат­ риц. Этот переход дает совершенно общее доказательство экспонен­ циального роста решений уравнения (3.1.3) (см. обзор Исии [ 188], а так­ же работу Стефена [3651).

Здесь нас интересует явное аналитическое выражение для длины локализации. Чтобы его найти, введем так называемое отношение сос­ тояний

висимые случайные переменные, описываемые некоторой (нормирован­ ной) функцией распределения Р(а). В дальнейшем нам потребуется Функция распределения (нормированная) плотности вероятности w; (Zj) Используя стандартные математические соотношения, можно выразить функцию w i + 1 ( Z i + ! ) через функцию ( Z г ) с помощью интеграль­

Усреднение < .. •> в последнем выражении означает усреднение по распределе нию М(/). Величина у (со), как видно из (3.1.15), положительна. Это ука­ зывает на экспоненциальный [вида ехр ( / у (со))] рост амплитуды реше­ ния (3.1.3) в среднем. Вообще говоря, можно полагать, что каждая соб­ ственная функция локализована вблизи некоторого узла 10 ,т. е. спада­ ет как ехр( - 11 - / 0 |у (со)). Величину у (со) можно в этом смысле идентифицировать с длиной локализации L d(co). При низких частотах, как следует из (3.1.15), выполняется соотношение L ~ ео2,т. е. тенден­ ция к делокализации с уменьшением частоты быстро усиливается.

В связи с обсуждавшимися выше машинными экспериментами от­ метим, что делокализованные состояния не могут быть строго опреде­ лены в конечной системе. Тем не менее обычно считается, что локали­ зация собственных состояний в таких системах тесно связана с сущест­ вованием экспоненциально .локализованных состояний в бесконечных системах. В цепочке из N атомов собственное состояние с частотой со

выглядит хорошо локализованным лишь при выполнении условия y(co)/V/2 » 1. С помощью этого соотношения и низкочастотной асимптоти­ ки (3.1.15) м&1 можем записать следующее условие локализации состояния:

(3.1.16)

Здесь со d — так называемая граничная частота; в пределе N -> она стремится к нулю.

Следует отметить, что в неупорядоченной гармонической цепочке

с фиксированными концами теплопроводность в пределе N исчезает, а для периодической цепочки с фиксированными концами она расходит­ ся. Первое утверждение следует из экспоненциального роста некоторых решений, т. е. из факта локализации колебательных мод (см. обзор Исии [188]).

Читателя, интересующегося возможностями расчета различных ха­ рактерных длин локализованного состояния в неупорядоченной цепочке, мы отсылаем к работе [289].

3.1.2.Локализация в модели Андерсона

Внастоящее время проблема локализации в трехмерной неупорядоченной системе для электронов понята гораздо лучше, чем для колебательных мод. Это объясняется отчасти интересом к "электронной” проблеме (из-за того, что локализация электронов сильно влияет на электричес­ кие свойства неупорядоченных материалов), отчасти тем, что при иссле­ довании .локализации решеточных колебаний возникают специфические

вычислительные трудности (из-за матричного вида силовых постоянны к и наличия правила сумм (1.3.52), которое связывает диагональные и не­ диагональные силовые постоянные).

Большинство работ по проблеме локализации электронов основывает­ ся на модели Андерсона [12,13]. Это одноэлектронная модель неупоря­ доченности в приближении сильной связи. Изучение при некоторых упро­ щающих предположениях локализации колебательных мод математичес­ ки сходно с соответствующей задачей для электронов в модели Андерсо­ на. Поэтому здесь, пожалуй, будет уместно кратко изложить подход к проблеме локализации в модели Андерсона, а в следующем разделе об­ судить применимость полученных результатов для описания колебатель­ ных мод.

Здесь 11 > обозначает связанное с I-м узлом в периодической решетке состояниеВаннье (< / 11*> = |/ х / 1= 1). Беспорядок обычно вводится с помощью предположения о взаимной независимости случай­ ных величин € 1, распределение вероятности которых описывается извест* ной функцией Р (€^), при условии, что Уц' равно V для ближайших со­ седей и нулю в противном случае (диагональный беспорядок). Андерсон определяет локализацию.следующим образом. Пусть в момент t = 0 элек­ трон находится на некотором узле, скажем узле 0. Тогда, если узел 0 принадлежит какому-либо локализованному состоянию, электрон имеет конечную вероятность находиться вначале в этом состоянии, а значит, имеется конечная вероятность р00 найти электрон на том же самом уз­ ле при t -+ оо. В противном случае, если узел 0 не входит ни в какое ло­ кализованное состояние, электрон продиффундирует прочь и вероятность

PQO = 0*

Усредненную по времени вероятность найти при t -*•*» электрон в состоянии 10 > , если в момент t = 0 он находился в этом же состоянии

10>, можно записать в виде

т.е. G0 (Е ) = < О|(Е - Я ) ” 110>. Выражение (3.1.18) можно получить следующим образом. Ерли в момент г = 0 электрон находился в состоянии |ф(0)> , а во время t его волновая функция есть |ф ( t ) > , то вероят­ ность обнаружить электрон в это время в состоянии |ф (0)> будет

где |Ф п |> - собственные состояния Н с энергией Еп . Первый член в правой части (3.1.20) при усреднении по времени (1,/f ) / *df. . . в преде­ ле t -*•оо исчезает. Второй член запишем в виде

оо

lim — fd E <!Р(0)| G(E + ге) |!Р(0»<!Р(0)| в(Е - ге) |У(0)>. (3.1.21)

е-*0 71 J

—оо

Вэтом можно уоедиться непосредственно, воспользовавшись разложе­ нием |ф (0)> по собственным функциям |Фп> . Выражение (3.1.21) при учете равенства |«А(0)> =г |0> совпадает с правой частью (3.1.18).