книги / Прикладная механика композитов

Рис. 4. Схема, иллюстрирующая напряженное состояние ряда несвязанных совместно деформируемых слоев.

граничных условий на свободной кромке требует, чтобы ту г = 0 для всех z и при у/b = 1,0. Следовательно, это межслойное сдвиговое напряжение, равное нулю во внутренних областях вдали от свободных кромок, является ненулевым вблизи от них и вновь становится нулевым на кромке. Это утверждение справедливо для любой произвольной координаты г. Дей­ ствие межслойных напряжений не ограничивается только по­ верхностями раздела между слоями.

Для равенства моментов относительно оси х для рассма­ триваемой группы слоев (рис. 4(a)) требуется следующая взаимосвязь между межслойными нормальными напряжения-

где Z, — координата середины /-го слоя.

Кроме того, равновесие сил в направлении оси г требует, чтобы результирующая сила, связанная с распределением на­ пряжений Oz вдоль любой плоскости z = zk, равнялась нулю. Таким образом, распределение ог должно быть в лучшем слу­ чае эквивалентным ненулевому моменту пары сил при нулевой результирующей силе. Понятно, что знак этого момента зави­ сит от распределения оу вдоль у= 0 . Следовательно, межслой­ ное нормальное напряжение может изменяться по толщине слоистого композита. Это напряжение может быть положи­ тельным, отрицательным или нулевым в любой точке компо­ зита, однако его распределение в пределах любой плоскости г = const должно быть эквивалентным паре сил.

Для равновесия сил на схеме, показывающей группу слоев композита (рис. 4(b)), требуется, чтобы неуравновешенные напряжения хху вдоль его центральной линии уравновешива­ лись ненулевыми напряжениями хгх вдоль поверхности раз­ дела, что можно выразить следующим образом:

k ъ

лах некоторой области на поверхности раздела должны суще­ ствовать ненулевые межслойные сдвиговые напряжения хгх.

Рассмотренные выше условия равновесия показывают, что применение послойного анализа может подтвердить факт су­ ществования ненулевых межслойных (сдвигового и нормаль­ ного) напряжений в некоторой части любой произвольной плоскости z = zk. Для определения фактического распределе­ ния межслойных напряжений необходимо решение соответ­ ствующей задачи теории упругости.

2.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕЖСЛОЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ИЗ-ЗА РАЗЛИЧИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА МОНОСЛОЕВ

Возникновение межслойных напряжений обусловлено ис­ ключительно различием механических характеристик мате­ риала от слоя к слою. В однородных материалах при одноос­ ном нагружении эти напряжения отсутствуют. С точки зрения

задачи о свободной кромке наиболее важными характеристи­ ками материала являются коэффициенты Пуассона и взаим­ ного влияния. Коэффициент Пуассона определяется как взятое со знаком минус отношение поперечной деформации гу к приложенной осевой деформации ех:

Коэффициент взаимного влияния определен уравнением (2.1) как отношение сдвиговой деформации в плоскости уху к вы­ зывающей ее заданной осевой деформации. Для полноты опи­ сания повторим это уравнение вновь:

Изменение свойств в зависимости от угла ориентации волокон в однонаправленном несоосном монослое из эпоксидного угле­ пластика показано на рис. 5. Видно, что коэффициент Пуас­ сона является четной функцией угла 0 и изменяется от 0 , 0 2 до 0,37, тогда как коэффициент взаимного влияния — нечетная функция угла 0, изменяющаяся в диапазоне от —2,17 до +2,17.

Проявление более сильного различия в коэффициентах Пуассона и взаимного влияния, характерных для смежных слоев с углами ориентации волокон ± 0 , показано на рис. 6 . Разность коэффициентов Пуассона для пары слоев с углами армирования ± 0 тождественно равна нулю для всех значений углов, поскольку коэффициент Пуассона является четной функцией угла 0. Кроме того, рассматривая композиты, обра­ зованные чередованием пар слоев с углами армирования, из­ меняющимися от 0/90° до 0/0°, можно показать, что макси­ мальная разность коэффициентов, равная 0,34, соответствует композиту со структурой 22°/90°

Как видно из рис. 6 , разность коэффициентов взаимного влияния в перекрестно армированных композитах имеет ост­

поскольку для слоев с углами армирования 0 и 90° т\ху,х = 0, а функция г|Ху,л:(0 ) является нечетной.

Анализ результатов, приведенных на рис. 6 , позволяет сделать некоторые важные выводы и указать принципы, по­ лезные для проектирования.

— Разность коэффициентов Пуассона на поверхностях раз­ дела слоев в перекрестно армированных композитах равна нулю, поэтому предполагается, что межслойные (нормальное ог и сдвиговое Туг) напряжения равны нулю для всех значе­ ний у и всех значений z.

— Наибольшие межслойные сдвиговые напряжения xZx ожидаются на границе раздела слоев с углами армирования + 1 1 ,5 °, где разность коэффициентов взаимного влияния ма­ ксимальна.

— Разделяя в композите слои с углами армирования + 0 и —0 слоями с углами армирования 0 или 90°, можно в два раза уменьшить разность коэффициентов взаимного влияния на поверхностях раздела слоев, что приводит к соответствую­ щему уменьшению межслойных сдвиговых напряжений хгх.

— Разность коэффициентов взаимного влияния на грани­ цах раздела слоев с углами армирования 0 и 90° равна нулю, поэтому в ортогонально армированных композитах межслой­ ные сдвиговые напряжения хгх отсутствуют.

2.4. УПРУГАЯ ПОСТАНОВКА

Задачу о растяжении пластин конечной ширины из сим­ метричных самоуравновешенных композитов в упругой поста­ новке можно сформулировать на основе предположения о не­ зависимости напряжений и деформаций от координаты х. В этом случае анализ приведет к выбору следующей наибо­ лее общей формы для поля перемещений:

где е*— заданная осевая деформация, a U(y,z), V{y,z), W (у, z) — функции, описывающие неизвестные поля перемеще­ ний. Поскольку при заданной осевой деформации все переме­ щения зависят только от координат у и z, анализ можно огра­ ничить рассмотрением плоскости характерного поперечного се­ чения (рис. 7). Более того, благодаря симметрии слоистой пластины относительно срединной плоскости можно рассма­ тривать половину этого сечения.

В работах [4, 7] показано, что расчет тонких пластин из симметричных самоуравновешенных композитов без заметной потери точности осуществим для симметричной четверти по­ перечного сечения. Таким образом, задача сводится к опре­ делению полей перемещения U, V и W для выбранной четверти поперечного сечения слоистой пластины (рис. 7), нагруженной заданной постоянной осевой деформацией. Гра­ ничные условия для четверти поперечного сечения задаются в виде

Ранее отмечалось, что настоящая задача решена как чис­ ленно, так и аналитически. Аналитическое решение [37] по­ лучено с помощью потенциалов напряжений F(y,z) и x¥ ( y ,z ) r выведенных в [2 1 ], и выражено с помощью комплексных кор­ ней характеристического уравнения. Подробности математиче­ ского решения описаны в работе [37].

3.Экспериментальные результаты

3.1.ОСЕВЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

ВПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ

На рис. 8 для трех перекрестно армированных эпоксидных углепластиков показаны рядом картины муаровых интерфе­ ренционных полос, соответствующие осевым перемещениям вдоль лицевой поверхности пластин и вдоль их свободных кро­ мок (последние приведены и при более сильном увеличении) [3]. Видно, что расположение полос как на лицевой поверх­ ности, так и на свободной кромке не зависит от осевой коор­ динаты. Поле перемещений на лицевой поверхности пластин однородно, за исключением области пограничного слоя вдоль кромок, неоднородность в которой имеет одинаковую форму вдоль всей длины образцов. Из характера картин полос на лицевой поверхности видно, что неоднородные осевые переме­ щения в области пограничного слоя являются антисимметрич­ ными относительно центральной линии пластин для рассмо­ тренных перекрестно армированных композитов.

Экспериментальные результаты, несомненно, подтверждают предположение о независимости деформаций (градиентов ин­ терференционных полос) от осевой координаты. Кроме того, экспериментальные результаты показывают, что ширина по­ граничного слоя для трех рассмотренных композитов прибли­ зительно равна толщине слоистой пластины.

3.2.СДВИГОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

ВПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ

Характер картин интерференционных полос на кромках пластин указывает на наличие больших градиентов осевых перемещений, что свидетельствует об очень высоких сдвиго­ вых деформациях (рис. 9) Сдвиговые деформации угх на кромках образцов пропорциональны градиентам перемещений, соответствующих интерференционным полосам в зависимости от координаты г по толщине пластины. Максимальный наклон интерференционных полос соответствует поверхности раздела слоев с углами армирования ±0 и является конечным. Влия­ ние угла армирования волокон в смежных слоях очевидно из

Рис. 9. Картины муаровых интерференционных полос вдоль кромок пере­ крестно армированных композитов с укладками [(±0Ы*-

рассматриваемого рисунка. Максимальные деформации, раз­ вивающиеся в пластинах, составленных из слоев с углами армирования 10 и 30°, в несколько раз больше, чем в пластине из слоев с углами армирования 45° Деформации в пластине со слоями, ориентированными под углом 30°, несколько выше, чем в пластине со слоями под углом 1 0 °

На рис. 10 сравниваются сдвиговые деформации кромки, определенные экспериментально с помощью картин муаровых полос и вычисленные методом конечных элементов. В послед­ нем случае угол ориентации волокон в слоях пластины изме­ нялся с шагом 5°, чтобы лучше определить критическое значе­ ние, которому соответствует наибольшая сдвиговая деформа­ ция. Результаты расчета методом конечных элементов зависят от типа и размеров используемого элемента, поэтому изучен вопрос о выборе «наилучшего» конечного элемента. Как по­ казано на рисунке, наилучшие результаты получены при ис­ пользовании четырехузлового изопараметрического конечного элемента. Видно, что наблюдается довольно хорошее соответ­ ствие между экспериментом и расчетом, выполненным с по­ мощью одной и той же сетки конечных элементов, использо­ ванной для всех рассмотренных слоистых пластин. Результаты расчета методом конечных элементов показывают, что макси­ мальные межслойные сдвиговые деформации развиваются в пластине, составленной из слоев с углами армирования +15°, что хорошо согласуется с выводом, полученным ранее при анализе различия упругих свойств монослоев.