ку и принимают составы в вершинах Ajt j = 1, 2,...,^ за самостоятель ные псевдокомпоненты так, чтобы для всей области локального симплекса выполнялось условие
i= 1
Планирование экспериментов осуществляется в системе координат псевдокомпонентов. Относительно новых переменных zv z2,...,zq, удовлетворяющих условию (VI. 119), могут быть построены все ранее описанные планы. Для проведения экспериментов необходимо перей ти от псевдокомпонентов z, к исходным компонентам х,. Для
любой и-й точки плана этот пересчет осуществляется по формуле
*<“>=*о>+ 4«>(4»_4»)+4и)(43- 4°)+ ••+
+ z<“) (4 « ) - 4 ,)), |
(VI. 120) |
где х,—содержание /-го компонента в вершине Zj(Aj).
Реализовав план, рассчитывают коэффициенты уравнения регрес
сии в координатах псевдокомпонентов |
|
У = /(*1 , г2, |
(VI. 121) |
используя ранее приведенные формулы для соответствующих планов, и проверяют его адекватность. Для практического использования уравнение (VI. 121) записывают в исходной системе координат при помощи формул перевода координат из одной афинной системы в другую:
*а=*,(,)+**(42- 4°)+ |
(43) -*,(,))+•••+ **(*{«- 4 " ) . |
|
г2=4»+ |
(42>- *<>)+ *3(4 3) - |
4 " ) + ••• +*,( |
- 4 " ) •(VI•12) |
* 9 - 1 = * 9 — 1 + |
* 2 ( |
* 9 — 1 - * 9 - l ) |
+ * 3 ( 4 |
- 1 ~ 4 - l ) + " • + * < |
( *S". |
* ( D1) \ |
|
Значения |
z\n |
находятся |
при решении ( q — 1) систем уравнений: |
М) |
4» |
|
у(1) |
г(2) |
z (3) |
х\ |
+ х2 |
|
+ 4 " zl |
у(2) |
*1° |
+ |
х(2) |
z(2) |
z (3) |
х \ |
*2 |
2 \ |
|
х(9 ) |
4 " |
+ |
Ля) |
Л2) |
z (3) |
*1 |
х2 |
Z1 |
+ 4 » Z1 |
4» |
.«о |
+ |
М) |
z (2) |
z (3) |
z 2 |
х2 |
Z2 |
+ 4 l) Z2 |
|
zu> |
+ х2 |
z 2 |
Z2 |
4 2>Z2 |
|
|
|
у(2) |
2(2) |
z (3) |
~ я |
2(Я) - |
z \ |
= 1 |
-t- |
zj*> = 0 |
z\Ля) = 0
+ • 2 (я) = 0
Z2
+ •• • + 4 2) Z2Л Я ) = 1
х\«> |
z<2>+ |
г \ + • • • + ХМ г[я) = 0 |
4 " *0),+ 4 " + 4 n № + ■' ■+4 " 4% =0
4 % + *<2>2<2i , + 2« i,+ - ...+ *<2>*<*>,=0
4 » 4 lh +4<?)4->+4 9) 4-i+ ••• + 4?) 4 - i =1
где z^1- содержание псевдокомпонента z,- в вершинах исходного симплекса; x f — содержание /-го компонента в вершинах ZJ(AJ), j = = 1, Поскольку такой перевод координат возможен только для уравнений с независимыми переменными, исходное уравнение регрес сии необходимо преобразовать, исключив одну переменную, на пример последнюю q-ю:
|
<7— 1 |
(VI. 124) |
|
,= i - 21=1 г‘- |
|
|
Пример 3. Изучалась температура кипения тройной смеси НгО - К2НРО4 - К2СО3. Необходимо было определить уравнение регрессии температуры кипения (у, °С) от состава смеси (%). Исследованию подвергался не весь концентрационный треугольник, а лишь подобласть ненасыщенных растворов при 20°С —локальный участок диаграммы
в виде |
треугольника с |
вершинами zi (100, |
0, |
0), |
Z2 (40, |
60, 0), z3 |
(50, 0, 507, рис. 69. |
Р е ш е н и е . Для |
получения уравнения регрессии |
был составлен симплекс-решет- |
чатый |
план относительно псевдокомпонент |
zi, |
Z2, |
z3; |
по |
формуле |
(VI. 120) определено |
содержание исходных компонентов в экспериментальных точках. Уравнения регрессии второго и неполного третьего порядков оказались неадекватными. Используя свойство композиционности симплекс-решетчатых планов, матрица планирования была достроена для получения уравнения регрессии четвертого порядка.
Матрица планирования и результаты опытов
|
Н ом ер опы та |
*1 |
*2 |
z3 |
|
*2 |
*3 |
У |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
100 |
0 |
0 |
9 9 ,9 |
|
2 |
|
0 |
1 |
0 |
4 0 |
60 |
0 |
113,5 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
50 |
0 |
50 |
115,7 |
|
4 |
0 ,5 |
|
0 ,5 |
0 |
70 |
30 |
0 |
103,1 |
|
5 |
0 ,5 |
0 |
0 ,5 |
75 |
0 |
25 |
104,8 |
|
6 |
0 |
|
0 ,5 |
0 ,5 |
45 |
3 0 |
25 |
114,8 |
|
7 |
0 ,3 3 3 |
|
0 ,3 3 3 |
0 ,3 3 3 |
6 3 ,3 3 |
20 |
16,67 |
1 0 5 ,6 |
|
8 |
0 ,7 5 |
|
0 ,2 5 |
0 |
85 |
15 |
0 |
101,5 |
|
9 |
0 ,2 5 |
|
0 ,7 5 |
0 |
55 |
4 5 |
0 |
107*2 |
|
10 |
0 ,7 5 |
|
0 |
0 ,2 5 |
8 7 .5 |
0 |
12.5 |
1 01,6 |
|
11 |
0 ,2 5 |
|
0 |
0 ,7 5 |
6 2 .5 |
0 |
3 7 .5 |
• 107,7 |
|
12 |
0 |
|
0 ,7 5 |
0 ,2 5 |
4 2 .5 |
45 |
12.5 |
112,5 |
|
1 т |
0 |
|
1J |
0 ,2 5 |
0 ,7 5 |
4 7 .5 |
15 |
3 7 .5 |
1 16 .4 |
|
14 |
0 ,5 |
|
0 ,2 5 |
0 ,2 5 |
7 2 .5 |
15 |
12.5 |
103 .4 |
|
15 |
0 ,2 5 |
|
0 ,5 |
0 ,2 5 |
5 7 .5 |
3 0 |
12.5 |
104 .4 |
|
16 |
0 ,2 5 |
0 ,2 5 |
0 ,5 |
|
17 |
60 |
15 |
25 |
1 0 9 ,0 |
|
0 ,2 |
0 ,2 |
0 ,6 |
58 |
|
12 |
3 0 |
108,3* |
|
18 |
0 ,5 |
0 ,1 2 5 |
0 ,3 7 5 |
|
7 3 ,7 5 |
7.5 |
18,75 |
103,3* |
|
19 |
0 ,4 |
0 ,1 5 |
0 ,4 5 |
|
6 8 .5 |
9 |
|
20 |
2 2 .5 |
104,2* |
|
0,3 |
0 ,1 7 5 |
0 ,5 2 5 |
|
|
6 3 ,2 5 |
10.5 |
2 6 ,2 5 |
106,2* |
|
|
|
|
|
Условия опытов выражены в псевдокомпонентах zj и в натуральном масштабе х, %. Средние результаты у измерения температуры получены по двум параллельным опытам.
Ошибка воспроизводимости равна .Ту—0,86. Число степеней свободы ошибки воспро изводимости f y —20.
Коэффициенты уравнения регрессии четвертого порядка рассчитаны с использова нием свойства насыщенности матрицы планирования по формулам (VI.46). Уравнение регрессии в псевдокомпонентах имеет вид
у = 99,882! + ИЗ,5lz2+ 115,69z3— 14,222^2— 12,132^3 +0,91za28 +
+ |
6,1 8ZJZ2 (ZI — z2) + 10,12z1z3 (zx |
z3) — 15,34z2z8 (z2 |
z3) + |
+ |
6,902^2 (zi — z2)a — 1 7 (zx— z3)a + 6,32z2z3 (z2 — z3)a + |
|
+ l,07zfc2z8 — 274,612^ |
23+ 1 4 2 ,2 1 2 ^ . |
(VI .125) |
В таблице сведены результаты проверки адекватности полученного уравнения регрессии.
Н ом ер опы та |
У |
У |
А У |
% |
1 |
17 |
108,3 |
110,7 |
2 ,4 |
1,3 |
2 ,1 6 |
18 |
103,3 |
100,9 |
2 ,4 |
1,0 |
2 ,2 7 |
19 |
104,2 |
107 ,0 |
2,8 |
1,0 |
2,66 |
20 |
106,3 |
108,7 |
2 ,4 |
1,1 |
2 ,1 6 |
Табличное значение критерия Стьюдента f0,012^0 —2,8. Уравнение (VI.125) адекватно эксперименту. Перейдем в уравнении (VI.125) от псевдокомпонент zj к натуральным переменным xj . Системы уравнений (VI.123) для рассматриваемой задачи имеют вид
U (11)+ 0 Z <2 )+ 0 Z <3>= 1.
0,4z{l,+0.6*j8, + 0*l3) =0,
О.бг}1»+0z<2) + 0,5z{3) = 0,
(VI .126)
lz<1) + 0z f + 0z<3) = 0,
0 .4 Z<1>+ 0 . 6 Z<2>-1-0Z <3) = 1,
0,5z^1) -i-0z<2>+ 0,5z^3>= 0 .
В результате решения систем (VI. 126) получаем
z{1) = 1. |
z<'> = 0, |
|
г{2) = 0 ,7 , |
г<2>== 1,7, |
(VI. 127) |
z«>-----1, |
z<3> = 0. |
|
Использовав полученные решения в системе уравнений (VI. 122), получим формулы связи между натуральными координатами Xj и системой координат zj :
Ч — 1— 1.7*, — 2х3, |
|
4 = 1.7*,, |
(VI. 128) |
z3 = 1 — Zi — Z2 — 2xs .
Подставив (VI.128) в (VI.125), получим уравнение регрессии в исходных координатах:
у = 99,88 + 20,82х2 — 7,63JC3+ 92,88*2*3 — 107,83** + 279,28** —
- 1373,69*|*з -243,59*2*3 + 2230,35^ *| + 312,78**- 965,12*| +
+ 2146,05*1*3 - 179,60*2*| - 212,96*« + 1127,1**. |
(VI.129) |
Для удобства использования по уравнению регрессии построены линии равных температур (рис. 70).
к 2с о 3
Рис. 70. Линии равных значений температур
2. Исследуемая область —многогранник. При наличии ограничений на изменение концентраций компонентов исследуемая область в общем случае образует некоторый многогранник. При построении плана экспериментов надо некоторым образом распределить экспе риментальные точки по получающемуся из условия
|
0< at < xi < bt < 1 |
(VI • 130) |
многограннику. При этом вырожденные случаи |
|
Q |
q |
|
2 |
а‘ > 1 и 2 bi < * |
(Vi. 131) |
|
t=\ |
|
исключаются.
Экспериментальные точки предложено выбирать следующим образом:
1) выписываются все возможные комбинации двух уровней ах и bj для каждого из компонентов, но в каждой комбинации пропускает
ся содержание одного компонента. Число таких комбинаций для ^-компонентной смеси равно q2Ч~1\
2) среди всех комбинаций выбирают те, где сумма компонентов •меньше единицы и выполняются ограничения (VI. 130). В выбранные комбинации добавляют пропущенные компоненты в количестве,
удовлетворяющем соотношению |
1. Полученные |
таким образом |
точки плана, удовлетворяющие |
условию (VI. 130), |
расположены в |
вершинах ограничивающего многогранника; |
|
3) к полученным таким образом точкам плана добавляют центры двух-, трех-,...,(<? - 1)-мерных граней многогранника и его центр.
С ростом q число комбинаций условий эксперимента быстро растет и становится значительно больше числа коэффициентов обычно применяемого для этих планов полинома второго порядка. Определение коэффициентов уравнения регрессии второго порядка проводится по методу наименьших квадратов. Поскольку план эксперимента ненасыщенный, проверку адекватности уравнения регрес сии можно проводить, используя F-критерий.
Рассмотрим построение плана Мак Лина и Андерсона для ис следования и оптимизации яркости свечения смеси, компонентами которой являются магний Ос,), сода (х*), нитрат стронция (л*) и свя зующее вещество (xj. На содержание компонентов в смеси наклады
ваются следующие ограничения: |
|
0,40 < хх<0,60, 0,10 < х2< 0,50, |
0,10 < х3<0,50, 0,03 < *4< 0,08. |
Втабл. 80 приведены все возможные комбинации составов смеси
спропусками в комбинациях одного из компонентов.
Т а б л и ц а 80. Выбор вершин многогранника в плане Мак Лина и Андерсона
Номер |
Содержание |
комполентов |
Номер |
|
Содержание |
компонентов |
опыта |
|
|
|
|
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
•*2 |
*3 |
|
*4 |
|
|
*3 |
*3 |
*4 |
1 |
0,40 |
0,10 |
0,10 |
|
_ |
17(1) |
0,40 |
0,10 |
0,47* |
0,03 |
2 |
0,40 |
0,10 |
0,50 |
|
— |
18(2) |
0,40 |
0,10 |
0,42* |
0,08 |
3 |
0,40 |
0,50 |
0,10 |
|
— |
19 |
0,40 |
0,50 |
— |
0,03 |
4 |
0,40 |
0,50 |
0,50 |
|
— |
20 |
0,40 |
0,50 |
— |
0,08 |
5 |
0,60 |
0,10 |
0,10 |
' |
— |
21(3) |
0,60 |
0,10 |
0,27* |
0,03 |
6 |
0,60 |
0,10 |
0,50 |
|
— |
22(4) |
0,60 |
0,10 |
0,22* |
0,08 |
7 |
0,60 |
0,50 |
0,10 |
|
— |
23 |
0,60 |
0,50 |
— |
0,03 |
8 |
0,60 |
0,50 |
0,50 |
|
— |
24 |
0,60 |
0,50 |
— |
0,08 |
9(5) |
0,40 |
0,47* |
0,10 |
|
0,03 |
25 |
— |
0,10 |
0,10 |
0,03 |
10(6) |
0,40 |
0,42* |
0,10 |
|
0,08 |
26 |
— |
0,10 |
0,10 |
0,08 |
11 |
0,40 |
— |
0,50 |
|
0,03 |
27 |
— |
0,10 |
0,50 |
0,03 |
12 |
0,40 |
— |
0,50 |
|
0,08 |
28 |
— |
0,10 |
0,50 |
0,08 |
13(7) |
0,60 |
0,27* |
0,10 |
|
0,03 |
29 |
— |
0,50 |
0,10 |
0,03 |
14(8) |
0,60 |
0,22* |
0,10 |
|
0,08 |
30 |
— |
'0,50 |
0,10 |
0,08 |
15 |
0,60 |
— |
0,50 |
|
0,03 |
31 |
— |
0,50 |
0,50 |
0,03 |
16 |
0,60 |
— |
0,50 |
|
0,08 |
32 |
|
0,50 |
0,50 |
0,08 |
* Количество добавленного компонента.
Таким образом получено 8 точек плана —вершин многогранника (рис. 71). Эти точки необходимо дополнить координатами центров всех граней многогранника и центра многогранника (табл. 81).
Номер |
|
Содержание |
компонентов |
|
Точки, образующие грань |
опыта |
|
|
|
|
|
|
х\ |
*2 |
*э |
* 4 |
|
(9) |
0,50 |
0,10 |
0,345 |
0,055 |
(1), (2), (3), (4) |
(Ю) |
0,50 |
0,345 |
0,10 |
0,055 |
(5), (6), (7), (8) |
(11) |
0,40 |
0,2725 |
0,2725 |
0,055 |
(1), (2), (5). (6) |
(12) |
0,60 |
0,1725 |
0,1725 |
0,055 |
(3), (4), (7), (8) |
(13) |
0,50 |
0,2350 |
0,2350 |
0,030 |
(1).(3),(5),(7) |
(14) |
0,50 |
0,2100 |
0,2100 |
0,080 |
(2), (4), (6), (8) |
(15) |
0,50 |
0,2225 |
0,2225 |
0,055 |
Центр многогранника |
Координаты центра многогранника определяются усреднением соот ветствующих координат всех восьми вершин плана, координаты центров граней —усреднением координат точек, образующих грань (табл. 81 и рис. 71).
Целиком план Мак Лина и Андерсона для четырехкомпонентной смеси и результаты эксперимента приведены в табл. 82.
Т а б л и ц а |
82. План Мак Лина и Андерсона для |
четырехкомпонентной смеси |
Номер |
|
X* |
*3 |
|
•Уев |
Номер |
|
Х7 |
|
Х4 |
Уев |
опыта |
|
* 4 |
опыта |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,40 |
0,10 |
0,47 |
0,03 |
75 |
9 |
0,50 |
0,10 |
0,345 |
0,055 |
220 |
2 |
0,40 |
0,10 |
0,42 |
0,08 |
180 |
10 |
0,50 |
0,345 |
0,10 |
0,055 |
200 |
3 |
0,60 |
0,10 |
0,27 |
0,03 |
195 |
11 |
0,40 |
0,2725 |
0,2725 |
0,055 |
190 |
4 |
0,60 |
0,10 |
0,22 |
0,08 |
300 |
12 |
0,60 |
0,1725 |
0,1725' |
0,055 |
310 |
5 |
0,40 |
0,47 |
0,10 |
0,03 |
145 |
13 |
0,50 |
0,235 |
0,235 |
0,030 |
200 |
6 |
0,40 |
0,42 |
0,10 |
0,08 |
230 |
14 |
0,50 |
0,210 |
0,210 |
0,080 |
410 |
7 |
0,60 |
0,27 |
0,10 |
0,03 |
220 |
15 |
0,50 |
0,2225 |
0,2225 |
0,055 |
425 |
8 |
0,60 |
0,22 |
0,10 |
0,08 |
350 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты приведенного полинома второго порядка опреде лены по методу наименьших квадратов. Уравнение регрессии имеет вид
(0,1АО)
Рис. 71. План Мак Лина и Андер сона
у 5= — 1 f 558xj — 2,851*2 — 2 ,426*з ”Ь
4- 14,372*4+ 8 ,300*!*2 + 8 ,076*!*3 —
— 6,625*1*4 + 3 ,2 1 3*2*з — |
16,998*2*4 — |
- 1 7 ,1 2 7 * 3 * 4 . |
(VI. 132) |
Так как зависимость свойства от состава адекватно описывается уравне нием регрессии второго порядка, ока залось возможным определить опти мальные условия, применив метод нелинейного программирования. Усло-
вия, обеспечивающие максимальную яркость свечения, определялись при ограничениях (V I131):
А |
*1 = 0,5233, **= 0,2299, |
*3= 0,1608, *4= 0,080. |
Ушах = 397,48 при |
С увеличением числа компонентов смеси число экспериментальных точек в плане Мак Лина и Андерсона быстро возрастает. Для сокращения числа экспериментов можно исключить некоторые из центров граней или такие точки, после исключения которых остав шиеся оказываются распределенными по исследуемой области более или менее равномерно.
5. D-Оптимальные планы. Среди различных известных критериев оптимальности планов важнейшими являются требования D- и G- оптимальности D-Оптимальным называется план, минимизирующий объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов уравнения регрессии. Свойство G-оптимальности обеспечивает наименьшую максимальную величину дисперсии предсказанных значений отклика в области исследования. Симплекс-решетчатые планы обладают свойствами D- и G-оптимальности только при построении полиномов второго и неполного третьего порядка. Планы Шеффе более высоко
го порядка не являются D-оптимальными. D-оптимальная симплексная решетка для полинома третьего порядка была построена позднее
Кифером. Если рассмотреть |
множество |
планов |
с координатами |
точек |
|
|
|
* i = \ , |
x j = x h = 0, |
|
|
x t = 1— xj = |
b, *ь = 0, |
6< v „ |
(VI.133) |
x t = Xj = X h = 1/ 3 ,
то длй построения полинома третьего порядка план будет D-опти- мальным при /> —(1 - 75)/ 2, т. е. точки на сторонах симплекса берут
скоординатами х ,—0,2764; ху—0,7236.
Втабл. 83 приведен D-оптимальный план для построения поли
нома третьего порядка в трехкомпонентной системе.
|
Т а б л и ц а |
83. D-Оптимальный план для полинома третьего порядка |
|
|
в трехкомпонентной системе |
|
|
|
Номер опыта |
*1 |
|
*3 |
У |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
У1 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
У* |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
уъ |
|
4 |
0,7236 |
0,27/>4 |
0 |
у\\ч |
|
5 |
0,2764 |
0,7236 |
0 |
У\ 22 |
|
6 |
0,7236 |
0 |
0,2764 |
> 4 1 3 |
|
7 |
0,2764 |
0 |
0,7236 |
>>133 |
|
8 |
0 |
0,7236 |
0,2764 |
>>223 |
|
9 |
0 |
0,2764 |
0,7236 |
|
>>233 |
|
10 |
0,3333 |
0,3333 |
0,3333 |
|
>>123 |
|
|
|
|
|
По этому плану определяются коэффициенты полинома третьего порядка того же вида, что и при реализации обычной симплексной решетки:
у = 2 pi*i+ |
|
2 |
2 |
i u xixi |
—х^ "Ь |
\<1<9 |
1<i<J<Q |
\<i<i<q |
|
|
|
+ |
2 |
$UkXiXjxh. |
|
(VI. 134) |
|
|
l< i< /< * « 7 |
|
|
|
Формулы для расчета коэффициентов полинома получены под становкой координат экспериментальных точек в уравнение регрессии:
Э* =
Vij = б/2(УШ+ Уш + У1 — yj),
VJ = #/ 2 [5 (*/ш — Уш) — У1 + |
уj] , |
(VI. 135) |
Pi/fc = Wytjk — 16/г (УШ+ УШ+ УНк + yikk + yjhh + |
УЦк) + |
6 (c/i + У] + i/fe). |
Проверка адекватности и построение доверительных интервалов
при использовании /)-оптимального |
плана (табл. 83) проводятся |
так же, как и в методе симплексных |
решеток. Зависимость £ от |
сцстава приведена на рис. 72.
При построении полинома четвертого порядка для трехкомпонент
ной системы план будет /)-оптимальным при |
|
|
|
7 |
— 1/2 Г |
XJ ~ 1 |
xi» |
xh — 0* |
|
|
|
» |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
xt = |
0,1727; |
X] = 0,8273; |
*ft = 0. |
(VI. 136) |
Т а б л и ц а |
84. /^-Оптимальный план для |
полинома четвертого порядка |
|
|
в трехкомпонентной системе |
|
Номер опыта |
х |
\ |
*7 |
|
|
У |
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
У\ |
2 |
0 |
|
1 |
|
0 |
У* |
3 |
0 |
|
0 |
|
1 |
уэ |
4 |
0,5 |
|
0,5 |
|
0 |
Ум |
5 |
0,5 |
|
0 |
|
0,5 |
Ум |
6 |
0 |
|
0,5 |
|
0,5 |
У2з |
7 |
0,8273 |
0,1727 |
|
0 |
■Vim |
8 |
0,1727 |
0,8273 |
|
0 |
У1222 |
9 |
0,8273 |
0 |
|
0,1727 |
3*1ИЗ |
10 |
0,1727 |
0 |
|
0,8273 |
|
•У 1333 |
11 |
0 |
|
0,8273 |
|
0,1727 |
У2223 |
12 |
0 |
|
0,1727 |
|
0,8273 |
|
|
-У2333 |
13 |
0,567 |
|
0,2165 |
|
0,2165 |
|
|
3*1123 |
14 |
0,2165 |
0,567 |
|
0,2165 |
|
У 1223 |
15 |
0,2165 |
0,2165 |
|
0,567 |
|
•У1233 |
|
|
|
|
|
|
Кроме того, в D-оптимальном плане четвертого порядка имеются точки с координатами
7— У Т
*l = *J = |
22 |
; |
xh = 1— (xt + x j) , |
|
ИЛИ |
xj = 0,2165; |
= 0,567. |
(VI. 137) |
xi = |
В табл. 84 приведен |
2>оптимальный план четвертого порядка |
для трехкомпонентной системы. |
|
|
|
По этому плану определяются коэффициенты уравнения регрес |
сии вида |
|
|
|
|
1.0 |
|
|
1.0 |
|
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
|
1,0 |
1,0 |
Рис. 72. Изолинии £, для D-оптимального |
Рис. 73. Изолинии £ для D-оптимального |
|
плана третьего порядка |
|
|
плана |
четвертого |
порядка |
|
У = Pl*l + ? 2 * 2 |
+ М з + ? Г 2 * 1 * 2 + Pl3*l*3 + ?23*2*3 + 7l2*l*2 ( * 1 |
“ |
* 2 ) + |
|
+ |
713*1*3 (*1 — *3) + 723*2*3 (*2 — *3) + *12*1*2 (*1 — *2)2 + *13 *1*3 (*1 — |
|
“ |
*3)2 + *23*2*3 (*2— *3)2 + |
Pll23*? *2*3 + |
Pl223*l*^ *3+ ?1233*1*2*3 |
* (VI . 138) |
Формулы для расчета коэффициентов полинома четвертого поряд ка получены подстановкой координат экспериментальных точек в уравнение регрессии:
|
Pi = 0i. |
|
(VI. 139) |
|
?ij = 4уи — 2yt — 2yh |
|
(VI. 140) |
Vi = |
7/в [з ( - Vi + W) + V T T (уm s - |
У и л )\ , |
(VI. 141) |
lU= |
7/e [— з (IH+ Vi) — 8Vi) + 7 (Уин + |
У и н ) ] , |
(VI. 142) |
Viijk = 26,657 yt — 6,167 (yj + yk) — 16,96 (ila + yih) + 0,511yik —
— 32,18 (ymj + Уна,) + 17,196(i/j^ + yihhk) + 3>72 (yj]]k + yjhhh) +
+ 84,11 yiUh - |
23,237 Gn m + vuhh); |
(VI. 143) |
1ф )ф к\ |
i, j, k =1,2,3. |
|
*3*1 |
*3*1 |
|
Рис. 74. Расположение точек в D-оптимальных планах: |
а —второго порядка; б — неполного третьего |
порядка; в — третьего порядка; г — чет |
вертого порядка |
При проверке адекватности |
для |
определения зависимости £ от |
состава можно пользоваться контурной картой (рис. 73). /Юптимальность плана обеспечила отсутствие на этой контурной карте изоли
ний |
£ > 1,0 (см. для сравнения рис. |
62, б для простой симплексной |
решетки). Однако готовить смеси |
с |
содержанием |
компонентов |
0,8273 |
и 0,1727 труднее, чем смеси |
с |
соотношением |
компонентов |
% И 1/4.
Существенным недостатком рассмотренных /)-оптимальных планов третьего и четвертого порядка является отсутствие композиционное™. На рис. 74 показано расположение экспериментальных точек в D- оптимальных планах для трехкомпонентных систем. При необходи мости можно от плана второго порядка или неполного третьего (рис. 74, а, 6) перейти к плану четвертого порядка (рис. 74, г), сохранив свойство /)-оптимальности. При этом точку в центре можно использовать как контрольную. При переходе от плана третьего порядка (рис. 74, в) к плану четвертого приходится или переделы вать опыты, или работать по плану, не обладающему свойством D-оптимальности.
Рис. 75. Область исследования вязкости в системе (NH4)2HP04- К2СО3 - Н2О (а) и план эксперимента (6)
Пример 4. Изучалась зависимость вязкости (у) растворов в системе (NH4)2HPC>4 -
КгСОз - Н20 от состава и температуры. Планирование эксперимента проводилось на локальном участке концентрационного треугольника, ограниченного линией насыщения при 0°С (рис. 75). Локальный участок диаграммы представлял собой треугольник с вер шинами z, (42, 0, 58), z2 (0, 30, 70), z3 (0, 0, 100).
Р е ш е н и е . D-Оптимальный план третьего порядка был составлен относительно псевдокомпонентов z\, z2, zs и по формуле (VI. 120) определено содержание исходных
компонентов в экспериментальных точках. Условия опытов выражены в псевдокомпонен тах zj ив натуральном масштабе (%) (см. табл.).
