книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdfАКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
НАУЧНЫЙ СОНЕТ ПО ПРОБЛЕМЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА II ЭЛЕКТРОНИКА
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
СЕКТОР ЭЛЕКТРОНИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАШИННЫЙ АНАЛИЗ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕЛЕЙ
СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ
KIIEU
.. ИАУКОНА ДУМКА
1078
В сборнике рассматриваются актуальные вопросы анализа нелинейных электрических цепей, создания машинных методов оптимизации их параметров, высокоэффективных специализиро ванных устройств электроники.
Рассчитан на научных и инженерно-технических работни ков, аспирантов и студентов, специализирующихся в области электротехники и электроники.
Редакционная коллегия
Г.Е.Пухов (ответственный редактор), В.В.Васильев (замести тель ответственного редактора), А.Ф.Верлань,- Ф.Б.Гриневич, А,Г.Додонов, М.Н,Кулик, Н.Г.Максимович, О.В.Походэило (за меститель ответственного редактора), В.П,Романцов (ответ ственный секретарь), А.Е.Степанов, И.М.Чиженко
Редакция информационной литературы
30502-54В
Издательство " Наукова думка", 1978
221(04)-78
Г.Е. Пухов
МЕТОД ЛОКАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
• |
I |
В 1912 г. Н,Д.Папалекси предложил метод лрипасовывания, Основанный на последовательном "склеивании* решений дифференциальных уравнений, относящихся к соседним времен ным интервалам, путем использования условий непрерывности соответствующих переменных в местах -перехода от одного участка к другому. Этот метод нашел широкое применение при анализе переходных процессов в сложных нелинейных сис темах. Излагаемый ниже метод может, по-видимому, рассма триваться как дальнейшее развитие метода припасовывания.
Пусть состояние некоторой нелинейной системы описыва ется уравнением
É l |
X(0) = X g O s t * T , |
( 1 ) |
i t |
|
|
где (О, Т ) - отрезок, на котором требуется получить искомую
непрерывную функцию |
х =• x ( t ) непрерывного аргумента t \ |
|
У (X ) - нелинейная функция о т / ; |
-fi = -р( t ) - известная функ |
|
ция аргумента t . |
|
» |
Уравнение ( 1 ) может быть одномерным и многомерным. |
||
В последнем случае считаем, что |
|
|
A,(t> |
|
|
Az ( t ) |
f 2 (t> |
|
Л _ |
, у(Х)- |
|
Т |
|
|
*»< *> |
?*<*> |
Уni 1*1^Уц2^ * " '+У/ш^ |
Уравнение (1 ) составлено так, что описывает состояние систе мы сразу на всем интервале (О, Т ). К описанию состояния системы можно, оДнако, подойти иначе, подразделив промежу ток (О, Т ) на несколько,- например на И равных частей ft когда
и составить вместо уравнения ( 1) N Уравнений вша
—£ г ~ * Vi ( * i ( t V = /у г О |
* 4 H , |
|
|
|||
в которых, |
вследствие |
непрерывности л ( f~> |
функции лу ( f ) |
|||
к * U t ( € ) |
связаны условием |
|
|
|
||
|
Х,-<0У = Х{+1(0 ), |
i ~ 0,1,2 ,..., |
N~1. |
(S ) |
||
Правые, части - ffC t) |
определяются через - f ( t ) |
следующим |
||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
f i < f ? = f ( è H - t - t ) , |
|
( в ) |
|||
|
|
|
||||
Дифференциальные уравнения (4 ) будем далее называть |
||||||
локальными. Локальное |
i -е |
уравнение описывает |
состояние |
|||
системы в интервале |
|
|
|
|
|
|
|
t < а + 1)Н |
i - |
о, 1,2,..., N -/ |
|
(7 ) |
|
|
|
|
||||
Разумеется, локальные уревнеюш можно составлять, подразделяя промежуток (О, Т ) на неравные интервалы, но на этом мы здесь останавливаться не будем.
Математическая модель нелинейной системы в форме ло кальных уравнений (4) более громоздка, чем в форме (1 ). Однако благодаря тому, что сфера действия каждого локально
го уравнения ограничивается |
интервалом |
(О, /У « |
Г ), нелиней |
|
ные члены у ,-(Xj ( t')) |
могут |
выбираться |
более |
простыми по |
сравнению с функцией |
у (XI |
или даже быть линеаризированы, |
||
В последнем случае вместо одного нелинейного дифференци ального уравнения (1 ) состояние объекта описывается систе мой локальных линейных дифференциальных уравнений с посто янными коэффициентами.
Ниже рассмотрены некоторые вопросы составления и ре шения локальных дифференциальных уравнений, причем при сот ставлентг их использован метод скользящей (непрерывной)
аппроксимации нелинейных функций [ А ] , а при решении - метод 1ейлоровских преобразований [1 - 3/.
Напомним один из вариантов скользящей аппроксимации нелинейных функций /"4J.
Пусть имеется некоторая нелинейная функция ÿ = ff(x > Предположим, что эта функция может быть разложена в сте пенной ряд Тейлора в окрестности точки х ~ Л В этом слу чае
f { * } |
( £ т К = л ( х - л ^ - |
( 8) |
".*■ j j - |
(-jfJ Ç ) х „ л ( х - Я ) * |
|
Ряд, стоящий справа, может рассматриваться как функ!шя Z(Xlf)
двух переменных |
х |
и |
А |
Обрывая его на каком-либо |
члене, |
||||||
напишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к~т |
|
|
д . |
<х-я>*=2 аАгя)х\ |
(в) |
|||||
*r»,x>-Z |
JJ- |
(~ г) |
|||||||||
|
А*а |
Л/ |
1 д х н 'х= л |
|
к=0 |
|
|
|
|||
где коэффициенты |
Ок ( А ) |
— зависят только от |
аргумента |
А . |
|||||||
В частности, если в разложении (8) |
ограничиться |
только |
|||||||||
линейными членами, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z ( A i X ) = a Q ( f i ) * af < ю х , |
|
|
(Ю ) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«о |
|
|
|
|
В4 ; |
ctt W = * |
|
|
(11) |
||
При удержании в |
(8) |
членов до второй степени |
включительно |
||||||||
где |
Х ( А , Х ) = а 0 ( Л ') г а ,с А ) х - г а 2( А ) х 2, |
(12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 (л > = # ( |
~ A a f ( À ? - A 2az ( A ) ; |
|
|
|||||||
|
‘, 1г л ) ~ ( - д т ) х * » ' гя ' « г 1Л>> |
|
|
|
|||||||
|
аг ( Ю ~ т ( - Ъ ? ) * - я |
|
|
(1 3 ) |
|||||||
Функция z ( Л , х ) |
аппроксимирует. у(Х? в |
некотором интерва |
|||||||||
ле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А -fi <X (èfO$x(t?xx(iff+tt)<A |
|
( 14) |
||||||||
с точностью, |
определяемой |
выбором |
постоянной |
h > 0 и чис |
|||||||
лом членов |
ак СА? • |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переменная |
А |
Может рассматриваться как параметр, |
|||||||||
определяющий область |
аппроксимации |
(J |
/значение которого |
||||||||
лежит в границах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( i / t ) * A < X ( i H + ! t ) . |
|
|
(15) |
||||||
При выполнении условия |
|
|
|
|
|
|
|
||||
/X (ètf + t t ) - X ( è f f ) / < Л ,
5
погрешность скользящей аппроксимации нелинейной функции
jf(X > , равная |
|
|
£ ** Z (A , X? ~у (X? , Л |
<Л < А •*•/!, |
(17) |
лежит в допустимых пределах.
Котда получение аналитических выражений для производ ных " / у У " вызывает затруднения, коэффициенты ( Ю могут быть получены в результате непосредственной аппрокси мации у ( X } в интервале ( А ~ А , А 1‘/!У соответствующим сте пенным многочленом.
Очень простым является метод двойной аппроксимации, при котором заданная нелинейная функция у = у ( Х ? аппрокси мируется сначала какой-либо кусочно-линейной функцией, а за тем последняя заменяется непрерывно-линейной функцией
X (А, X ) вида
Z ( A fX ) ш а ( А ) Х + Ù ( A ) , d e )
•где а ( А ) и Ь(Я/) - некоторые постоянные, которые при пере ходе от одного участка к другому изменяются скачком. Ана литическая запись их возможна при помощи единичной функг
ции |
<х > 0 , |
|
|
f l , |
(19) |
||
{о , |
а < Û |
||
|
Так, например, для функции у (X ). • |
график которой изобра |
|
жен на рисунке, справедливы выражения |
||
а(Л? = |
[ 7 ~ f t A ~Xj ?- ô ( - f t - X j ) ] = |
|
0, -XJ>S>XJ ,
|
jlf г л |
> x 11 |
|
( 20) |
|
Ь(А) [â (\ -/j ) |
- X j ) ] = 0 , |
- x , |
< л < X j, |
|
|
|
|
||||
|
-ÿr |
л < - х г |
|
|
|
Рассмотрим решение системы локальных дифференциаль |
|||||
ных уравнений |
|
|
|
|
|
|
X p = : f t- ( 0 |
, * |
- 0 |
. |
(21> |
Ограничиваясь, только для определенности, функцией вида |
|
||||
z ( А , х ) - а 0(Л>) -г а} (Лг)х +аг сп,)х z, |
|
(22) |
|||
запишем |
|
|
|
|
|
+ ai (*é >*i (?>+аг ( * i |
- f i t O |
- f / t y l 23) |
|||
Данные уравнения можно решить различными численными мето дами, используя при переходе от одного уравнения .к следую
щему условие |
непрерывности функций х j ( X ) • |
а именно: |
|||||
XJ |
i f f |
(О). Применяя метод тейлоровских преобразований |
|||||
[\ - 37, перейдем от (23) |
к |
Т -изображениям |
|
|
|||
к +1 |
|
|
|
а=* |
|
|
|
~Jj~X/{k+D+at щ ?Xj(k)ta£(fy) 2 ХуеЯук-е^м-ауцотКС 2 * ) |
|||||||
где |
|
|
|
е=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f t , |
* = 0 , |
(25) |
// ( к ) = X; ( € ) , Fi ( к ) х f f.( О , |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
~ { û Tk ï f f . |
|
|
Функция 9 ( A ) |
называется тедой (тейлоровской единицей). |
||||||
Параметр |
Ду |
примем равным |
|
|
|
||
|
|
Aj - X,-(Û)= Xj (О). |
|
(20) |
|||
Переход от |
( О ) к X i +1 (О ) |
осуществляем посредством выра |
|||||
жений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi t f ( 0 |
) - Z X , ( k ) ; |
|
(27) |
||
|
|
|
|
k*=0 |
* |
|
|
|
|
Х , , ( 0 ) |
= 2 ( - / |
) % ( * ? , |
|
(28) |
|
|
|
11 |
k-0 |
1 |
|
|
|
из которых второе служит для контроля точности решения. |
|||||||
Дискреты |
Xj |
( к ) , входящие в последние две формулы, опре |
|||||
деляются |
с помощью рекуррентных |
Т -уравнений (24). |
|
||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
Положив а2( ь ' ) - 0 , будем иметь случай линейных ло кальных дифференциальных уравнений, с постоянными коэффици
ентами, когда нелинейная функция |
z (Л , X) |
при любом А/ |
заменяется эквивалентной прямой. |
|
|
Правильность выбора величины шш'а // контролируется |
||
неравенством |
|
|
I |
X |
(29) |
получаемом из (16), так как
х . ( 0> = Xt ( 0 ) и Xi H ( О) « Xi f j ( О ) .
Есть основание предполагать, что при достаточно малой величине Н можно получать более точные результаты, прини мая параметр Xj равным среднему арифметическому между
Х г(0 ) и Х£ j (О ), т.е.
. д |
а |
? |
, |
(30, |
но тогда процесс получения дискрет |
х C ih ) « /Г#-( 0 ) = ( О |
) ис |
||
комой функции изложенным методом |
будет итерационным. |
|
||
Проиллюстрируем предлагаемый метод решения нелиней ных дифференциальных уравнений, следующим простым уравне нием:
|
+ X 3( t ) = 0 , |
O |
s t s l , x c û ) = 1 , |
(31) |
|
|
Я Г |
|
|
|
|
имеющим точное решение |
|
|
|
|
|
|
Х ( 0 ) |
|
|
(32) |
|
|
X ( t ) ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V t + 2 t x ( 0)' |
|
|
||
Выбирая шаг |
—0,1 и определяя по формуле (31) дискреты |
||||
= X ( i t i ) , |
получаем значения, |
приведенные в первой графе |
|||
таблицы. |
|
|
|
|
|
Значения |
приведенные |
во второй графе, вычислены |
|||
по формуле |
ГУ* |
|
- z hxi |
|
|
|
|
|
|||
|
_ * t |
|
(33) |
||
|
( 2 +â |
) , |
|||
|
x i t 1 - |
|
|
|
|
цолуценной в результате точного решения линеаризированного локального уравнения
dXé( X )
-t- Ctj (ftj )X j(£ ? — ~Q0 ( f t j ) ,
d é
В котором
0 |
1,000000 |
1,000000 |
1,000000 |
|
|
||
1 |
0,912871 |
0,913606 |
0,912844 |
|
Примечание. |
||
2 |
0,845154 |
0,846147 |
0,845122 |
|
|||
3 |
0,790569 |
0,791630 |
0,790537 |
Вычисления выполня |
|||
4 |
0,745356 |
0,746405 |
0,745326 |
лись |
на-калькуляторе |
||
5 |
0,707107 |
0,708111 |
0,707080 |
типа |
" Электроника1' |
||
6 |
0,6742 |
0 |
0,675146 |
0,674175 |
|
|
|
7 |
0,645497 |
0,646383 |
0,645475 |
|
|
||
8 |
0,620174 |
0,621000 |
0,620153 |
|
|
||
9 |
0,597614 |
0,598385 |
0,597596 |
|
|
||
10 |
0,577350 |
0,578070 |
0,577333 |
|
|
||
|
а, (А ; ) |
« |
За - |
а0 (Ai ) = - 2 |
A . |
. |
|
Наконец, в третьей графе таблицы указаны значения дискрет X£ , полученных в результате решения локальных уравнений
d ï |
< * i |
( f ) + a 2 ( A f ) f f ( O = - d 0 (A/j) |
(34) |
|
|||
|
|
|
|
с помощью тейлоровских преобразований. |
|
||
Коэффициенты |
aj(S') определены по формулам (13) при |
||
у ( А ) 1* А 3 и имеют вид
аа ( Л ) = л 3;
и2
|
|
(Г ;(А ) = - З л |
; |
|
|
|
|
а , ( А ) = З а . |
|
0 |
(35) |
Параметр а |
как и выше, выбирался равным |
-ХМ ). |
|||
Дискреты |
X • (П) |
Т -функции определены по формуле |
|||
|
[ x U |
o ) ’S i / , ) t 3 l |
Xi ( s ) X i ( k - S ) ] , |
(35) |
|
A + f |
|
е>1 |
|
|
|
полученной в результате перехода в дифференциальном уравне нии-(34) к Т -изображениям.
Приведем полный расчет для первого интервала, когда
0 < t * Ц = 0,1. |
& |
Полагая в |
(J6) / с 0 и учитывая, что Л ^ (0 )= 1 , опреде- |
ляем дискреты |
Ag ( А)~ по формуле |
Xt c |
0,1 |
““ |
V |
(37) |
|
I Я i Æ J T LJ XL* |
Х„(е>Х0(*-е)), |
||
|
|
Л f fi J л ^ |
|
что дает |
^ |
& |
& |
%0 ( 0 ) = 1 ; |
Хд ( /> = < О, î ; |
Хд ( 2 ) - О,015; Х0 ( 3 ) — 0,0025; |
|
Х0 (4 ) - 0 ,0004125; Х0 (5 ) = - о, 00005825. Сумма этих величин равна
/,= 8,(0/= 0,912844.
Во втором -интервале вычисления выполняются по формулам
Xt ( A + f ) - - |
0,00/2644 |
[0,9/28442W ) i- J J |
X7(â )% (/ (-e )]; (38) |
|
AiL/ |
||||
|
X.(0)=2 |
Xf (h) |
(39) |
|
|
* |
A=0 |
' |
|
причем точность вычислений проверяется по уравнению
X {0)=2 (-/)*/,(А), |
(40) |
|
Л=0
Аналогично проводятся' вычисления во всех последующих ин тервалах.
В'Суммах типа (39) учитывались лишь первые пять чле нов. Несмотря на это, результаты оказались более точными по отношению к случаю непрерывной линеаризации.
Метод локальных дифференциальных уравнений легко рас пространяется на случай, когда кроме нелинейных членов в решаемых уравнениях имеются члены с переменными коэффи циентами. Так, например, если исходные дифференциальные уравнения имеют вид
+sx+.y(x> = f , |
<41) |
||
где X, у , f представлены |
в форме (2 ), |
а |
|
S „ ( t > |
|
4 » <*> |
|
|
|
||
Sa |
(t> |
|
(42) |
1 |
|
3zn <*> |
|
s ~ S (t )= |
|
|
|
II |
|
|
|
S„2 ( t ) |
s „n ,t> |
|
— матрица непрерывных переменных коэффициентов, то соответ^- ствующие локальные уравнения примут вид