книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdfВ.Г.Васильев, А.М.Филоненко
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Впроцессе работы нелинейных дискретных систем возни кают различные случайные возмущения. Предлагаемая работа посвящена исследованию случайных процессов, в нелинейных дискретных системах. Операторные методы функционального анализа, разработанные для определения статистических харак теристик нелинейных непрерывных систем /ТJ , распространя ются и на нелинейные дискретные системы.
Вкачестве математической модели, связывающей вход и выход нелинейной дискретной системы, рассматривается диск ретный ряд Волыгерра
у [ п ] = к.0 + 2 * f £т ] х [ п |
- т ] + 2 |
Ï |
к2[т ,,т 2] * |
|
т— ° |
|
аг -г |
тг=— |
* |
|
оа |
оо |
•* |
|
* х [ n - m p x i n - т2] + : * + |
2 |
2 |
... I |
* |
|
|
|
|
1 }г 2 |
* х [ n - ïïlj] X [tî-JTt2] |
[ п |
- f i l j j . |
|
|
Систему можнб охарактеризовать решетчатым весовым функционалом [ 2 ]
|
* <х£flttJа £т2 |
] ... а [ т р , |
где Aj [/Ilf, fff2,..., М}J |
- дискретный аналог ядер Вольтерра; |
|
а £ Ш р |
- решетчатая функция ( комплексноэначная в общем |
|
случае). |
|
|
Исследуем систему при подаче на вход нормального бе лого сигнала с нулевым средним и спектральной плотностью, равной G z Математическое ожидание М { у £ П ] } выходно го стенала нелинейной дискретной системы определится ана логично тому, как это сделано для нелинейных непрерывных
систем f U |
91 |
2 <**£т ]
262 П -~ = г |
O ) |
G Y T
где К foc J - весовой решетчатый функционал рассматривае мой системы.
Докажем этб утверждение для четномерных ядер, так как
для нечетномерных решетчатых ядер интеграл (3 ) равен ну лю [ 3/
|
* Произведем разложение ядер |
|
|
и функций |
|||||||
& f f f ljj |
ло ортонормированиям базисным функциям |
S ^ f^ j f |
|||||||||
k( fmv m2, |
|
=Pf?р2,...,ре рс’Рг>'>РеePr[jni]e Pz |
% Стр, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=2n |
(n=0,1,2,...)^ (4) |
|
|
|
|
<*£niff] ~ 2 |
otpâp f |
mk ] , |
|
|
||||
где |
kpf t p2 t ...,pe , |
<*p |
• - |
коэффициенты разложения по орто- |
|||||||
нормировацному базису. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим функционал |
|
|
|
|
||||||
К[а ] |
|
2 ...2 kj [т1Уя2,..,т:]сс[т.]<х[т7]... afpj.j* |
|||||||||
|
|
■ '*"2 |
|
9 |
* |
|
* |
|
* |
* J |
|
* * |
2 2... 2 |
2 |
kn _ |
„ e.fniji* |
|
|
|||||
|
*1 « г |
« i PVP2,~P/t,Pl’ ""Pe Pl |
|
|
|
|
|||||
*sP l [w 2] |
...sPe[m ^ 2 |
|
<*P;/ . X |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
PitPir-tPe |
|
|
|
|
||
|
— ocp^ 6p ' [P if ]0pr [ м21 ••• Ppg £ P*I J j, |
|
(5 ) |
||||||||
|
|
|
|||||||||
воспользовавшись соотношением |
2 |
f m ] e .• [ 1П] ~ d - • |
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
* |
|
J |
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в) |
Тегда интеграл |
(3 ) |
можно записать в виде |
|
||||||||
I *lim Л |
1Ш |
-L . |
Г |
2 |
Ар, а |
п * |
|
||||
|
|
с |
о-*** |
|
Jpj,p2r |
* h |
! 'Р г |
? * ' |
|
||
|
|
|
|
|
:i 2 |
± |
|
d'ocp |
|
(7 ) |
|
|
‘ * А |
|
|
|
* * * |
б ] [ г |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Воспользуемся табличными интегралами ori
Ja2e 2GZ |
|
da |
= G2 U , |
|
G V F |
||||
a A |
dot |
|
|
|
J e * * * |
= |
tfT. |
||
|
||||
G VF
Подынтегральная сумма (7 ) отлична от нуля для членов с по парно одинаковыми индексами при всевозможных разбиениях их по парам. В .результате
1е = б * Z kPiPiPtPZ ~'PnPn |
(9 ) |
Количество членов результирующей суммы при е~ **° |
равно |
[S S tjV [SJ- Например, для системы, описываемой рядом Йольтерра ( 1 ), математическое ожидание выходного сигнала
М/у [п]} - |
к0 +б22 к,[т,т] + |
|||
|
■ |
If! |
& |
|
+ G * 2 2 f |
1 |
' |
* |
+ |
Btf Ж/ ' |
£ |
|||
+ k4 [m v m2 , m/rm2] |
+ |
( 10) |
||
/ > ,, m2 , m2 , n tf]}* ... |
||||
Этот результат получен известным методом [ Ъ ] . |
||||
Математическое ожидание выходного сигнала системы, описываемой дискретным рядом Вольтерра (1 ), запишется в
виде |
|
— |
м { у (п ]} = |
kg г. 2 kf £m] M /Jtf п -т ]} + |
|
|
|
f i я ; - с * |
Ç |
« |
(11) |
2 м |
|
2 mt , m2] M f x [ n - n tjjx C n -m 2] } / ... |
Используем свойство совокупности нормальных случайных ве личин, имеющих нулевые средниё
M fX f Х2 - X „ J - 0 , |
п |
- |
нечетное; |
|
M{XjXz ...xffJ ~ 2 П Rjk Rejn ... Rçr , |
п |
- |
четное, |
(12) |
гвв *C*j -i”Hl=Kjk - м /xjx,}.
Суммирование производится по всем разбиениям величин
Л/ , х 2 •• чХп |
на различные пары, а произведение, выполняет |
ся для всех пар в каждом разбиении. Общее число членов |
|
суммы равно |
———------ |
Используя (12), вычисляем отдельные слагаемые суммы ( П ) . учитывая, что все члены нечетных степеней обратятся в нуль. Рассмотрим слагаемое
М4 “ 2 |
2 2 2 |
* 4 f a , , т2 ,Я13,т4] щ х [ п |
~ т ,]- * £ л - т4]} = |
||
Ду |
Jffj Jiïjf |
Л |
1 |
|
J |
~ 2 2 2 2 к4 г |
|
»^ 4jf/?£^/fi2-~fnjjR £ ш4 ~ |
~~ |
||
+R fa i - |
tBjlRlm4-m2] TR £m4-nijJR[ |
-mzJ} • |
^ 1 3 ' |
||
Так как в нашем случае |
|
|
|
||
R [ mi |
|
» |
? ° М4 = 2 2 |
1 k4 f n Jtm1t mZ}mz] i - |
|
+ к 4 f |
tnJ 7m2 ,m } , т2] |
+ к4 £ щ ,т2,т2 , mt ] } . |
|
||
Проделав подобные преобразования для членов суммы (11) бо лее высокого порядка, получаем результат, совпадающий с ре зультатом (10), полученным предложенным нами метолом.
Решетчатый весовой функционал параллельного |
(мульти |
|
пликативного) 'соединения |
нелинейных дискретных систем £ 2] |
|
имеет вид |
|
|
L f « ] |
= R£<*Jf/f<x], |
(14) |
где »([& ] , И£(Х] - решетчатые весовые функционалы исходных систем.
Аналогично £ 1J, математическое ожидание произведения выходных сигналов при одном и том же входном выражается формулой
2 а г[т ]
т
м{)[*]}=/К [а]И [а]е 2в2 П |
da |
(is) |
■ в № |
|
|
|
|
Автокорреляционная функция выходного сигнала имеет выраже
ние
e
|
г а |
£ т ,] |
|
|
|
Iff |
|
d a |
|
f К[ а ] К[а, nie- |
|
|
||
|
|
|
(16) |
|
K [ a , n J = 2 22 -2 k j f m , - n , |
nt, |
- n , |
||
' i ntjaz |
* |
1 |
2 |
• |
v » mi - n J 'a £ m1]a £ m 2] ... a £ щ ]
- модифицированный решётчатый весовой функционал.
Полученные формулы являются обобщением соответствую щих формул для линейных дискретных систем /4 ].
1.Васильев В.Г. Применение методов функционального анали за для определения статистических характеристик нелиней ных непрерывных систем. - Настоящий сборник, с. 1"1—14.
2.Васильев В,Г,, Филоненко А.М. Операторный метод анализа нелинейных дискретных стационарных систем. - Электрони ка и моделирование, 1975, вып:.8, с. 3 - 4.
3.Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов.- М.: Сов.радио, 1965. - 206 с.
4.Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. - М.: Наука, 1973. - 416 с.
УДК 621.391.81
Н.Л.Теплое, В.Д.Бабич
ОНЕОБХОДИМОЙ ЗОНЕ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ВПРИЕМНИКАХ С ОБЕЛЯЮЩИМ ФИЛЬТРОМ
Введение. Схема оптимального приема дискретных сигна лов на фоне небелого стационарного шума обычно [ \ ] пред ставляется в виде последовательного соединения обеляющего фильтра и решающей схемы (P C ), осуществляющей регистра цию сигналов на фоне белого шума с минимальной вероятно
стью ошибки (рис. |
1, где A ( t ) t 3 ( f ) - сигнал и помеха на |
входе приемника; |
A f( t ) , f f ' ( t ) - сигнал и помеха (белый |
шум) на выходе обеляющего филь/гра). |
|
Для синтеза |
обеляющего фильтра необходимо строго ис |
пользовать априорную информацию о структуре процесса В ( t ) на всем интервале 0 4 tç o o его существования. В статье оце нивается погрешность обработки принимаемых колебаний (сиг нал-t-помеха), обусловленная конечным значением зоны обра
ботки |
B -T F I если Т |
9 Тс |
(длительность интервала наблюде |
|
ния) |
и F = F C (эффв! |
ивная ширина спектра сигнала).. |
|
|
|
Количественна погрешность измеряется параметром |
|
||
|
|
Г ( В |
) - # |
( 1 ) |
|
|
|
||
Здесь А * и hп - превышение сигнала над помехой на входе
мм>*итг |
Обеляющий А п |
PC |
|
|
|
(рилшр |
Bl(t) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. |
|
|
|
решающей схемы приемника |
(рис. |
1) при ограниченной й неог |
||
раниченной ( В -* 00 |
) зоне |
обработки. |
|
|
В качестве модели помехи используется аддитивная смесь |
||||
белого шума с удельной интенсивностью |
и стационарного |
|||
нормальнофпуктуационного |
процесса с прямоугольной формой |
|||
энергетического спектра |
|
|
|
|
|
, п 2 |
' |
Ffi |
Fm |
|
|
Fp - |
2 |
(2 ) |
|
1 0 - |
на остальных частотах, |
||
где F fi - щирина спектра сосредоточенной |
(по спектру) поме |
|||
хи. Следовательно, энергетический спектр и функция автокор реляции рассматриваемой помехи имеют вид
|
|
|
|
G2(f> = ?*+?2( f ) |
(3 ) |
||
И |
|
|
P (f) = |
|
Рд â d ) 1- <>( i ) , |
|
|
|
|
|
J |
(4 ) |
|||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
co$ 24,f0 t |
(5 ) |
- функция автокорреляции сосредоточенной помехи. |
|
||||||
|
Анализ проводится для широкополосного псевдослучайно |
||||||
го фазоманипулированиого сигнала с энергетическим спект |
|||||||
ром Г 'б ] |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S*(f). |
|
|
(6) |
|
|
|
|
т |
№ |
2 |
|
|
где |
F |
- |
энергия сигнала; |
(У- TG FQ - основание |
сигнала; |
||
Тс |
и |
Fç |
- длительность и эффективная ширина спектра сиг |
||||
нала; |
F |
- длительность элементарного сигнала в фазоманипу— |
|||||
лированной последовательности при |
Fc —^ |
|
|||||
|
Превышение сигнала |
над помехой на выходе идеального |
|||||
приемника с . неограниченной зоной обработки принимаемых |
|||||||
колебаний определяется |
известным соотношением [ 2 J |
||||||
|
|
|
|
|
26 |
|
|
Аг
t a e 2Т
которое с учетом |
(2) „ |
Gzi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
^ |
|
( 3') |
«mceiимеет- |
|
ЦПивид |
|
|
j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8) |
|
5 W |
Y |
|
S W ' |
^ |
^ |
V |
|
7 |
i r |
* W |
J |
‘ |
|
|
|
# */ / • |
|
|
|
^ i - £ 0 |
|
|
|
|||||
Преобразуем формулу (g\ |
* |
|
|
|
|
To Z 9 |
|
|
|
|||||
|
|
' |
следующим образом: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8) |
г д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< И Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(f)cff |
|
|
|
|
|
|
|||
!- доля энергии сигнала в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
средогоченной помехой. |
У “°ТКе его |
е" ектра’ |
,юраже" “ °м °°- |
|||||||||||
Формулу |
(8) |
перепишем и виде |
|
|
|
|
|
|
||||||
* Г ^ " / ( 7 7 7 |
- 0 |
] - ^ |
|
|
|
|
<»> |
|||||||
Здесь Q |
2 |
- превышение |
сигнала над белым шумом |
|||||||||||
в идеальном приемнике при отсутствии сосредоточенной поме—
■0 1 )
С учетом |
(6 ) |
|
f |
а |
1 ж Т |
-£ |
/ |
|
|
|
с № J, c C - t f f - M Ï j r ' t f - |
|||
|
|
fo~2 |
|
|
Вводя переменную |
X * & ( ? |
и обозначая |
||
имеем |
|
|
|
F ~ |
|
|
|
rfl |
|
tr * t |
J |
X2 |
S |
X* |
Используя ( 11 ) i получим ^
fi
2ff
г |
7 |
7 2 f |
sin2x |
, |
- ' - [ |
’ - I T |
v l ï J |
— |
**■ |
Формулу (13) представим в виде |
|
|
||
/ |
/ 2 |
f2 sin2х |
(И) |
А |
И J х 2 |
|
|
где |
|
0 |
|
е 2 F |
|
Рп_ |
|
г Л _ |
|
||
г - •л1 F |
|
Put |
|
у0 ГС |
|
|
|
- отношение средних мощностей сосредоточенной помехи и бело го шума в границах спектра сигнала.
П р и м е р . Если |
£ = |
|
f 0,99 при |
р = 100, |
|
0,9 |
при |
р = 10. |
Приведенные значения показывают, что в рассмотренном примере действие оптимального приемника сводится к практи чески полному стиранию участка спектра сигнйла, пораженно го помехой*.
Сравним помехоустойчивость идеального приемника и при емника на согласованном фильтре (идеального для белого шума).
Превышение сигнала над помехой на выходе согласован ного фильтра при воздействии суммы белого шума и сосредо
точенной помехи |
с энергетическим |
спектром /"3 J определяет |
|||||
ся по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■=2 |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тс |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
I |
|
|
-Гг’Щ |
|
где |
а |
= |
|
|
|
|
|
Подставляя X ~ d ( f ~ f 0) i |
, имеем |
||||||
|
„ |
_ |
о |
*/2Р • |
2 |
|
|
|
2 |
Г |
sin х |
</х- |
|||
|
“ ~ Â |
J |
- р |
- |
|||
------- Я-----------
Все приведенные в статье численные значения и зави симости рассчитаны на ЭВМ Минск-32 .
•ар |
с * |
I+«др |
|
|
! + а - 4 - |
|
|
|
о |
2 |
2 |
В результате расчетов значений |
ftçqj/Q |
по формуле |
|
(1в) установлено, что действие на согласованный фильтр со средоточенной помехи с полосой частот Fff^ F g практически эквивалентно увеличению интенсивности белого шума в полосе
частот сигнала |
F* в g |
раз |
(таблица). |
|
|
|
р |
1° |
|
100 |
1 0 00 |
|
|
|
|||
|
|
l ,15’ 10wl |
1,28‘ Ю- 1 |
1,29*10” 3 |
|
2 |
|
9,70- 10’-2 |
1,06- 10-2 |
1.07- 10-3 |
|
5 |
|
9, 10- 10--2 |
•1,00- iO” 2 |
1,00*10-3 |
|
10 |
|
9, 10- 10"-2 |
9,90- 10_3 |
1,00- 10“ 2 |
|
20 |
|
9,10- 10’-2 |
9,90- 10_ " |
1,00- 10“ 3 |
|
50 |
|
9, 10- 10’ |
-п2 |
9,90- К Г 3 |
1,00- 10“ 3 |
100 |
|
|
-2 |
9,90- 10” 3 |
1,00- 10“ 3 |
|
9, 10- 10" |
||||
Достоверность расчетов легко показать на примере сиг нала с прямоугольной формой спектра шириной Fg .
Э самом деле, действие сосредоточенной помехи на фильтр, согласованный с сигналом, имеющим прямоугольную форму спектра шириной Fc , эквивалентно увеличению интенсивности VQ белого шума на величину
О с |
ло |
'V
Интенсивность эквивалентного (общего) шума при этом будет равна
2 . 2 . п2 Fn _
+ G:
Fc
а превышение сигнала над помехой на выходе согласованного фильтра
г |
|
(17) |
* , |
v c r + v |
|
при £>■> 1 и h |
j f |
» что и требовалось показать. |
Сравнение по пс&шхоустойчивости. идеального приемника с приемником на согласованном фильтре может быть произве
дено также на примере сигнала с прямоугольной формой спектра.
29
Г Г |
л / |
2 |
в идеальном приемнике практически пол |
.При |
Q0 » |
УQ |
ностью стираются участки спектра сигнала, пораженные поме хой, и
|
|
|
е ч - р |
(18) |
|
|
|
у>г |
|
|
|
|
у0 |
|
Используя отношения |
(18) и (17), |
получаем |
||
|
|
|
'CÇ2 |
4 1 9 ) |
|
% » \ |
|
|
|
а при |
(практически |
наиболее интересном и важном слу |
||
чае) |
|
|
|
|
|
|
|
- у |
Л»- |
при р |
» 1 |
(сильно сосредоточенной помехи) |
||
|
|
Г ( |
% |
(2 °) |
Таким образом, превышение сигнала над помехой на вы ходе обеляющего фильтра идеального приемника для рассмотрен ных. условий в ^ раз выше, чем на выходе согласованного фильтра!
Превышение сигнала над помехой, на выходе оптимально го приемника с ограниченной зоной обработки. Энергетический спектр сосредоточенной помехи, записанный формулой (2), со ответствует неограниченной во времени функции автокорреля ции (5 ).
При наблюдении, процесса B (t)K & ограниченном отрезке времени Т функция автокорреляции и энергетический спектр
ограниченного во времени процесса |
B ( t )-, 0 4 |
Т » опреде |
||
ляются формулами |
|
|
|
|
<pT ( t ) |
^ ( / ~ ~ ) |
'?(*> |
• 0 * / t t * T |
(21) |
у * ( f ? = |
4 f ( 1- ~ ) |
<p(i)C0s 2d ftd { . |
(22) |
|
‘о
Подставляя (5) в формулу (22), получаем
f f a t - s e i r , / ( ! - $ ) |
<»> |
|
|
О |
' я |
Произведя, замену переменной |
и обозначая |
|
имеем |
t |
|
vr 4 }m /^ [ / |
" У ™ 2 |