книги / Линейная алгебра

УДК 512.64(075.8) ББК 22.143 Ш37

Федеральная программа книгоиздания России

Р е ц е н з е н т ы :

доктор технических наук, профессор П.П. Бочаров; доктор физико-математических наук, профессор Х.Д. Икрамов\ доктор физико-математических наук, профессор А.Р. Абдуллаев;

доктор физико-математических наук профессор П.В. Трусов\ доктор педагогических наук, профессор Ю.Ф. Фоминых

Шевцов Г.С.

Ш37 Линейная алгебра: Учеб, пособие. — 2-е изд. исп. и доп. — М.: Гардарики, 1999. — 360 с.

ISBN 5-8297-0013-1 (в пер.)

Приведены методические разъяснения и даны практические советы к ре­ шению задач по основным разделам линейной алгебры. Значительное внима­ ние уделено построению часто встречающихся в вычислительной практике мультипликативных разложений матриц, обращению прямоугольных матриц, решению систем линейных уравнений обычными и итерационными методами, а также по методу наименьших квадратов, практическому применению сим­ метрических (эрмитовых) и ортогональных (унитарных) преобразований, и т.п.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «эконо­ мика», «экономическая кибернетика», «инженерная технология», «информа­ тика», «физика», «математика», «прикладная математика» и др., а также для специалистов, применяющих в своей практической деятельности идеи и мето­ ды линейной алгебры.

Воформлении переплета использован фрагмент картины

К.Малевича «Красная конница» (1928 -1932)

Оглавление

Глава 10. Элементы n-мерной аналитической геометрииЗЗО

Предисловие

Линейная алгебра занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков, инженеров, экономистов и многих других спе­ циалистов. Опыт преподавания этой дисциплины показывает, что у студентов возникает много затруднений при изучении этого предмета

иособенно при выполнении ими лабораторных и практических зада­ ний. Этим можно объяснить тот факт, что первое издание пособия (Пермь: Пермский гос. ун-т, 1996) быстро разошлось и успешно ис­ пользуется в учебном процессе во многих вузах.

Предлагаемое учебное пособие посвящено практическим вопросам линейной алгебры. Оно обобщает многолетний опыт работы автора со студентами, обучающимися по специальностям «экономическая ки­ бернетика», «математическое моделирование экономических процес­ сов», «информатика», «математика», «физика», «механика».

Цель пособия — оказать помощь студентам в выполнении лабора­ торных работ и практических заданий, помочь им глубже усвоить идеи

иметоды предмета, паказать их важность для решения прикладных задач, которые встречаются при анализе больших массивов информа­ ции в экономике, социологии, техническом мониторинге и других ис­ следованиях. В пособии приводятся методические разъяснения и да­ ются практические советы по решению задач всех основных разделов линейной алгебры.

Значительное внимание уделено практическому применению ор­ тогональных (унитарных) преобразований, построению часто встре­ чающихся в вычислительной практике разложений матриц, обраще­ нию прямоугольных матриц, функциям от матриц, квадратичным формам, решению систем линейных уравнений обычными методами, итерационными методами и по методу наименьших квадратов, реше­ нию полной и частичной проблем собственных значений и собственных векторов, элементам n-мерной геометрии. Обсуждаемые вопросы, по­ нятия и методы поясняются на многочисленных примерах с подроб­ ными решениями; при этом показывается как применять эти методы

на практике. Так, при обсуждении канонического разложения матри­ цы отмечается целесообразность его применения при вычислении сте­ пеней и корней из матрицы, что широко используется, например, в теории вероятностей и математической статистике, даются рекомен­ дации к решению систем линейных уравнений с матрицей, представ­ ленной каноническим разложением. При рассмотрении сингулярного разложения матрицы указывается на возможность его применения для конструирования псевдообратной матрицы, для отыскания псев­ дорешений и устойчивого решения системы линейных уравнений, для проведения сингулярного анализа при построении математических моделей. При изучении ортогональных преобразований подчеркива­ ется их важность для многих вычислительных методов, в частности для метода вращений и QR-алгоритма. Выяснение сущности изучае­ мых методов сопровождается рассмотрением примеров с подробными решениями «вручную», что позволит студентам лучше усвоить алго­ ритмы изучаемых методов. Это может оказаться весьма полезным при реализации вычислительных методов на ЭВМ, так как пользователь программного обеспечения, знающий эти алгоритмы, быстрее выявит причины сбоев.

Описанный подход использован при рассмотрении всех основных разделов линейной алгебры, изучаемых в вузе. В конце глав приводят­ ся упражнения для самостоятельной работы. Некоторые упражнения заимствованы из распространенных в настоящее время задачников Х.Д. Икрамова, И.В. Проскурякова, Д.К. Фаддеева и И.С. Соминского.

Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам доктору физико-математических наук, профессору А.Р. Абдуллаеву, доктору технических наук, профессору П.ПБочарову, доктору физико-мате­ матических наук, профессору Х.Д. Икрамову, доктору физико-мате­ матических наук, профессору П.В. Трусову, доктору педагогических наук, профессору Ю.Ф. Фоминых за критические замечания, которые в значительной степени способствовали улучшению пособия.

Автор благодарит также своих коллег и студентов, оказвших по­ мощь в подготовке книги к изданию.

Глава 1

Первоначальные сведения

1.1.М етод последовательного исключения неизвестны х (м етод Гаусса)

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную та­ блицу

называемую матрицей системы . Первый индекс у коэффициента a,ij означает номер уравнения, второй - номер неизвестного, при ко­ тором стоит этот коэффициент. Коэффициенты 6i, &2>..., Ьт называ­ ются свободны м и членами уравнений системы . Если свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае —неоднородной . Матрицу

из п чисел, при подстановке которых в уравнения системы вместо

соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превраща­ ется в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называ­ ется несовм естной или противоречивой . Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совм естной .

Совместные системы подразделяют на определенные, обладающие единственным решением, и неопределенные, обладающие множеством решений. Однородная система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение Xi = X2 = ... = xn = 0 .

Выражение для неизвестных xi, Х2, ..., хп, из которого можно по­ лучить любое конкретное решение системы, называют ее общ им ре­ шением, а любое конкретное решение системы - ее частным реше­ нием. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.

Над уравнениями системы обычно приходится проводить следую­ щие элементарные преобразования:

1.Умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, от­ личное от нуля.

2.Прибавление (вычитание) к одному уравнению другого, умно­ женного на некоторое число.

3.Перестановку уравнений.

4.Вычеркивание уравнений вида 0 •х\ + 0 •хг + ... + 0 •хп = 0, т.е. тождеств 0 = 0.

5.Перестановку неизвестных в системе уравнений.

Врезультате элементарных преобразований система преобразу­ ется в эквивалентную. Общий способ отыскания решений обычно основывается на последовательном переходе с помощью элементар­ ных преобразований от данной системы к такой эквивалентной си­ стеме, для которой решение находится достаточно просто. Одним из таких способов является метод последовательного исключения неиз­ вестных (метод Гаусса). Алгоритм этого метода состоит в следую­ щем.

Предположим, что коэффициент ац системы (1.1) отличен от нуля. Этого всегда можно добиться, переставляя, в случае необходимости, уравнения системы или неизвестные в ней и меняя нумерацию неиз­ вестных. Умножим первое уравнение на 021/о ц и вычтем из второго уравнения, затем - на а^\/ац и вычтем из третьего уравнения и т.д. Наконец, умножим первое уравнение на ami/a n и вычтем из послед­ него уравнения. В результате неизвестное xi будет исключено из всех уравнений, кроме первого, и система примет вид