книги / Линейная алгебра

Линейные пространства

2.1- Определение линейного п ростран ства

Пусть дано произвольное числовое поле Р, например, поле раци­ ональных, действительных или комплексных чисел, и множество X элементов а, 6 , с, Пусть в множестве X определены операции сложения элементов и умножения их на числа из поля Р операция сложения элементов каждой паре а и Ь из X ставит во взаимно од­ нозначное соответствие элемент а + 6 из X , называемый суммой эл ем ен т о в а и 6 ; операция умножения элементов на числа каждому элементу а из X и каждому числу а из Р ставит во взаимно одно­ значное соответствие элемент оса из ЛГ, называемый произведением

эл ем ен т а а на ч и сл о а .

Элементы множества X называют векторами, а само множество А" - линейным п ростран ством над полем Р, если операции сло­ жения элементов из X и умножения их на числа а из Р обладают следующими свойствами:

1. Сложение коммутативно, т.е. a -f 6 = Ъ-Ь а для любых а, 6 из X ;

2 . Сложение ассоциативно, т.е. (а + 6) + с = а + (6 + с) для любых о, 6 , с из ^ ,

3. В множестве X существует нулевой элемент 0 такой, что a-f 0 =

апри любом а из X ;

4.В множестве X для любого элемента а существует противопо­ ложный элемент —а такой, что a + (—a) = 0 ;

7. (а/?)а ^ а(/?ц) при любом а Е X и любых а,/? £ Р;

8 . 1 •а = 0 при любом а Е X.

Свойству 1 - 8 называют аксиомами линейного п ростран ства X над пол^м Р, Иоле Р - основны м полем. В дальнейшем нас бу­ дет интересовать линейное пространство над полем действительных

чисел, называемое д е й с т в и т е л ь н ы м л и н е й н ы м п р о с т р а н с т в о м

и линейное пространство над полем комплексных чисел, называемое

к о м п л е к сн ы м л и н е й н ы м п р о с т р а н с т в о м .

Отметим, что в линейном пространстве существует операция вы­ читания, ставящая во взаимно однозначное соответствие каждой паре элементов а и Ъ элемент а — 6 = а + (—6), называемый разностью эле­ ментов а и 6.

Примерами линейных пространств являются:

1.Множество геометрических векторов-отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в пространстве с обычными правилами сложения векторов-отрезков и умножения их на дей­ ствительные числа;

2.Множество всех функций действительного переменного, опре­ деленных и непрерывных на отрезке [а, 6], с обычными прави­ лами сложения функций и умножения их на действительные чи­ сла;

3.Множество Рп[я] многочленов степени не выше п с коэффициен­ тами из поля Р с обычными правилами сложения многочленов и умножения их на числа из поля Р\

4.Множество Мтп прямоугольных матриц размера т х п с эле­ ментами из поля Р с обычными операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля Р;

5.Множество всех векторов-решений однородной системы линей­ ных уравнений с коэффициентами из поля Р относительно сло­ жения векторов-решений и умножения их на числа из поля Р:

6. Множество всех векторов-столбцов (<*i, с*2 , ..., а т ) Т высоты m с компонентами а \ } с*2 , ..., а т из поля Р, состоящего из двух чисел 0 и 1 с правилами сложения и умножения чисел, заданных равенствами

•• Рт)Т ПО правилу а + Ь= (<Х1 + 01, а 2 + 02, ■■; dim + 0m)T И

умножения векторов на число А из поля Р по правилу Ха = аА = = (Ac*i, Аа2, ..., Ааш)т

Наиболее важным является арифметическое (координатное) про­ странство К векторов-столбцов (c*i, с*2 , •••, ат )Т высоты т с ком­ понентами о?1, с*2 , ..., а т из поля Р, в котором операция сложения

векторов-столбцов и умножения их на числа из поля Р осуществля­ ется по правилам:

( с * ! , . . . , а т ) т + ( / ? ! , . . . , / ? т +) 0Т 1 =, . . .(,са* 1т + /Зт)т,

к■(о -ь ... , ат )т = ( k - a i , . . . , k - am)T

2.2.Линейная зависим ость вектор ов

Вектор Ьназывают пропорциональным вектору а, если 6 = к а. В аналитической геометрии такие векторы называют коллинеарными. Обобщением понятия пропорциональности векторов является поня­ тие их линейной комбинации:

вектор Ъназывают линейной комбинацией век тор ов ai, a2,

При этом говорят также, что вектор Ълинейно выражается через векторы ai, a2; ..., а8.

Частным случаем линейной комбинации векторов является разло­ жение векторов в аналитической геометрии по двум неколлинеарным и по трем некомпланарным направлениям.

Чтобы найти линейное выражение вектора b £ К через векторы ai, a2, ..., а3 из К, следует записать векторное равенство (2.1) и от него перейти к покомпонентным равенствам. В результате

от него перейдем к покомпонентным равенствам. Тогда получим си­ стему

Из этой системы находим ot\ = 3, о?2 = —2. Поэтому Ь—3ai — 2аг.

Система векторов ai, аг, . . ar_i, <*г, г > 2, называется ли­ нейно зависимой, если хотя бы один из них является линейной ком­ бинацией остальных векторов этой системы. В противном случае система векторов ai, аг, . . аг называется линейно независимой.

Это определение эквивалентно следующему:

система векторов а\, аг, ..., аг называется линейно зависимой, если существуют такие числа ot\, аг, аг, не все равные нулю, что

Для того, чтобы выяснить вопрос о линейной зависимости век­ торов ai, аг, ..., аг арифметического пространства К, следует составить векторное равенство (2.2) и перейти от него к поком­ понентным равенствам. В результате получится система линей­ ных однородных уравнений относительно ос\, <*2, ..., аг. Если эта система имеет ненулевые решения, то система векторов а\, аг,

Or линейно зависима. Если же эта система имеет лишь нулевое ре­ шение ап = с*2 = ... = аг = 0, то система векторов а\, аг, ..., аг линейно независима.

Вопрос о линейной зависимости системы векторов арифмети­ ческого пространства можно выяснить также с помощью метода Гаусса. Поясним это правило на примере.

и от него перейдем к покомпонентным равенствам. Тогда получим систему

Эта система имеет ненулевое решение ct\ = 3, 0*2 = —2, аз = — 1. Поэтому система векторов ai, аг, аз линейно зависимая, причем 3ai — —2a2 — аз = 0.

Если эту задачу решать с помощью метода Гаусса, то запишем составную матрицу

и проведем над нею, как при прямом ходе метода Гаусса, цепочку преобразований. Тогда получим

Отсюда видно, что система векторов ai, a2, аз линейно зави­ симая, так как в последней матрице слева от вертикали получилась нуль-строка. Это означает, что 0 = —3ai + 2a2 + аз.

На практике обычно вычисления проводятся с округлениями. Та­ ким округлениям, естественно, будут подвергаться и компоненты рассматриваемых векторов ai, ..., ar, а следовательно, и коэффи­ циенты системы линейных уравнений, получаемой при переходе от равенства (2.2) к покомпонентным равенствам. При этом может слу­ читься, что возмущенная в результате проведенных округлений си­ стема вместо нулевого решения будет иметь уже ненулевые решения, или наоборот, что приведет к неправильному выводу о линейной зави­ симости системы векторов. На это обстоятельство следует постоянно обращать внимание.

Конечная подсистема данной системы векторов называется мак­ симальной линейно независимой, если сама подсистема векторов ли­ нейно независимая, а добавление к ней хотя бы одного вектора си­ стемы делает ее линейно зависимой. Каждый вектор системы ли­ нейно выражается через векторы ее максимальной линейно незави­ симой подсистемы. Любые две максимальные линейно независимые подсистемы данной системы содержат по одинаковому числу векто­

ров. Это число называют рангом рассматриваемой системы век­ торов. Вычисление ранга системы векторов арифметического про­ странства К сводится к вычислению ранга матрицы (см. п. 3).

2.3.Ранг матрицы

Рангом ( т х п)-матрицы называют ранг системы ее столбцов. Ранг матрицы совпадает с наивысшим порядком отличных от нуля миноров этой матрицы. Такие миноры называют базисными. Стол­ бцы матрицы, на которых располагается хотя бы один базисный ми­ нор этой матрицы, линейно независимые. Их называют базисными столбцами матрицы . Через базисные столбцы матрицы линейно выражается любой ее столбец. Если ранг матрицы совпадает с чи­

слом ее столбцов, то все столбцы матрицы линейно независимые. Ранг матрицы можно определить как ранг системы ее строк. Ранг

матрицы по строкам совпадает с ее рангсэм по столбцам. Базисные строки матрицы определяются так же, как ее базисные столбцы.

Для вычисления ранга матрицы можно воспользоваться м етодом окаймления, который состоит в следующем: находят какой-либо ми­ нор первого или второго порядка, отличный от нуля, й вычисляют окаймляющие его миноры следующего порядка. Если среди них най­ дется отличный от нуля, то окаймляют его. Пусть уже найден таким способом минор r-го порядка, отличный от нуля. Тогда вычисляют его окаймляющие миноры (г + 1)-го порядка. Если все они окажутся равными нулю, то ранг матрицы равен г.

Пользуясь этим методом, вычислим ранг матрицы

з1 4 У

Отмеченный в матрице минор отличен от нуля. Окаймляющих его миноров третьего порядка лишь два, а именно

и они равны нулю. Поэтому ранг матрицы А г(А) = 2, причем первые ее два столбца линейно независимые, так как на них располагается,

например, отмеченный базисный минор. Второй и третий, первый и третий столбцы матрицы А также линейно независимые, так как на них соответственно располагаются базисные миноры

Для вычисления ранга системы векторов ai, а2, ..., а, арифмети­ ческого пространства К следует эти векторы записать столбцами матрицы и вычислить ее ранг. Это и будет ранг системы рассматри­ ваемых векторов. По базисным минорам легко выделяются все макси­ мальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов. Поясним это правило на примере.

Ее ранг равен двум. Следовательно, ранг системы векторов ai, a2, аз также равен двум. Причем, каждая пара этих векторов составляет максимальную линейно независимую подсистему, так как на каждой паре этих векторов располагаются соответственно, например, базис­ ные миноры

П ример 2. В системе векторов

ai = (1, 1, 1)Т, a2 = (1, 2, 3)т , a3 = (1, О, 1)т ,

а4 = (1, 3, 3)т , а5 = (1, - 1 , 1)т

выделить какую-либо максимальную линейно независимую подсисте­ му и через нее линейно выразить остальные векторы системы.

Реш ение. Составив матрицу

замечаем, что в ней отличен от нуля минор

Поэтому ранг матрицы А равен трем и векторы а\, аг, аз составляют одну из максимальных линейно независимых подсистем данной си­ стемы векторов. Чтобы через эту подсистему линейно выразить век­ тор а4, составим, как в примере 1 из п.2.2, векторное равенство

04 = OC\d\+ 0202 + Озаз

и от него перейдем к покомпонентным равенствам. Тогда придем к системе

Существенным является то, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над нею. Этим можно пользоваться при вычислении ранга матрицы. Поясним это на примере.

Пример 3. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Решение. Совершим, как при методе Гаусса, цепочку элементар­ ных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц

векторов-столбцов (c*i, <22, . . ctm)T за базис можно принять любую максимальную линейно независимую систему векторов

т.е. такую систему указанных векторов, для которой определитель

В частности, в Кт можно принять за базис систему векторов

Этот базис в Кт называют его естественным базисом.

В пространстве Рп[х] многочленов от х степени не выше п система многочленов 1, ( х —а), (х —а )2, ..., (х —а)п при любом фиксированном числе а составляет базис этого пространства.

Пусть линейное пространство Х п обладает базисом

е еи 62, - еп. (2.3)

Тогда любой вектор х из Хп единственным образом представляется в виде

Числа xi, Х2, ..., хп в разложении (2.4) называют координатам и вектора х в базисе (2.3) и записывают x(xi, Х2, ..., xn)J Столбец

(х)е = (*i, * 2) •••>®n)J называют столбцом координат вектор а х в базисе е.