книги / Остаточные напряжения
..pdfИз последних двух уравнений получим:
Ло = |
>/2(стс -ст,)_ „ |
2yfl |
ста |
|
А’ |
С = |
3 |
(6.16) |
|
а„+ а„ |
|
стс + а р |
||
где Ори ос— предельные напряжения при растяжении и сжатии. Для определения Curjo можно использовать испытания на
кручение. Обозначим предельное касательное напряжение при кручении тк. Тогда 07= тк, 02 - 0, аз = — тк. Напряжения на окта эдрической площадке согласно (6.14) и (6.15) будут равны
х о т |
ст<*т = 0> И условие (6.13) примет вид: |
V6
— хк =С. (6.17) 3 *
Тогда
|
Тбт, ->/2стг |
Ло=- |
(6.18) |
|
В случае переменных во времени напряжений, изменяющихся по несимметричным циклам, условие (6.13) можно использовать для определения влияния постоянных напряжений на величину амплитуды предельных напряжений при усталостном разрушении материала.
Левую часть условия (6.13) назовем эффективным каса тельным напряжением и запишем в виде:
T, = ‘ca* ±Tl « W |
(6-!9) |
При переменных напряжениях коэффициент ц отличается
от щ.
Для определения влияния остаточных напряжений на вели чину амплитуды предельных напряжений воспользуемся пред положением о том, что предельная для данного материала ам плитуда изменений эффективного касательного напряжения ос тается неизменной с изменением величины постоянного напря жения цикла [22]. Однако необходимо иметь в виду, что величи на постоянного напряжения цикла ограничивается предельными напряжениями при соответствующих статических нагрузках.
Любые циклические напряжения могут быть представлены как результат наложения переменного напряжения ау, изменяю щегося по симметричному циклу с амплитудой aa(ov-cта sin cot),
на постоянные напряжения ат.
Для трехосного напряженного состояния амплитудные на пряжения на главных площадках обозначим 0]а > ага > оза. По стоянные напряжения на этих же площадках обозначим соответ ственно сгуда, (?2т, озт■Индексы 1, 2, 3 для постоянных напряжений соответствуют индексам амплитудных напряжений. Поэтому условие aim> 02т> <?зтможет не соблюдаться.
Рассмотрим случай, когда напряжения на главных площад ках изменяются синфазно и по симметричному циклу. Положе-
ние о постоянстве амплитуды позволяет приравнять предельную величину амплитуды эффективных касательных напряжений для сложного напряженного состояния к предельной величине ам плитуды эффективных касательных напряжений для одноосного напряженного состояния, в котором наибольшее главное нор мальное напряжение (i = 1, 2, Ъ) изменяется по симмет ричному циклу.
Если главные напряжения изменяются синфазно и по сим метричному циклу, то отношения главных напряжений постоян ны в любой момент времени. Примем одно из трех главных пе ременных напряжений за основное и обозначим его а° и соот ветствующее ему амплитудное напряжение ст° . Найдем отноше ние всех главных амплитудных напряжений к основному:
|
|
|
|
К _ a |
/v |
_ ®ia |
|
|
(6.20) |
||||
|
|
|
|
' |
|
a |
/v |
|
aia5 |
|
|
||
те |
к - |
CT‘V—CTla |
hr |
—a |
2v |
_ a |
2a |
к |
0 •• |
||||
i.e. |
Л1 |
о |
о > |
K2 ~~ |
a |
0 |
“ |
a |
0 5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
/v |
|
ш |
|
®ia |
||
|
Из условия (6.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
СУл |
|
|
|
7 |
0 |
|
O ’-, |
|
(6.21) |
|
|
|
|
|
= /CAG |
, |
|
= *3<£- |
|||||
|
|
|
|
2v |
|
|
2 |
/v ’ |
|
3v |
|
||
Подставляя (6.21) в (6.14) и (6.15), определим напряжения
на октаэдрической площадке, изменяющиеся по симметричному циклу:
Обозначим
(6.22)
Тогда
(6.23)
Следовательно, если принять за предельную величину сложного напряженного состояния ее значение Ош(тах) для одно осного растяжения-сжатия и определить величину амплитуды эффективных касательных напряжений, то отношение пределов выносливости для простого и сложного напряженных состояний будет обратно пропорционально отношению амплитуд эффек тивных касательных напряжений:
(6.24)
где А.1 — предельная амплитуда эффективных касательных на пряжений для симметричного одноосного растяжения-сжатия;
Ас— амплитуда эффективных касательных напряжений для сложного напряженного состояния.
Амплитуда Асопределяется по формуле:
А— тэ(пмх) —тэ(шш)
с~ 2
Согласно формулам (6.19) и (6.23)
_ |
_ _max |
_i |
|
_\iг гг® |
, „ 1 |
^ 0 |
|
^э(гаах) |
^v(ok-m) |
|
Л^у(ок7я) “ |
т a^/v(max) |
Ч^а^п^тах) |
||
Т |
— T m^ |
_ |
r i r r ra’n |
— иг г г 0 |
_ r » l |
Z T ° |
|
^э(шга) |
(окт) |
|
Ч^у(оюя) |
“ |
то^/у(пип) |
4^'a^'/v(min) |
|
(6.25)
(6.26)
Так как напряжения изменяются по симметричному циклу,
то |
|
|
|
|
° |
_ |
о . |
о |
_ о |
^/у(шах) |
|
^ ia ? |
^/v(min) |
|
С учетом этого формулы (6.26) принимают вид: |
||||
ХЭ(таж) = |
V X |
+ |
Л ^ |
|
|
|
|
|
(6.27) |
'C3 ( n u n ) = - V a ^ 0 + |
Tl 4 ^ |
|||
Подставляя (6.27) в (6.25), получаем: |
||||
|
|
Ас = у .о? |
(6-28) |
|
Для определения амплитуды А.] рассмотрим одноосное |
||||
растяжение-сжатие с напряжением |
afv' c = ^ У(тах) = а °Л(тах)- При |
|||
этом a f;c = af~c = 0 и |
согласно |
формулам (6.20) и (6.22) |
||
*Г=1; к Г=кГ=Ь ч < г = Д
Переходя к амплитудным напряжениям, получаем
/я(тах) |
- а0 к |
/о /(шах)' |
Подставляя в формулу (6.28) вместо у 0 значение |
с, а |
вместо а° величину , находим амплитуду эффективных ка сательных напряжений для одноосного растяжения-сжатия:
А |
2 и'«Л'(тах) “ 3 |
(6.29) |
А - \ ~ |
max) = СТ-1‘ |
(6.30) |
Подставляя (6.29) и (6.28) в (6.24), получаем:
V2 К(шах) |
(6.31) |
|
зуа
где к:, , = — |
— наибольшее значение из трех величин к], |
стш |
|
кг, к3. |
|
Если в качестве основного принять наибольшее амплитуд ное главное напряжение а®, = а 1о, то к1(ювх) =1, и формула (6.31) принимает вид:
^С о |
(6.32) |
3V* |
|
Рассмотрим случай трехосного напряженного состояния, когда напряжения изменяются во времени синфазно по несимметричным циклам. В этом случае кроме напряжений оь,
02v, ojv, изменяющихся по симметричным циклам с амплитудны-
ми напряжениями соответственно <т/а, 02а, оза, будут возникать средние (постоянные) напряжения oim, 02т, 03т.
При этом главные площадки выбираем в соответствии с действием переменных напряжений. Как было показано, ампли тудные напряжения на этих площадках aja > 02а > оза- По
отношению к постоянным напряжениям oim, 03т эти
площадки могут быть произвольными.
Выразим постоянные напряжения через предел выносливо сти при одноосном симметричном цикле:
<*1. =W |°-l'
° 2m=nh°-i ’•
Для амплитудных напряжений, как и ранее, сохраняются отношения (6.20 — 6.23).
Запишем постоянные напряжения на октаэдрической пло щадке:
0«(«») = J (°1« + °2т + |
) = | (W1+ т 2 + т3К . > |
|
* т (о к т) = |
~ СТ2/я) |
( СТ2т — СТЗт ) (^ З т — СТ1т ) — |
= ~ 0-1 |
~ т 2У + (т2 ~ тз ? +(т3-щ )2 |
|
Введем обозначения
= | V K ~ mi)2 + ( « 2 ~ тЪf + ( m 3 - Щ ) 2
K = ^ ( mi+ m2 +nh)
Тогда
^m(oim) |
® т( о к т ) |
* |
(6.33) |
Циклические напряжения на октаэдрической площадке записываются как сумма средних напряжений (6.33) и напряжений, изменяющихся во времени по симметричному циклу:
^ с(окт) |
^т(оюя) |
"^v(orai) |
V т ® - 1 |
V a ^ iv 1 |
^ с(о к т) |
^ т ( о к т ) |
^ у(олтл) |
^ m ^ - l |
|
Эффективное касательное напряжение согласно формуле (6.19) будет:
*эс |
^с(оют) ~ "П ® с(окт)‘ |
Амплитуда эффективных касательных напряжений для несимметричного цикла определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
max __min |
|
|
|
||
|
|
|
4 . = |
* |
2 |
* |
■ |
|
(М 4) |
||
шах |
|
_шах . |
/ |
inax |
|
%1 |
_ . |
%1# 0 |
. |
||
Х эс |
~ |
Тс(окт) + Л |
|
с(окт) |
~ |
V т ° - \ |
+ |
V aCT/v(max)+ |
|||
|
+Т1(ЛтСТ-1 +Ч К°1 (тк) |
|
|
|
(6.35) |
||||||
_min |
|
_min |
. |
/ |
min |
|
|
|
|
О |
|
Т~ |
= |
^ с ш ) |
+ Л |
|
СТс(о, т) |
= |
V .O - 1 |
+ |
У .^ (ш а х ) - |
||
В формулах (6.35) коэффициент г|о относится к средним (постоянным) напряжениям, коэффициент rj к напряжениям,
изменяющимся по симметричному циклу. |
|
|
|||
Если |
в |
формулах |
(6.35) |
учесть, |
что |
снопах) = о? |
4(min) = -<*? то получаем: |
|
|
||
|
|
|
|
|
(6.36) |
Подставляя (6.36) в (6.34), имеем:
(6.37) Согласно (6.24), отношение предела выносливости при сложном напряженном состоянии (когда главные напряжения изменяются по несимметричному циклу) к пределу выносливости при одноосном растяжении-сжатии по
симметричному циклу определяется:
Подставляя (6.29) и (6.37) в (6.38), получаем:
3 Vatfa +T|<AmCT-1
Если учесть, что согласно (6.30) с &/(niax) = <г_,, то
(6.39)
зV e + V -Лп**)
Отношение коэффициентов t,cm и £,с, определяемых формулами (6.39) и (6.31), дает изменение предела выносливости только за счет постоянных напряжений
(6.40)
Если за основное амплитудное напряжение принять наибольшее, т.е. ст°0 = а 1о, то получаем &,(max) = 1, а формулы (6.39) и (6.40) принимают вид:
>/2 ~
3(V0 +'П(Лт) , |
(6.41) |
|
Рассмотрим случай, когда кроме действующих (рабочих) асимметрично изменяющихся напряжений имеются остаточные постоянные напряжения. Эти напряжения будут суммироваться с постоянными действующими (рабочими) напряжениями ат.
Обозначим суммарные постоянные напряжения он, а оста
точные а0. Тогда
СТ1н СТ1т + °1о’ ®2н ~ ®2т +СТ2о> СТЗи—°3т + СТЗо-