книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfX Ei X
x ( ‘ - ¥ / ¥ ) - S r / £ > ‘
X Ei |
___________________ __________________ |
|
|
|
’ • ■ ( > , / i + *, l / i l / ^ + *. |
|
(13.20) |
Из выражения (13.20) видно, что общая деформация слоев равна сумме деформаций сжатия соответствующих однородных слоев огра ниченной мощности от заданной нагрузки.
Выражение (13.20) можно представить так
— |
- ( ‘ - t |
|
+ Щ |
l ^ ' ? ) + " |
l 7 l / - v - ) + » . « |
» \ 1 - ^ |
||
|
|
(13.21) |
где w3l — деформация сжатия однородного слоя мощностью hх от заданной нагрузки Р; слой толщиной hx образован из материала верхнего слоя системы;
w32 — деформация |
сжатия |
однородного |
слоя |
мощностью |
||
] / |
— + h2 от заданной нагрузки Р; |
однородны0 |
||||
“ |
v2 |
|
__ |
|
|
|
слой мощностью /г2 1 / — 4- Л2 образован из материала |
||||||
|
|
Г |
V2 |
|
|
|
второго слоя системы; |
однородного |
слоя |
мощностью |
|||
доэ3 — деформация |
сжатия |
|||||
h, 1/ |
+ h2 1 / — + h3 от заданной нагрузки |
Р; |
||||
Т |
v 3 |
“ V3 |
____ |
____ |
|
|
однородный СЛОЙ ТОЛЩИНОЙ hx |
+ Л2 ] / " ■ |
+ Л3 |
||||
образован из материала третьего слоя системы; |
|
|||||
ю— деформация сжатия однородного слоя мощностью
h'V ^ +KV ^ + +к-'от заданной
нагрузки Р; однородный массив данной толщины образован из материала (п—1)-го слоя системы;
w3n _ деформация сжатия однородного массива толщиной
у Г^~ + + hn и образованного из
материала п-то слоя (последнего слоя системы).
Таким образом, деформация сжатия многослойной системы от заданной нагрузки может быть определена как сумма значений де формаций соответствующих эквивалентных однородных массивов от той же нагрузки, умноженных на коэффициенты, зависящие от отношения модулей сжатия и распределительной способности гра ничных слоев системы.
§ 2. ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ НАГРУЗКОЙ, ПРОИЗВОЛЬНО ЗАДАННОЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
Пусть распределение нагрузки в плоской задаче в пределах по лосы
|
P = f(x). |
|
(13.22) |
Распределение вертикальных напряжений в однородном массиве |
|||
от такой нагрузки подчинено зависимости |
|
|
|
“‘ - - И / a |
t I / ( ^ [ - |
^ ( ' - О '] * . |
(13.23) |
где 2b — ширина полосы загружения; |
способности материала. |
||
vj — коэффициент |
распределительной |
||
Определим осадку многослойной системы по формуле |
(13.1). |
||
Деформация сжатия верхнего слоя многослойной системы при распределении в нем напряжений согласно выражению (13.23) оп ределяется зависимостью
/ i t ] т - Т т |
ехр( |
- |
Ш г= |
<13-24> |
|
о |
—ь |
|
|
|
|
где Wj — деформация сжатия |
однородного массива мощностью Alf |
||||
состоящего из материала верхнего слоя системы; |
|
||||
Ех — модуль сжатия материала |
верхнего слоя; |
|
|||
К — толщина верхнего слоя системы. |
|
|
|||
Определим деформацию сжатия второго слоя многослойной си стемы. Распределение вертикальных напряжений во втором слое от произвольно заданной нагрузки выражается зависимостью
? /« > < * Р ( -------- |
71 |
J V Ц*1V ^ +z)
где v2 — коэффициент распределительной способности материала второго слоя.
Деформация сжатия второго слоя
Произведя замену переменной интегрирования подстановкой
h1 Y ± + z = t, |
(13.26) |
получим
w2 -т г / iir f |
T p W '-K -^ 1) " "3271 |
• У 5 |
- |
Выражение (13.27) представим в виде разности двух интегралов
- - k V - k
Заменив во втором интеграле одну из переменных интегрирова ния подстановкой __
1 =
получим
V ^ + *’
j
+6
4 "j/(E)exp('
(13.28)
(х- t ) 2 \ dUt - 2V2 )
О—Ь
Еш |
(- S>! |
)dtt,y)■ (13.29) |
2v,r,2 |
J |
Второй интеграл через выражение (13.24) может быть представ лен как
j ■Y J /даехр (— |
didr>= w'Ei У 1' ™1= |
о—ft
= w3lEx У 21^ . |
(13.30) |
Первый интеграл выражения (13.29) представляет собой дефор -
мацию однородного массива ограниченной мощности hx + /г2>
образованного из материала второго слоя многослойной системы. Обозначим эту осадку
___Л' V ^ +Ла |
+& |
|
*«—kVik |
J |
(аз» |
|
0 |
—ft |
Учитывая соотношения (13.30) и (13.31), выражение (13.29) пред ставим в следующем виде
(13.32)
Выражение (13.32) определяет деформацию сжатия второго слоя в системе.
Рассмотрим деформацию сжатия третьего слоя системы. Распре деление вертикальных напряжений в третьем слое многослойной системы выражается зависимостью
+л
__________(*~Е)2 ___
2^(л1V^+h2У^+ )
Деформация сжатия третьего слоя многослойной системы при распределении напряжений в нем по зависимости (13.33) определится выражением
1 |
1 |
“ '3 = 1 7r1v/ - |
|
|
о |
X Гяоехр/------■ |
7 |
||
J |
i |
+ |
|
—ь |
|
|
|
где Е, — модуль сжатия |
материала третьего слоя; |
||
V, |
|
|
способности материала |
„ — коэффициент распределительной |
|||
третьего слоя;
he3 — толщина третьего слоя.
Произведя в этом выражении замену переменной интегр(ирова-
НИЯст пплгтановКОЙ |
|
*1 |
(13.34) |
получим |
|
l / i i r |
x |
|
W |
ла] / —+ Лз |
|
|
|
|
|
X |
|
J |
i |
|
|
||
|
|
- ■ A |
|
|
|
i5 |
K - II |
+» |
|
|
Г /(?)exp f- |
\dldt |
|
J |
' |
|
—b |
|
|
Y
+ Ла] /А + Лв +&
j -j-jV(5)exp(—
: V - k |
j |
Произведем замену переменной интегрирования t под вторым интегралом подстановкой
< = |
(13.35) |
тогда
— k V ~ k |
1 |
i j / ( ? ) e x p ( - ^ f - ) ^ . (13.36) |
|
О |
-ь |
Первый член выражения (13.36) представляет собой деформацию от заданной нагрузки однородного массива ограниченной мощности
hx |
-f- h2 |
+ Л3, образованного из материала третьего слоя |
||
системы. Обозначим эту деформацию |
|
|||
|
+ |
>h |
+Ь |
|
X |
j |
- f |
J /Ш ехр (---- (13.37) |
|
|
0 |
|
—b |
|
Второй интеграл выражения (13.36) может быть определен на |
||||
основе зависимости (13.31) |
|
|
||
|
+» |
|
|
|
J |
у Г № |
ехр (---- Л*1 = шэ2£ а V 2xva . |
(13.38) |
|
О-ь
Учитывая соотношения (13.37) и (13.38), выражение (13.36), получим
Щ,=и>3> — |
(13.39) |
t 3 |
3 |
Выражение (13.39) определяет деформацию сжатия третьего слоя в системе. Сравнивая (13.39) с (13.32) видим, что эти выражения
имеют одинаковую структуру и отличаются только индексами, опре деляющими принадлежность тех или иных параметров различным слоям. По аналогии можно получить зависимость для описания деформации сжатия любого слоя в системе. Так, для /-го слоя
W * - |
(13.40) |
|
где w3i — деформация сжатия от заданной нагрузки однородного
массива мощностью hx 1 / — + h2 V — + |
|
+ hh об- |
|||
Г v I |
Г |
Vy |
|
' |
|
разованного из материала /-го слоя; |
однородного |
||||
Wj_x — деформация сжатия от |
заданной |
нагрузки |
|||
массива мощностью hx|^ |
/" |
— j- h2 |
+ |
+ Лу_,, |
|
образованного из материала (/—1)-го слоя: Ej — модуль сжатия материала /-го слоя;
Ej_{ — модуль сжатия материала (/—1)-го слоя.
На основе приведенных зависимостей деформация сжатия по следнего слоя системы
0У =0У |
— 0У , и Еп~1' Л/ |
-П~Х- |
, |
(13.41) |
||||
п |
ЭЛ |
Э (Л — 1) |
Е п |
у |
V„ ’ |
|
V |
1 |
где w3n — деформация сжатия однородного массива ограниченной
мощности /*1 1 / — + Л,I / |
— + |
+ hn от заданной |
|
' |
Г |
^л |
|
нагрузки;
Шэ(л_j)— деформация сжатия однородного массива ограниченной
мощности hx^ |
—■ + h2 |
+ |
+ h n |
об |
разованного из материала (п—1) слоя системы; |
|
|||
Еп — модуль сжатия материала последнего слоя системы; |
си |
|||
Еп_ х — модуль сжатия |
материала |
предпоследнего слоя |
||
стемы.
Подставив выражения (13.24), (13~32), (13.39), (13.40) и (13.41) в зависимость (13.1), получим
v>= wa + wA — wa |
+ ®эз— W s t - j - Y ^ + |
+ |
£л-1 . /
+ |
) + “’- • |
(13-42) |
Формула (13.42) и определяет деформацию сжатия многослойной системы от произвольно заданной нагрузки в плоской задаче. Из этой формулы видно, что при любой нагрузке деформация много слойной системы может быть определена через соответствующие деформации от той же нагрузки эквивалентных однородных масси вов ограниченной мощности, образованных последовательно из ма териалов слоев системы. Полученная формула аналогична формуле для случая нагрузки, равномерно распределенной по бесконечной линии.
§ 3. ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ СЛОИСТОЙ СИСТЕМЫ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ (ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА)
Осадка многослойного зернистого грунтового основания в рас сматриваемом случае также складывается из деформаций сжатия отдельных слоев его и определяется по формуле (13.1).
Таким образом, для вычисления осадки слоистой системы необ ходимо определить деформацию сжатия каждого слоя.
Деформацию сжатия верхнего слоя можно рассматривать как
деформацию от заданной нагрузки |
слоя |
ограниченной |
мощности, |
- |
ф ( v |
^ r ) ] = “ * • |
(13-43) |
где Р — сосредоточенная нагрузка;
hx — толщина верхнего слоя системы;
w 3l — деформация сжатия однородного слоя ограниченной мощ ности;
Ех — модуль деформации материала верхнего слоя;
V! — коэффициент распределительной способности материала верхнего слоя;
г — координата точки, в которой определяется осадка. Определим осадку второго слоя системы. Вертикальные напря
жения во втором сверху слое многослойной системы от сосредото
ченной вертикальной нагрузки |
на поверхности |
Л,+2 ' |
(13.44) |
где v2 — коэффициент распределительной способности материала второго слоя.
При распределении вертикальных напряжений во втором слое по зависимости (13.44) деформация сжатия его
Р |
^ |
1 |
- е х р / |
-------- ; |
-----— \ dz. |
2 TTV2 £ |
2 |
|
|
2v. |
|
|
|
|
|
|
Произведя в этом выражении замену переменной интегрирования подстановкой
= t,
получим
2 Е 2г 1 / 5 ж I « Р { - T ) d t - С З - 4 5 )
г
Л,
После интегрирования выражения (13.45) и подстановки преде лов получим
: 2£2л 1 /^ 2-'у2 [ Ф ( л, )<Ч )
— ф |
(13.46) |
/V, (A, |
+ Л2) |
Прибавляя и вычитая единицу в квадратных скобках, предста |
|
вим это выражение в таком виде |
|
Щ = 2Е гг / ^ г [' — ф |
(л>V +ht) |
|
|
||
р |
(13.47) |
|
2Е гг |
||
|
Первый член выражения (13.47) представляет собой деформацию сжатия от сосредоточенной нагрузки Р однородного грунтового мас
сива мощностью /*! j / ~ + h2, образованного из материала вто рого слоя системы. Обозначим эту осадку
Выражение в квадратных скобках второго члена зависимости (13.47) определим через осадку однородного массива из формулы (13.43)
Учитывая соотношения (13.48), (13.49) и выражения (13747) для деформации сжатия второго слоя системы, получим
Щ |
(13.50) |
Таким же путем можно получить формулу для определения де формации сжатия любого слоя системы. Так, для третьего слоя деформация сжатия
w3 = ws3 — |
с3 г |
3 |
(13.51) |
|
|
где Е3 — модуль деформации материала третьего слоя;
w3з — деформация сжатия от нагруз]Ш_Р однородного массива
ограниченной |
мощности hx 1 / — + h2 1 / — -f h3, обра- |
|||||
зованного из материала третьего слоя. |
|
|
||||
Для последнего слоя системы деформация сжатия |
|
|
||||
|
O' = w „ — w,9 (л-1) |
|
(13.52) |
|||
где wm — деформация сжатия от сосредоточенной |
нагрузки |
Р |
||||
однородного |
массива |
ограниченной |
мощности |
|||
hi |
+ К |
+ |
+ hn, образованного |
из |
||
материала |
последнего (нижнего) слоя; |
|
|
|||
^э(л—1) — деформация |
сжатия от |
сосредоточенной нагрузки |
||||
однородного |
массива |
ограниченной |
мощности |
|||
+hn-\> образованного из материала (я—1)-го слоя;
—модуль сжатия материала (п—1)-го слоя;
Еп — модуль сжатия материала последнего слоя.
Подставив выражения (13.43), (13.50), (13.51) |
и (13.52) в фор |
мулу (13.1), получим |
|
W — w9l + Щ* ~~ У>э1 |
+ |
+ Wsn — W n, |
|
Е п