книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfТогда максимальная осадка грунтового массива ограниченной мощности
|
А |
|
|
w0 |
|
|
dz. |
После интегрирования |
|
|
|
“'° = - г { /г[1- Т |
R2 |
|
+ |
ехр(~ 2vA* |
|
||
+ |
_2_ |
R |
(12.59) |
з |
|
||
|
|
||
По формуле (12.59) определяется максимальная осадка однородного грунтового массива ограниченной мощности от параболической на грузки распределенной по площади круга.
Максимальная осадка грунтового полупространства от нагрузки, выраженной уравнением (12.57), определится как предел выраже ния (12.59) при h -> со.
Предел первого слагаемого выражения (12.59) при h -> оо, как было показано в предыдущем параграфе, равен нулю. Вычислим предел второго слагаемого, для чего, применяя несколько раз пра вило Лопиталя, рассмотрим предел выражения
Таким образом, второй член выражения (12.59) при h оо в пределе равен нулю.
Следовательно, максимальная осадка однородного грунтового
полупространства, как предел |
выражения (12.57) при h |
od |
|||
4pR |
Уп |
_ |
4р У F |
|
(12.60) |
3£ |
У ъ |
ъеУ ъ |
|
||
|
|
||||
где F — площадь загруженной круглой |
площадки. |
|
полу |
||
Формула (12.60) также по структуре имеет вид формулы, |
|||||
ченной Н. Н. Ивановым экспериментально для различных |
форм |
||||
площадок загружения. |
|
|
|
|
|
§ 12. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПРЯМОУГОЛЬН ИКУ
При равномерной загрузке площади прямоугольника размером 2а X 2b распределение вертикальных напряжений в грунтовом массиве выражается уравнением
Представим это выражение в развернутой форме в виде произве дения интегралов вероятности
При постоянном по глубине значении модуля деформации и при распределении вертикальных напряжений по зависимости (12.62) осадка однородного грунтового массива ограниченной мощности
■Л |
h |
4Е
. (12.63)
Нетрудно заметить, что все интегралы выражения (12.63) имеют вид
(12.64)
' - H - T M - T ) * -
Поэтому для решения интегралов выражения (12.63) достаточно рассмотреть интеграл (12.64). Решение этого интеграла:
О
А_
+ а ] е 1(- , , „ р [ - ( 4 ) ' , ] л - ^ |
ф ( А ) е . ( _ ^ ) + |
А_
При Л -> оо это выражение преобразуется к виду
j Ф ( 4 ) Ф ( 4 ) Л . _ |
j _ [ в j |
Ei |
„ р [ _ f ± j ,,] |
dt + |
|
О |
|
О |
|
|
|
+ Л j* Ei (— /2)ехр j^— |
12J dt |
(12.65) |
|||
|
о |
|
|
|
|
J |
Ei (— /2)ехр | — |
|
t^ d i = |
|
|
X) |
|
|
|
|
|
— Т ^ ' " [ т + 1А + Ш |
( 12.66) |
||||
|
|||||
J |
Ei ( - |
<2)exp | — |
j j |
t^ d t = |
|
О |
|
|
|
|
|
— i vM i + V/ 1+Ш |
(12.67) |
|
Подставив решения интегралов (12.66) и (12.67) в выражение (12.65), получим
+ 8 |" ( т + / 1+ ( т ) 1 ]- |
<|2а8> |
Воспользуемся соотношением (12.68) для решения задачи об осадке однородного грунтового полупространства от нагрузки, равномерно распределенной по прямоугольнику. Полагая в выра жении (12.63) h -> с о , получим
*Решение интегралов правой части выражения (12.65) приведено в книге
И.М. Рыжика и И. С. Градштейна «Таблицы интегралов, сумм, рядов и про
изведений», 1951 г., стр. 253.
На основе решения (12.68) выражение (12.69) представим в виде
W - - г - |
(— |
* + » In ( y + a |
|
|
|
|||||
4£ |
1 2 |
К* |
|
\ x + a |
|
|
|
|||
И-' У + |
а ■Inf |
* + |
1 \ |
х + Ь |
|
|
||||
|
|
V * |
\ |
У + а |
х + а |
|
|
|||
- i ? [ - ^ 4 - s - + / |
, + ( - s - ) ' ) + |
|||||||||
y j _ |
|
|
х + Ь |
In |
(-S- + / |
1+(^г)')] |
+ |
|||
2 |
|
|
V * |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
4 = ^ i n |+ У + |
1+ (-S-)‘)+ |
|||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
- A |
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После некоторых преобразований получим |
|
|
||||||||
р V ' |
{- |
| |
ч - |
» + ° + V(* + W + (!' + °r | |
||||||
до = -—EtLLl _ |
||||||||||
8 V |
И' |
|
|
- |
а + |
+ &)2 + (у — а)2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
+ (У + а) In |
х + Ь + У (У+ а)* + (* ± ^ |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
х - Ь |
+ У1у + а)’- + (*.-Ь)г |
|
|
||
+ |
i t - h \ \ n |
У ~ а + Е < х + b)i± j y - z )-- + |
|
|||||||
|
|
|
|
У + а + |
у |
(х + &)2 -I- (// I- а )2 |
|
|
||
+ |
(."------- }1„ |
д : - 6 + У |
( у - Д)г + ( ^ 6 ) 1 |
|
(12.70) |
|||||
|
|
|
|
* + &+ V (у —а)2 + (х + V? |
|
|
||||
По |
центру |
загруженной площадки |
(при |
х = у = 0) осадка |
|||
w0 = |
Р У * |
bin |
а + У 62 + а2 |
| д|п |
M - / a 2 + 62 |
|
|
|
|
8y i E |
— а + ] / 62 + а2 |
|
- 6 + К а2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- а + У * + * |
- М - У « » + * |
|
||
|
|
|
fl+ М |
Ч а 2 |
b + ]/ а2+ 62. |
|
|
|
Р У * |
а + К &2 + Д2 |
6 + К Q2 + 62 |
|
|||
йУ0 = |
4 / |
“ £ |
Мп —а+ ]/62+ а2--f a In - |
Ь + V а2 + &2 |
(12.71) |
||
Интересно |
отметить, что по структуре формула (12.71) |
анало |
|||||
гична соответствующей формуле теории упругости. Для сравнения приводим формулу теории упругости в принятых обозначениях
|
So |
|
2 р _ |
bIn |
У » + * + о |
| „|п / У |
+ »! 0 |
|
|
|
|
|
|
пЕ |
|
V ь* + а1 - а |
У Ьг + а2 |
— Ь |
|
|
|
где |
Я = -£у2£-; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J — ц |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
[х — коэффициент Пуассона; |
|
|
|
|
|
||||
Е уПр — модуль |
упругости. |
|
|
|
|
|
||||
Осадка точки, расположенной в вершине угла загруженного |
||||||||||
прямоугольника, |
определится на основе выражения (12.70) при |
|||||||||
х = Ь\ у = а\ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
щ , - |
|
rVJ- ( b l n a + V ? +Z + a \ n b + V a * + b' |
). |
||||||
|
ba |
4 У ч Е \ |
Ь |
|
а |
|
|
/ |
||
Осадка точки, расположенной в середине большой стороны пря |
||||||||||
моугольника, определится на основе выражения (12.70) |
при х = 0; |
|||||||||
у = |
— а, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-,р У* |
Ып — =====------ |
+ а In V |
4а2 + |
Ь2 + |
Ь |
(12.72) |
|||
|
4 У ~ |
Е |
|
у Ь2 + а2 — 2а |
У |
4а2 -{- 62 — 6 |
|
|||
Формула теории упругости для осадки этой же точки поверхно |
||||||||||
сти |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sb = |
jp |
Ып |
-. |
-fa 1п 1 Л а 2 + |
fr2 + |
Ь |
(12.73) |
||
|
7:£ |
|
]/ ^ +а2—2а |
V |
4а2 + |
Ь2 - Ь |
|
|
||
где |
E = - b |
l 1Е_. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 - F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формулы имеют одинаковую структуру и от личаются лишь множителем перед скобками, который в (12.72) за висит от коэффициента распределительной способности грунта. Вы бором этого коэффициента можно с помощью излагаемой в данной работе теории получить результаты, совпадающие с данными теории упругости. Однако для различной структуры грунтов эти коэф фициенты будут различными.
Г л а в а 13
ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЗЕРНИСТЫХ
-ГРУНТОВЫХ СИСТЕМ
§1. ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ СЛОИСТОЙ СИСТЕМЫ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ЛИНИИ
(ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА)
При определении осадки будем исходить из того же условия на границе раздела двух слоев, которое принималось при рассмотре нии распределения напряжений в многослойных системах. Опреде лим вертикальные деформации сжатия, которые дают возможность вычислить перемещения и по другим осям.
Вертикальная деформация сжатия многослойной системы скла дывается из деформации отдельных слоев ее, т. е.
W = W i + W 2+ W3 -\- |
+ w n, |
(13.1) |
|
где w — деформация сжатия |
|
всей системы; |
|
w1 — деформация сжатия |
верхнего слоя; |
|
|
w2 — деформация сжатия |
второго сверху слоя; |
|
|
wn — деформация сжатия слоев от 3-го до л-го в порядке |
|||
нумерации сверху |
вниз. |
|
|
Определим слагаемые выражения (13.1). Деформацию сжатия верхнего слоя найдем как осадку от рассматриваемой нагрузки слоя
ограниченной мощности, т. |
е. |
Щ |
(13.2) |
где Р — интенсивность нагрузки, распределенной по линии; Ех — модуль сжатия материала верхнего слоя;
Vj — коэффициент распределительной способности материала верхнего слоя;
hx — толщина верхнего слоя.
Деформацию сжатия второго сверху слоя определим как дефор
мацию массива ограниченной мощности от нагрузки, |
т. е. |
/ м = |
(13.3) |
4 )-
Так же, как и при рассмотрении напряженного состояния слои стой системы, введем обозначения
Р_ |
Р1 |
(13.4) |
|
h |
|||
|
|
||
— |
=С, . |
(13.5) |
При этом выражение (13.3) примет вид показательной функции, для которой деформация сжатия слоя ограниченной мощности
>= - £ ± l / ~ —5— |
Г Ei (— С.л:2) — Ei |
. (13.6) |
|
2Е \ |
2Cjv |
I v 1 ' |
О +/il/'2v1cj ■)] |
|
|
|
|
Подставив в это выражение параметры второго слоя и значения Рх и Сх из (13.4) и (13.5), получим
w2 |
|
4V2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
l |
|
|
X E i ( -------- — |
Аx21— Ei |
2^1 |
.(137) |
|
1+ Jh , / |
||||
[ *v»A? |
J |
4V2V |
||
После некоторых преобразований |
2 К |
_ |
||
|
|
|||
w2 = — |
\ f |
-J-jE i/’-----—хЛ — Ei |
|
|
|||
2£a |
V |
2KV, |
у |
2„,А* ) |
Ч *1У ± |
+ *,)* |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(13.8) |
где E2 — модуль сжатия материала второго слоя; |
|
||||||
h2 — толщина |
второго |
слоя; |
способности |
материала |
|||
v2 — коэффициент |
распределительной |
||||||
второго |
слоя. |
|
|
сжатия второго слоя. |
|||
Формула (13.8) |
определяет деформацию |
||||||
Определим деформацию сжатия третьего слоя. Вертикальные на пряжения на границе второго слоя с третьим выражаются зависи мостью
Vl-A. = / W = - нV +hV - k X
|
X exp / — |
|
|
X* |
|
|
|
(13.9) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2v2 (fti |
|
^ |
+ |
A ,) |
|
|
|
Как и в предыдущем случае, обозначим |
|
|
||||||
|
p |
|
T / |
|
1 |
- p |
|
(13.10) |
|
A .j/j i . + f t, |
К |
2KV2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.11) |
|
^(** / ? + * * ) ’ |
= C l‘ |
|
|
||||
слоя, т. е. |
в выражение (13.6) подставим параметры третьего |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
',а; |
|
|
|
(13.12) |
||
|
£ |
= |
Я,; |
|
|
|
(13.13) |
|
|
h = K |
|
|
|
|
(13.14) |
||
а вместо Рх и |
— выражения (13.10) и (13.11). Тогда получим |
|||||||
wa = - |
l / |
_ ! _ |
~ |
\ [ |
(*‘ V |
^ |
+ h*) -x |
|
з(А' V +Лз) V |
2 TIV 2 |
f |
|
|
4 v 3 |
|
||
|
X Ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 " / ? + * . ) ' ] ~ |
|
||||||
- E i |
|
|
|
|
|
|
4v3 |
|
2y*(A‘ |
+ ла) [ 1+ - |3- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
l' |
|
Уг(л‘ |
]/^ г |
+ л’1) |
(13.15)
После некоторых преобразований
По формуле (13.16) определяется деформация сжатия третьего слоя. По аналогии с выражениями (13.8) и (13.16) можно определить деформацию сжатия /-го слоя
Определим деформацию сжатия последнего слоя многослойной системы. На основе полученных зависимостей имеем
2'n{hY ^ +hY ^ + +л- ' / ^ +\Г]}’
(13.18)
где Еп — модуль сжатия я-го слоя;
vrt — показатель распределительной способности л-го слоя; hn — сжимаемый слой однородного массива ограниченной мощ
ности из материала п-го слоя.
Подставив выражения '(13.2), (13.8), (13.16) и (13.18) в зависи мость (13.1), получим
— ■~к/ 5
-------- — |
1 f |
— E i |
2Е, |
V |
2zv3 |
X Ei
е (- |
)+Ж / 5 в (■ 2v,A? |
|
||
— |
Ei |
X2 |
+ |
|
|
|
|||
2T:V2 |
" j / " - f - /i2j |
|
||
|
|
|
||
— |
Ei |
x2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2V2 (AI " jA ^ |
+ А») |
|
|
|
Ж2 |
+ |
+ |
|
2v3 (A, |
+ A2 |
+ A,) |
|
+ ^ £ ~V X
A;2
(h' \ / ^ +
+ hn -\
—k V - k x
XEi |
(13.19) |
Группируя члены выражения (13.19), получим
2Е2 |/ |
2”V Ei |
2V2 (ft, |
+ A,) |
- |
- f r / i ) - |
|
|
|
|
|
|
||
2£3 |
l / |
— |
Ei |
|
|
|
У |
2T:V, |
2v3 (ft, |
+ A3 ] / - ^ - |
+ A,) |
||
|
|
|
||||