книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

§ I. Напряженное и деформированное

состояние [l09 17, 20]

Под влиянием сил, приложенных к сплошному деформируемом/ телу,

во взаимном расположении его частиц происходят изменения,

т.е.дефорь

мируемое тело изменяет свою форму и объем. Простейший* пример

тако­

го

тела

- сжатый или растянутый стержень.

Для математического описания процесса деформации твердого

те­

ла используется та или иная система координат. Например,

в декарто­

вой системе

координат

«*7« осf

х г =ÿ,ac$~z

положение

каядой

точки

тела определяется радиусом-вектором г*

с кошонентами (x J9 х 2

,

х3).

После деформации положение точки определяется другим вектором

г

л' с

координатами (

, эс'г » ж'3 ) •

Вектор

и * р - Р

определяет

вектор перемещения точки

тела,

при­

чем

координаты

( ж '7 ,

9

эс'3 )

являются функциями

первоначальных

координат точки

(oc1f

х 2,эс3). Следовательно,

вектор перемещения так­

же

есть функция

координат

(ocJf

x 2t

эс3).

Рассмотрим какие-либо две близкие точки с радиусом-вектором мвж-

ду

ними

(d x f ,

d x 2 ,

d x 3)

и расстоянием

d l =■ 'Jd * c f + ctx\ + d x * i

После деформации

тела

расстояние между точками меняется и становит­

ся равным

d ï =

l / ( d x f ) 2+ ( d x 2f + ( d x j ? 9

где

d x i* d X j

y- duj f

- координаты вектора перемещения.

„

Записав

коротко

d ^ ^ Ç d x ,)2;

d l'2= ( d * ! ) 2

и подставив

d u ; =

âuj .

• полУчим

(И1,л

. У

0 ôuj

'

[

duj

âu j .

И

J

" ^

^

(dL>=

(i1

+

2

d* * +~⣠! £ * * » * * < •

дх к

* ’

âx/f! ±

После

элементарных преобразований имеем

(сП')* =(сП)г+г/

d x . d x k

;

4

' £Ji '

4 * = г

е4V*

У*

где

ди п

д и п \

(I.I)

д х к

d x j

) •

-

OUJ

* 4

du *

J t k

<I-2)

Sjj

d x j

Малые деформации, определяемые по формулам (1.2), образуют тен-

вор деформации

f

1

1

£ я

2 е й

T

i

егг

e«

J L

e

2

c 23

)»

€jk m%> (1,3)

1 „

6гл

1

г

637

2

C32

который имеет

три независимых инварианта;

J. -

+ е ю ♦ е

<7,- И

;

22

СДЗ •

(1.4)

я

е» + ея

ем + ег* ejj “ 4

(

+ ея +

е а

)

•

инвариант Jy называется

объемным расширением.

Можно

ввести также

три главных удлинения 8f, S2 ,6$ ,

и тогда ин­

варианты

^ ï Ê /

V

£r

Jt = e f e2 +

J3a£, e* e3-

Ори атом удлинения

С7, e g t е3

являются

корнями

кубического

уравне-

е 9- J7 e ‘ + Jg е - J j - о .

Черва

главные удлинения вводится среднее удлинение

ес в Т ( £п * е г г * £зз ) “ Т *? *

к соответствущий шаровой тензор

Г

J

(

о ,

е„ о

).

(1.5)

3

\ о , о, е„ /

Ревность между тензорами (1.3) и (1.5) называется девиаторныы

тензором деформации

1 „

1

П

2

'

2

eH

D ' - D - D . ; D -

V

ee ;

{

£»

( 1 . 6 )

^ г - £o »

в котором также можно

ввести главные удлинения

е г - е 0 ;

е; = е3 - е 0 ; ё,+ е'г + е'3 - о ,

т.е. девиатор D

определяет деформацию без

объемного

расширения

или деформацию формоизменения.

Важное значение в

теории деформации имеет понятие

интенсив­

ности деформации

сдвига

ъ г=-^r [ | ( 4 <•4 ♦ 4

- «„ еа - е„ е„ -

е„) .

4 ♦<£)]•

(I-7>

В частности, деформации (1.2) в цилиндрических координатах рав­

ны

ди

âur

1

див .

“г

д г ;

°09 Г

д9

г '

еггя дг

âUg

диг

диг

д и г

__

d P ~*

Wn d e ,

(1.9)

где Рп - конечный

вектор; /Г- нормаль к площадке

d б .

^Разлагая силу

Рп

на составляющие по нормали

л" и по касатель­

ной?' к

площадке

<14,

получаем

Рпя «»пП‘ + * п Т *

Л Л °>

Здесь

&пп - нормальные напряжения; &nv - касательные или танген­

циальные напряжения.

Так как через точку

М можно провести бесконечное

число пло­

щадок й б , то существует

бесконечно много сил Рп , соответствующих

этим площадкам. Однако среди данных сил имеются лишь три

линейно

независимые, а остальные могут быть выражены черев них.

В качестве

для малых деформаций

Приведем нелинейный

закон зависимости

rv/ g .,

для

упругого

изотропного тела в форме, изложенной в монографии [10].

Вначале

представим линейный

закон

зависимости в

*

e£j- в форме

&0Ж3К S0 ;

Т-гвО',

(I.I3)

где К,

6

- модули соответственно

объемного сжатия и сдвига,кото­

рые с постоянными Ламе

Л,

связаны

зависимостями

К жЛ + - ^ - си ;

G = (U

(I•14)

Нелинейный

закон

зависимости

л/ e£j

для

малых

деформаций

запишем таким образом, чтобы он в пределе для бесконечно малых

де­

формаций переходйл в закон Гука

CI.13).

Рассмотрим удельную

работу деформации

*

"

U * * *

<*ехх + %

+ ***</еа

+

*

+

* хг d e xz + «уг e ^ x ).

(1.15)

Здесь интегрирование ведется от состояния, при котором все ком­

поненты деформации равны нулю, до

того состояния, при котором

они

представляются

тензором

D .

Если положить

ехя

к

вXX + 6О ,-••

и

учесть,что

^ХХ +

+ ?zz

о ;

d e ' ^

+ c f e ^ *

С(е'г г =0,

то получим

A 0(x,if,z)+A'(x,y,z),

где

D

А0

j j

«.rf е.

(I.I6)

о