книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdf± [9( 1-))f+£(2-tyf->>)h2[№nf+(*mf+(tf/lzf]+
+^ |
L 6^ 8)R7.[^ n f+(^m)z(l)/l2) ] ] (4 -5 i))-'f , (4.16) |
|||
откуда можно |
рассчитать |
их зависимость от размеров пластинки и |
ее |
|
механических характеристик. Здесь $ - коэффициент Пуассона. |
|
|||
Примеры. |
I. Пусть |
начальное состояние пластинки |
|
|
t s in ^ y ) ; уг = 0. |
Тогда |
имеем а я>т=сп>т=0; 6*,r = f o T ï f e r ] * |
~ |
|
-[W } 1; Ьп,т~0 (n,m>1h V - C 4 W { [ « T - K ? ] T
dn ,n r 0 |
|
|
W=t0sin(]{ljc)scn()) y)[bf>tcos(r!(J )t)+ d1t1cos(rf^ t ) l |
(4.17) |
|
2. Боли <f> = l 0 s in 3( У, oc) s in 3( ^ y )', ?г ~ 0 , |
to |
а п>т = |
\г |[ <? ]г{ [ < Я Ч я ? ] 2Я |
|
%,г-|[а{[^-ь::']гГ; |
feSïïT- |
a остальные ( bjj ; d t^ -O . Для W |
получаем выражение |
jst/?(У,cc)stл(V,у)[cos(7^/^,+^ ,cos(rfît)]+
+ sin(yix)sin ())3y )[cos(rjJ3)t ) b lt3+ d u3cos(riy t ) ] +
+Sin(ÿ3X)Sintyy)[b3'^oscrfft)+ d3>,cos(rfft )] +
+Sin(y3x)sin()>3y) [ b3i3cos(^3h)+d3 3aw (/jJf £)]}.
Задача 2 . Для ревения етой задачи имеем граничные условия
|
$ |
- |
$d - o ; |
r - o ■ |
|
(4.19) |
|
Смещение W в силу условия |
(4.18) |
ищем в виде |
|
||||
|
W si o |
K ( y , W n y , x y , |
t e * j L , |
(4.20 |
|||
тогда для |
Wn получаем уравнение в частных производных |
|
|||||
|
d^Wn |
|
о .,2 â‘W„ |
n R â*Wn |
â*w |
|
|
|
~dÿT~c * n - 5 ÿ ir ~ * 0 diizd t* |
d t « |
|
||||
|
+ ( ъ + Щ Ь -д^ г + 1 > п = 0 ' |
(4.21) |
|||||
функцию Wn будем искать, полагая |
|
|
|
||||
|
К(Л^)=Мп(1/)[апзспСг t)+bncos(r t)], |
(4.22) |
|||||
где г - неизвестная частота. |
|
|
|
|
|||
Для |
Н„ из (4.21) |
выводим обыкновенное дифференциальное уравне- |
|||||
Н?-г(£-Вг*)нЦ+ lCr*-(D+2Btf)r2+tf]Hn= О ,
общее решение которого
Н ^ С / ' К С / К + ^ и С ^ » , |
(4.ад |
где
^ 2ф ^ ^ г)±l/( У ^ ^ / Ч c r ,- a ^ * г 8 y > V ] } ' в (4.24)
Репение (4.23) будет удовлетворять граничным условиям (4.19), если ))г связаны зависимостью
которая является уравнением для определения |
неизвестных частот г. |
Найдя частоты г, далее вычисляем смещение |
W, как и в предыду |
щей задаче.
Задача 3 . Ограничимся рассмотрением задачи в плоской постанов ке, т.е. когда O ^cci l f; -оо< у < оо или когда имеем бесконечную по
лову.
Уравнение (4.1) для задачи запишется в виде
д +W |
о» |
d*W |
D â * W _ Q |
(4.26) |
д х * |
ZBdx*dt* |
|
||
|
|
|||
a граничные условия |
|
|
|
|
|
W= d w |
X ~ 0 i x ~ l i ' |
(4.27) |
|
|
|
d ' x ~ ° * |
||
Смещение W идем |
в виде |
|
|
|
|
W= W0(x)[A sln (rt)+ B co sC rt)'] |
|
||
и для определения W0 получаем уравнение |
|
|||
^ |
U |
* r *S |
* (C r * -B r ‘) Wc -- 0 , |
(4.28) |
общее ревение которого |
|
|
|
|
W0=C)e^x+C2e Jt,x+C3e**x + |
|
|||
ГД* |
|
|
|
|
|
У,2=V-Brzt]/Fr*-(Cr*-Dr*). |
(4.29) |
||
Удовлетворяя в решении (4.28) граничному уоловию (4.27), для определения частот г выводим уравнение
Задача 5 . Вновь рассмотрим задач/ в плоской постановке. Тогда граничные условия таковы:
|
|
d*W _d^W_ |
п . |
х - 1 1 |
(4.31) |
|
" ' - w - 0> ~ 0; J â ? ~ д х 3 |
* |
|
|
|||
Удовлетворяя общем/ решению |
(4.28) и граничным |
условиям (4.30, |
||||
для определения частот г |
получаем |
|
|
|
||
|
|
|
j t) ch а ж |
) + |
|
|
+ i, |
|
|
i * )= °- |
<4.32) |
||
Задача 6. В плоской постановке имеем граничные условия |
||||||
И / = М = 0 ; ж = 0 ; |
W |
- J £ - 0 ; |
Я = 11' |
|
||
OOL |
|
|
||||
которые приводят к уравнению для |
г |
|
|
|
||
(4.зз)
Уравнения (4.25), (4.30), (4.32) и (4.33) являются дисперсион ными уравнениями для определения собственных частот колебания плас тинки при различных условиях закрепления ее по краям.
5 3. Вынужденные колебания прямоугольной шарнирно опертой упругой пластинки
Рассмотрим первую, простейшую, задачу о вынужденных колебани ях прямоугольной пластинки. Для ее решения недостаточно лишь одного уравнения (4.1), а необходимо определять и потенциалы <р и (р про дольной составляющей колебания, которые удовлетворяют приближенными уравнениям (4.4) или (4.6).
Вначале найдем смещение W, для чего имеем уравнение (4.1) и граничные условия (4.7), а начальные условия нулевые. Общее решение однородного уравнения (4.1), которое обозначим через W0 , будет
W Jx,u, t)= Z Z s in (h x )s in (jmy)[a„tmsirt(r<” t) 4
" |
n-1 m-0 |
|
4 bntmco s(r(n] l t) 4 cn>msin(r<% t)+ dn>mcos(r<% t)}, |
(4.34) |
|||
гдв |
r j 1'2* |
имев* вид |
|
|
|
|
n9m |
|
|
|
|
|
(U) f[D + Z B (tf+ fm )]± |
^ |
|
||
|
Гп>" |
|
2C |
|
J |
|
Общее |
ревение неоднородного уравнения (4.1) идем в воде |
|||
|
|
|
W=W0 +Wj |
, |
(4.35) |
гда |
W1 - частное решение неоднородного уравнения. |
|
|||
|
Разложим правую часть уравнения (4.1) по соботвеншм |
функциям |
|||
задачи, т.е. |
|
|
|
||
|
|
FZ = £ , % |
F2,nmSLnU n^ S in Um^> |
(4.36) |
|
а частное ревение W1 будем искать |
в воде |
|
|||
|
|
H ' r l Ê / J J t ) s in ( ÿ „ x ) s in O f m<f). |
(4.37) |
||
|
|
я»/ |
* |
|
|
Подставляя (4.37) в (4.1), для определения Р„>т получаем
CP"m№+ZB(iï+tâ)]P"m+(ti+Ü )Fn,m~ Fz,nm•
Об и* ревение этого уравнения
P„,m *Ctsin (r„% t)+C2cos(rn<!>t)+
+CaSin (Г™ t) +C4C0S(r<%t h |
(4.38) |
Применяя метод вариации произвольных постоянных, для Су имеем
J FZ,nmC0S^rn ! m ^ .
S % |
(f)/r |
(г)-а |
r-d)-i2V |
|
К |
« { В |
Д |
} |
|
C - - |
|
coslK.m t] |
||
V fr r (2h - t r (1)Ÿ\ ’ |
||||
°з“ |
||||
|
cr:V/77^L^/nJ |
lrn ,m l J |
||
Следовательно,
-/ |
‘Z,nm |
-J |
_ |
* ~ |
r J ° ( r J Z h ' - lr ^ 1Y |
)•’ |
|
|
Сгп,т \К " J |
Lr^ J |
/ |
r 1-.
V “»(24ïr(2)Ÿ-tr(i)Y\c
^ ( ^ ж > ^ с у т у ) { Й ] 2- K m ] 2} ^
|
/7= 7 / я * 7 |
^ |
|
|
x Г {r/« j |
|
|
|
",m g |
|
(4.40) |
|
|
|
|
Удовлетворяя (4.40) нулевым начальным условиям, находим, |
что |
||
а п т = |
т~ сп т~ ^п,т ~ & Следовательно, решение вадачи о |
вынуж |
|
денных колебаниях для |
смещения W имеет вид |
|
|
^=1, i :,si”(ïnx )sin( L l t ) { t i % f -K m ]2 }*1 *
|
|
t |
|
|
|
|
|
‘ "HT M |
|
(t -*№ |
" |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
~ р 2 г [ |
^ , л т 54/?К , т ( ^ -|т ) ]^ ^} • |
(4.41) |
|||
|
/7,/77 Q |
|
|
|
|
|
Перейдем к чехоаденив потенциалов <р, <р,хпя чего |
воспользуемся |
|||||
уравнениями |
(4.4). Граничные условия для </, ф : |
|
||||
д га> |
д гФ |
, |
. |
д^ср |
д*ф |
|
’’“te?'1 Ф°ш =0 Х=1,у, Ф‘ф г - - ф = 0 (■i'O -.flJ.KlM
Из уравнения (4.4) для <Р и |
граничных условий (4.42) |
оледует, |
|||
что потенциал <р =0, а потенциал У |
ищем в виде |
|
|||
|
< р(х,ц,Ь)= £ |
£ 9 > п,т( Ш п у пх)з1п()Ъ,у). |
(4.43) |
||
|
V |
П ~ 1 |
/77= 7 |
|
|
Для |
имеем уравнение |
|
|
||
|
|
|
|
с * |
|
|
|
|
|
п т о |
|
решение которого
+<ln,mSintC oW +t i |
K,mC0SK ^ n + ^m t l , |
при атом функция F, внешних усилий представляется в виде рядов
F, = £ jE Ft'Kmsin (ÿ a x ) s in ( U it ) |
(4.44) |
Удовлетворяя (4.44) нулевым начальным условиям, определяем про дольную составляющую в задаче I:
|
t |
£ ~ г ~ si nC^nx |
) s i n ( ^ ) \ > <4.45) |
п = 1 т=в rn m |
*0 |
Гп,т=Со Ш ^ т
Формулы (4.41) и (4.45) дают решение задачи о поперечных вынуж денных колебаниях прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по кра
ям.
Нетрудно вычислить потенциал у, решая более сложное уравнение (4.6). Проделывая вышеописанную процедуру, подучаем
9>=-т- Щ ê |
[rf/i,]*} * |
r \ n /1=7 t n = l |
V. |
y |
* {Л 7 Г |
f Fu»msln l ? ! S , ( t - W |
4 |
~ |
Ч т |
Jo |
|
|
t |
|
|
|
- Л г г \ |
|
|
(4.46) |
*п,т g |
|
|
|
I Заг+Ьг |
о 2а*-Ь* |
л |
3 |
о~8ЬЧаг-Ьг)' |
°~4-агЬг(аг-Ь2) ’ |
0 |
С*h2 |
Здесь
Таким образом» задача I о вынужденных колебаниях прямоугольной пластинки решена в сформулированном выше приближении. Для ее реше ния можно привлекать приближенные уравнения, содержащие производные по времени и координатам выше четвертого порядка.
5 4. Свободные колебания вязкоупругих прямоугольных пластин
Исследуем колебание пластинки, проявдяпцей вязкоупругие свой ства при ненулевых начальных условиях, но при внешних нагрузках,рав ных нулю. Ограничимся случаем, имеющим прикладное значение,когда края пластинки шарнирно оперты. Кроме того, будем предполагать, что коэффициент Пуассона пластинки постоянен, т.е. операторы L и М
пропорциональны.
В данной задаче имеем чисто поперечное колебание, а для смеще ния W точек срединной плоскости пластинки - интегродифференциаль-
ное уравнение
M l(àZW)-ZBM0{ A ^ y C j ^ - * D M o( ^ y O , |
(4.47) |
|
где оператор |
^ |
|
о
/(f) - ядро вязкоупругого оператора. Граничные условия для |
прямо |
||
угольной пластинки имеют вод, (4.7)f а начальные условия - (4.6). |
|||
Применив к уравнению |
(4.47) преобразование Лапласа по |
времени, |
|
о учетом начальных условий |
(4.8) для преобразованного |
смещения tV0 |
|
подучим уравнение |
|
|
|
[ l - f 0(p )f/fW B - 2 в р г [1-/0(р)]А W0 + |
|
|
|
+ {cp *+ D p zH -f0(p)]\W0 = F (0)(p , х , у ), |
|
(4.49) |
|
где |
|
|
|
Р (0>(р,х,у)=\£-гА ВЩ [1-Ъ(р)]+Срг}(Р<р1+9г ), |
(4.50) |
||
a f 0(p ) - преобразование Лапласа ядра вязкоупругого |
оаератора. |
||
Вместо величины 1 - f0(p ) возьмем ее приближенное |
выражение |
||
|
р г |
|
|
|
p i . c , p - c, ’ |
|
< 4-я > |
справедливое для любых значений времени при исследовании быотропро-
техающих волновых процессов |
[37] и |
которое переходит в точное |
для |
материала» удовлетворяющего |
модели |
Максвелла. |
|
С учетом представления (4.51) |
уравнение (4.49) принимает |
вод |
|
Аг%-2В(рг+С1р-сг)ДИ/0+(рг+С1р-Сг)* |
|
||
*[D+C(pz+c,p-cz)-\ltf0=F1(0)(p, x,y)i |
(4.52) |
|
рг+с.р-сг |
|
|
Ffw =-- - |
г---[(-2ВА+В)+С(рг+с,р-сг)](ръ+9г). |
|
В силу граничных условий (4.47) функцию И/0 |
будем иокать в |
|
виде |
|
|
% = £ |
2= W„%}sin(#nx)Stn(ïmy), |
(4.53) |
п~ 1m-i
при этом функции |
, <fz начальных условий также положим равными |
Тогда на (4.52) для |
получаем выражение |
|
< = C { c ( f + ciP- c* * |
* |
|
xrp2 + Cfp - ^>)+ ( У ^ ^ ) 2}", |
(4.55) |
|
^ = Р ~ г(Р г+с1Р-Сг ){[28(}>пг + )>* )+Z>]+
+C(p*+ctp - % )}(p y ,tnm+сРгtnm^ *
Выражение (4.55) преобразуем к виду
C = C ^ ' , ^ + | LA û^ ,^ ^ A ô / r î |
(4.56) |
a h P f - T - V |
Ь*г=р*г - T |
- c*'> |
p ^ = à { [D+2B(^ + ^ )]± |
|
|
± I/\ р * г в ц * + ')* |
|
f }. |
Обращая выражение (4.56) по р, подучаем решение задачи [2]
- J J«'^ w W v f- » »«**<,
о о