книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfопускать. Б подвижных координатах эта задача сводится к оледупцей:
д 2и/. |
д гш1 / 2д гЩ |
дш, |
« |
|
|
~ dx?*Zi(,)I>~д хt e ~ ai Uri)i |
|
||
д щ |
|
|
(4.93) |
|
|
|
|
||
|
FW ' У=°> |
Щ =0; у=-Л. |
|
|
|
|
|
|
СО |
□риывним преобразование Лапласа по х , полагая |
exp(-px)dz. |
|||
Для u/Q из (4.93) |
подучаем решение |
|
|
0 |
Щ = |
{ e xP[Pj(Pty1 ~ e*p[-fi1(pK y+ 2h)i[* |
|||
|
|
2 |
|
|
^[r+expC ^/îj/h)]'1- fl2= 2 p - 1 ; |
D > b. |
(4.94) |
||
Введем разложение
!*exp(-z/phf Д ( - ' А я » > ( - г я / / А Д
С учетом представления (4.96) для vJ0 имеем
|
-вхр[-узу(у+2Сл+/М)]|. |
(4.96) |
||
Воли нижняя граница слоя |
- h |
свободна от напряжений, |
т.е. |
|
б у г -О |
или дит/дц. = 0, y - ~ h |
, |
то |
|
+ e xp [-fiÿ (y + 2 (n + 1 )h )]}. |
(4.97) |
Обращая выражения (4.96) и (4.97) по р, подучаем решение |
зада |
чи при двух видах граничных условий на границе ÿ ~ - h : |
|
|
|
|
D |
' |
а д у |
|
' |
|
|
|
(4.96) |
y ,( y ) =M y~ 2nh)'> |
<рг { у ) - - р \ у + г (п+1) ^ > |
||
|
г Л+^У T |
|
г Х~АУ--fih-\ |
По - [ ~ 2 ^ г ] > |
Л »= [ 2y3ft J |
||
ихи
f ^ V « H [ ^ i V - s t y ] * *
+ & & ï |
« |
<*•»> |
[г]- целая часть числа г. Аналогично выписываются выражения для
напряжений ®tfz И 0JCZ •
Формулы (4.98) и (4.99) дают точное решение задачи с учетом ■сей сложной волновой картины в слое при двух видах граничных усло вий на нижней границе у=-/?. Вшишем, например, выражение для напря жения 6yZ,когда граница ^ .--h свободна от напряжений:
*Щ )
+ й { ехр{г1Щ ^ ( ^ ^ х - ^ ( у ^ -
- т Р J
pZf} " (4.100) Описанные задачи можно решать также на основе приближенных уравне ний гл. 3.
Г Л А В А 5
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ
ИВЯЗКОУПРУГИХ КРУГЛЫХ СТЕРШЕЙ
Вданной главе развиваемый подход применяется для вывода урав нений колебания круглых стержней с учетом вязкости материала стерж ня» влияния окружающей среды и температуры. Подучены уравнения про дольного» крутильного и поперечного колебаний круглых стержней. При описании стержня» находящегося в деформируемой среде»рассматривают ся три условия контакта: отсутствие трения (гладкий контакт)»трение
между стержнем и средой по закону Кулона и жесткий контакт.
§ I. Постановка задачи. Общие замечания
Теория продольного колебания стержней впервые была разработана
Похгамером и Кри |
[б]. В этой же |
работе достаточно полно |
отражены |
и ее дальнейшие |
исследования. |
Для вывода классического |
уравнения |
колебания стержня использовались гипотезы плоского сечения при про дольном колебании и гипотеза Кирхгофа для поперечного колебания. Подходом» развитым С.П.Тимошенко и другими» получены гиперболические уравнения для поперечного колебания стержня.
Однако очень мало работ посвящено изучению колебания круглого стержня» находящегося в деформируемой среде» особенно при наличии трения по границе контакта стержень - окружающая среда .Наиболее ин
тересны результаты |
в работах [18» 28» 30]. В частности»в работе [30] |
||||
окружающая среда |
рассматривалась как винклеровская. Для нее |
выве |
|||
дено уравнение продольного колебания упругого |
стержня |
при |
наличии |
||
трения по границе |
контакта. |
|
|
|
|
Как и в предыдущих параграфах» при исследовании колебания плас |
|||||
тин стержень будем рассматривать как трехмерное вязкоупругое |
изо |
||||
тропное тело с постоянными характеристиками» т.е. считаем» что |
ма |
||||
териал стержня и среды однороден. |
|
|
|
|
|
Зависимость между напряжениями бу, деформациями |
ELj- |
и темпера |
|||
турой в общем случае зададим в видеб |
|
|
|
|
|
бГ =^ |
(е(т))+2Мг п ( ^ ]) - ЛТ )кт ^ |
т ^ °> 1 ' |
|
(5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
i*Ji U = r , 6 , z ,
где |
вязкоупругие операторы Lm, Mm, Km имеют такую ке структуру, |
||
как |
и в предыдущих главах. Индекс "О" относится к стержню, |
а "I" |
- |
к окружащей среде. |
|
|
|
|
Вводя потенциалы продольных и поперечных волн по формуле [ 8 |
] |
|
|
Um=grad Фт+rot ['rimZz +rot('r2m?z ) ] , |
(5.2) |
|
уравнения движения сред материала стержня и окружавшей среды приво дим к виду
д гФ |
Nm= Lm+2Mm i |
Л |
|
flZ m |
(беЗ) |
Уравнение, описывавшее распространение температуры, возьмем в виде
Л Т - 1 Ж - |
h w sPÀ w )K"li‘p"~“‘ "'T>' |
<s-*> |
c r d t |
т.е. рассматриваем связную теорию термоупругости при конечной ско рости распространения температуры.
Оператор связности Рт в уравнении (5.4)
|
|
|
Рт |
|
|
(5.5) |
где çj)m\ |
- параметры связности. |
|
|
|||
При исследовании крутильных колебаний стервня граничные |
усю- |
|||||
вия при |
г = г0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6Г9 ~ 6re + Fro> |
°е ~ ие |
9 |
(5.6) |
Здесь г0 |
радиус |
круглого стержня. |
|
|
||
При |
раосмотрении продольного |
колебания стержня будем |
исполь |
|||
зовать |
различные |
виды граничных условий. При |
отсутствии трения |
|||
|
|
|
|
(5.7) |
|
C/rw =t/rf0; |
r = r0 ; |
|
|
при наличии сухого трения Кулона |
|
|||
|
&r°r=6r r +f r ( 2 , t ) i |
|
||
|
|
|
|
(5.8) |
|
^ = ^ r r + f r z ( ^ > |
i ï 0)=ur(,); |
r = r 0 , |
|
где |
p0 - коэффициент трения, |
и при местком контакте |
||
|
< C = e " }+ fr (T, t) ; |
|
6 ^ = 6 ™ + frz ( z , t ) ; |
|
|
|
|
|
(5.9) |
|
Vr(0)=U<1); |
UÏ0)= U “\ r - r . |
||
|
Во всех четырех граничных сусловиях (5.6) - (5.9) искомые функ~ |
|||
ции |
от угла в не зависят* |
|
|
|
та |
Для поперечных колебаний |
возьмем лишь условия гладкого контак |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
#((»_ е!(1) _ п . |
|
|
&r r )~e r r +f r i z>Q>t)> *>г9 ~ бгв |
~ О • |
||
|
|
|
|
(5,10) |
(о)-гг(О и ^ = и у .
При рассмотрении термоупругих волн будем предполагать, что окружапцая ореда отсутствует, и тогда для температуры Т при г = г0 можно задавать одно ив условий
T = f 0 (z , t ) } |
(5,11) |
(5.12)
j ^ = H[/2 ( z ,t ) - T \ . |
(5.13) |
Начальные условия для всех описываемых задач будем считать ну левыми.
$ 2. Уравнения крутильного колебания круглого стержня» находящегося в деформируемой среде
Крутильное колебание описывается лишь потенциалами
оо
(""°л |
(6-и > |
оL
при атом функция» входящая в граничные условия (5.6)»
Р^ - а $кгМ 1^ еХр(1,тр- |
<5Л5) |
оI
Для потенциалов |
решения» |
ограниченные при |
г * |
0 и |
оо , |
соот |
|
ветственно будут |
|
|
|
|
|
|
|
K v- w / v b |
|
|
|
|
<s*le) |
||
À S,=A >P 2 <,'»***■ |
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия (5.6) преобразуются к виду |
|
|
|
||||
|
Po'o |
)- h (fioro)] Вю ' ^ Г х |
|
|
|
||
|
J |
moo |
|
|
|
||
X^1 |
|
|
~ Mog f r i » |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(5.1?) |
Bto b * i( fio rJ + *n A ,KM |
r») = °- |
|
|
|
|
||
Искхвчая на (5.17) поотояннув интегрирования |
В}1, |
подучаем |
|||||
PQ \ jÇ ^ i(fio ro)~I.o(Poroî\&io |
* |
|
|
|
|||
* |
^ о го ) \_-jr |
ро) ~\Ôio=Moo fr s |
> |
|
(5.18) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fio |
h ( W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
K,(fi,n>> ‘ |
|
|
|
|
|
|
При носявдовании волновых процессов при крутильных |
колебаниях |
||||||||||
аргументы функций |
K^(fi1rg ) |
велики |
(большие значения |
Р), и |
тогда |
||||||
с большой отапеньв точнооти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
K0(Piro) |
= 1 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(fif ro) |
|
|
|
|
|
|
|
Преобравованное перемещение точек отершня |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.19) |
Разложим правую часть |
в |
(5*19) |
в степенной рдд по г |
|
|
||||||
|
Tj(°)-_Sr /д2о |
|
2п+1 |
|
|
|
|
||||
|
»лгп (Г/2) |
|
|
|
(5.20) |
||||||
|
и°>°~ |
Êo(P°B,o)fio п!(п+1)! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
и введем главную часть |
V$ 0=-(fi%Bfo).Torда вместо |
(5.20) |
|
получим |
|||||||
представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*'° |
|
»-о |
|
|
п!(п+1)! ‘ |
|
|
|
|
(5.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обрацая (5.21) по к |
и |
р 9 имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
r r ( ° L ë |
,Wr/ |
|
|
. |
,(•/») Г . u - i f j h |
Л |
Х |
o,v |
|||
* |
Уфп!(п*1)1* |
Х* ~\Р°М° \ât2) |
д г г |
|
J |
(5,22) |
|||||
Таким образом, главная часть смещения |
однозначно |
определя- |
|||||||||
ет распределение перемещения |
Ug |
и напряжений в-^по оеченив |
стерж |
||||||||
ня. Для нахождения Vg имеем граничное условие |
(5.18), откуда пожуча- |
||||||||||
JL tt*0
которое является точным уравнением крутильного колебания вязкоупру гого круглого стержня в деформируемой вязкоупругой среде. При М^=0 выводим уравнение крутильного колебания стержня при отсутствии сре ды. Оператор R$ в (5.23) в общем случае сложен. Однако для волно вых процессов приближенно
RCГ)=г |
Ц г(д z\ |
(5.24) |
|
» \ d t ) ‘ |
|||
|
|
||
Ограничиваясь в (5.23) производными по z |
и t не в ш е второго |
||
порядка, для Ve получаем приближенное уравнение
r)v>=
(5.25)
V
которое для упругого стержня и при /Ит =<ит ; Fre= 0 переходит в клас сическое
1 |
д г У9 |
t f â t 2 |
д г 2 |
Как видно из (5.25), для упругих стержня и среды окружащаясре да влияет на колебание стержня не как винклеровская, а кая среда о вязкой моделью.
Напряжения в стержне
(5.26)
Аналогично можно вывести приближенные уравнения более высоко го порядка по производным.
5 3. Уравнения продольного колебания стержня. Гладкий контакт
Продольные колебания круглого стержня* находящегося в деформи руемой среде* описываются потенциалами Фт9 при этом гранич ные условия имеют вид (5.7). Данные потенциалы положим равными
|
0 |
|
|
t |
|
(5.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* £ ’« * / * * * . |
||
Д м Ф„ \ |
получаем обыкновенные дифференциальные урав |
|||||
нения |
|
|
|
|
|
|
“ г€ \ < |
<мч.__и , ф |
^ |
Т2т ! 1 ит2т |
|||
|
<» |
|
< t * i £ . t < n £ |
- f i X = o . |
||
d r* ' г |
d r |
'Х’т *гп ПUt |
d r z |
г dr |
||
~т m-'r |
|
|||||
ревения которых, |
ограниченные при |
г= 0 и |
° ° , соответственно имеют |
|||
Р / ' Ч Л К ' * |
? / ' - W V > ï |
^ o = SoI0(fi0r ) i |
||||
|
|
|
|
|
|
(5.28) |
n ,V - к°(Ь Г)'> Лт~Рт PZ^mO+
Преобразованные величины перемещений и(^т\и^0 черев постоян ные интегрирования A jp Bj представляются как
^rto |
kfl0BoIi(flcr ) * |
U C°?o=k A o Io ( « o ' ' ) - / o B o I0 (fior > >
иг,1~~л 1A1K1(x1r)+kfi1Bf К^(р^г) ;
“% = kAi Ko(°c,r)-flfB 1K0(/itr ) .
Разложим ц (°1 ; «jfjj * степенные |
ряды |
|
||
„ < « = £ |
(А а гп+г- к В |
агп+г) {г,г^ ' • |
||
ич* & |
ол * |
к а оРо |
} П!(п+1)1 • |
|
Введем главные части выражений (5.29)
UQ- &Q Ад кр0 В0 \ WQ |
кА0-fio В0 , |
(5.30) |
которые определяют смещения при г = 0, и |
тогда (5.29) черев |
(5.30) |
эапищутся как
п-о
(5.31)
Для определения Ад,В 0,А 1,В 1 имеем граничные условия (5.7),ко торые принимают вид
го{ № ^ 2л С +('-'.Н!" ~ ( ^ о “Ч г”)]ц,-
(г ./г )£п
(5.32)
2 « , ^ K O > V A ^ * 4 ( A ' . ) A = < / , - ' ? J
«j K1(<*fr0 |
Ki(fiir0)B1= - U<°J t |
Исключая иэ (5.32) для UQt И/ получим уравнения