книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

4

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие представляет собой вторую из трех частей, объединенных общим названием «Теория электрических цепей».

Впервой части были рассмотрены основные понятия и законы теории линейных электрических цепей, методы расчета линейных электрических цепей с источниками постоянных и гармонических воздействий, цепи с взаимной индуктивностью, резонансные режимы в электрических цепях.

Впредставляемой второй части изложены вопросы, связанные с расчетом линейных электрических цепей с источниками периодических негармонических воздействий, теория четырехполюсников и аналоговых электрическим фильтров.

Изложение теоретических вопросов сопровождается практическими материалами, вопросами и заданиями для самоконтроля разнойстепенисложности, атакжеирасчетно-графическимиработами.

Часть заданий носит характер проверочных и предполагает краткие ответы. Большинство же требует понимания основных теоретических положений, методов анализа и особенностей их применения. Такие задания сопровождаются ответами, приведенными в конце учебного пособия. Несмотря на кажущуюся легкость некоторых заданий, рекомендуется их не пропускать, поскольку сформулироватьнаних правильный ответ невсегда просто.

Взаключение считаем своим долгом выразить искреннюю благодарность ученому-электротехнику, доценту А.А. Рябухе за развитие представляемой учебной дисциплины на электротехническом факультете ПНИПУ, а также за участие в подготовке этого пособия, обобщающего, кроме прочего, и его многолетний опыт работы и включающего разработанные им практические задания.

5

1.ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

СИСТОЧНИКАМИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Периодическими несинусоидальными токами и напряжения-

ми называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. На рис. 1.1 представлена такая кривая, период повторения которой Т. Эта кривая может быть описана функцией

2.Источник тока или источник напряжения генерирует синусоидальный ток или синусоидальную ЭДС, но один или несколько элементов цепи нелинейны (вентиль, электрическая дуга, катушка со стальным магнитопроводом).

3.Воздействие периодических помех на синусоидальный сигнал.

4.Использование генераторов сигналов специальной формы (пилообразной, ступенчатой, прямоугольной) в автоматике, вычислительной технике, в различных устройствах радиосвязи.

Существуют два пути расчета линейной электрической цепи при воздействии сигналов такой формы:

1.Применение специальных математических приемов, отражающих состояние цепи в каждый момент времени, что приводит

ксложной системе дифференциальных уравнений.

6

2. Сведение сложной задачи к совокупности более простых и применение известных методов расчета их с учетом особенностей воздействующего сигнала.

Известно, что любая периодическая несинусоидальная функция f(t) с периодом 2 , удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на каждом конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд, т.е. быть представлена в виде суммы гармонических составляющих – ряд Фурье. Все периодические сигналы в реальных физических цепях удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому проводить проверку на выполнение условия Дирихле нет необходимости.

Гармонический ряд в тригонометрической форме имеет вид

f (t) F0 A1m cos 1t B1m sin 1t A2m cos2 1t

B2m sin 2 1t Akm cos k 1t Bkm sin k 1t (1.2)

F0 (Akm cos k 1t Bkm sin k 1t),

k 1

где F0 – постоянная составляющая или нулевая гармоника, рав-

ная среднему значению функции за период; Akm и Bkm –амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих.

Как известно из курса математики, коэффициенты ряда Фурье F0 , Akm и Bkm определяются с помощью формул:

Сумма косинусоид и синусоид, выражаемая формулой (1.2), может быть представлена в так называемой амплитудно-фазовой форме в виде суммы только одних синусоид с соответствующими начальными фазами:

7

Fkm sin k 1t k F0 Fkm sin k 1t k ,

k 1

где F0 – постоянная составляющая; f1 – основная синусоида, или первая гармоника; f2, …, fk – высшие гармоники; Fkm – амплитуда k-й гармоники; k – начальная фаза k-й гармоники; 1 – частота

повторения первой (основной) гармоники, 1 2T ; Т – период

несинусоидальной периодической функции.

Гармоники, для которых индекс гармоники k – нечетное число, называют нечетными, для которых k – четное число, –

четными.

Поскольку

Fkm sin(k 1t k ) Fkm sin k cosk 1t Fkm cos k sin k 1t ,

то из сравнения двух форм записи гармонического ряда (1.2) и (1.3) имеем

Соотношения (1.4) позволяют переходить от ряда Фурье в амплитудно-фазовой форме (1.3) к тригонометрической форме (1.2). Обратный переход осуществляется по формулам:

В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов. Но поскольку ряд Фурье является сходящимся, в зависи-

8

мости от требуемой точности можно рассматривать некоторое конечное число гармоник.

Приборы, называемые гармоническими анализаторами, позволяют определять коэффициенты Akm и Bkm или механически – по заданному графику кривой f(t), или электрически – путем подачи на зажимы прибора исследуемого несинусоидального напряжения. Следует отметить, что в связи с ростом быстродействия вычислительной техники и разработкой специализированных процессоров для реализации разложения кривых в ряд Фурье появилась возможность быстрого преобразования.

Периодические несинусоидальные функции, описывающие изменения токов или напряжений в электрических цепях, обычно обладают каким-либо видом симметрии, и это облегчает разложение их в ряд Фурье.

Например, кривая, симметричная относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов по времени (рис. 1.2, а), удовлетворяет условию f t f t T2 и в разложении этой функции

в тригонометрический ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. Кривая, представленная на рис. 1.2, б, симметрична относительно оси ординат, т.е. f t f t , такие

9

функции называются четными, в этом случае тригонометрический ряд Фурье не содержит синусоидальных составляющих. Кривая (см. рис. 1.2, в) симметрична относительно начала координат, т.е. f t f t , это нечетная функция, ряд Фурье имеет

только синусоидальные составляющие.

Условие симметрии относительно оси абсцисс не зависит от выбораначала отсчета времени, остальные виды симметрии связаны с выбором начала отсчета времени. Если начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, то целесообразно его выбирать такимобразом, чтобы получитьнаибольшую симметрию.

В ряде случаев целесообразно представить ряд Фурье в комплексной (экспоненциальной) форме:

1 q

f (t) T e jq 1t F( jq 1) , (1.6)

q

где

T2

В выражении (1.6) каждой k-й гармонике соответствует сумма двух сопряженных членов (при q = + k и при q = – k), равная удвоенной вещественной части каждого из этих членов:

где k 2 k .

10