книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

Если схема состоит из n четырехполюсников, справедливо равенство:

где Aэ – эквивалентная матрица, равная произведению n матриц,

n

Aэ Ak .

k 1

Таким образом, матрица А-параметров каскадно соединенных четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров от-

ной схеме (рис. 2.9) и подключить на выходе второго четырехпо-

81

Рис. 2.9

Если цепная схема будет состоять из n согласованных четырехполюсников, то

где Un 1 – напряжение на выходе последнего четырехполюсника.

В схеме, состоящей из n согласованных симметричных четырехполюсников,

n

U1 Un 1ek 1 k .

2.13.2. Параллельное соединение

Припараллельномсоединениичетырехполюсников(см. рис. 2.10) напряжения на входе и выходе четырехполюсников равны:U1 U1 ,

U2 U2 , т.е. являются общими для всех четырехполюсников.

Поэтому в качестве системы, описывающей это соединение, следует выбирать систему уравнений в Y-параметрах. Для схемы (см. рис. 2.10) справедливо равенство:

Просуммировав эти выражения с учетом того, что I1 I1 I1 ,

82

I1 I2

Рис. 2.10

Если параллельно включено n четырехполюсников, то

Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y-параметров есть сумма матриц Y-параметров отдельных четырехполюсников.

2.13.3. Последовательное соединение

При последовательном включении четырехполюсников

(рис. 2.11) токи I1 I1 I1 , I2 I2 I2 , т.е. являются общими для всех четырехполюсников. Для математического описания соединения удобно воспользоваться уравнениями четырехполюсника в Z-параметрах:

83

Рис. 2.11

Просуммируем эти выражения с учетом того, что U1 U1 U1 ,

U2 U2 U2 :

Если в схеме n четырехполюсников включены по последовательной схеме, то:

Таким образом, при последовательном соединении четырехполюсников матрица Z-параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z-параметров отдельных четырехполюсников.

Выражения (2.53) – (2.58) дают возможность перейти от сложных схем соединения четырехполюсников к схемам, состоящим из одного четырехполюсника с соответствующими параметрами эквивалентных матриц.

84

2.14. Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: параметры симметричной мостовой схемы (рис. 2.12, а):

Z 1 20 Ом, Z 2 60 Ом.

Найти: зависимость входного сопротивления схемы от сопротивления нагрузки.

ирешение сводится к отысканию А-параметров.

Всоответствии с п. 2.4 определим А-параметры при помощи режимов холостого хода и короткого замыкания, для чего преобразуем схему (рис. 2.12, б) и найдем входные сопротивления соответственно холостого хода и короткого замыкания со стороны первичных и вторичных выводов. Поскольку четырехполюсник симметричный, сопротивление холостого хода со стороны первичных выводов совпадает с сопротивлением холостого хода со

85

стороны вторичных выводов. Аналогичное утверждение верно

идля сопротивлений короткого замыкания.

Врезультате получаем:

Задача 2.

Дано: параметры согласующего трансформатора (рис. 2.13): коэффициент связи k = 0,5; R2 = 4R1 = 40 Ом; X2 = 4X1 = 40 Ом; сопротивление нагрузки RН = 10 Ом.

Найти: А-параметры и входное сопротивление трансформатора со стороны первичных выводов, построить Т-образную схему замещения.

86

Решение.

Составим уравнения трансформатора по второму закону Кирхгофа с учетом того, что при указанном направлении токов включение обмоток катушек встречное:

U1 Z1I1 Z M I2 ,

0 Z 2 I2 Z M I1 U2 .

Выразим из уравнений трансформатора первичные напряжения и ток через вторичные напряжения и ток, для чего из второго уравнения выразим первичный ток:

и подставим его в первое уравнение:

Сравнение полученных уравнений с уравнениями четырехполюсника в А-параметрах для прямого питания (2.9) позволяет получить искомые А-параметры:

В полученных выражениях:

Z 1 R1 jX1 10 j10 Ом; Z 2 R2 jX 2 40 j40 Ом;

Z M jX M ; X M k X1 X 2 10 Ом.

Подставляя численные значения, получим:

A11 1 j ; A12 80 j10 Ом; A21 j0,1 Ом-1; A22 4 j4 .

87

Входное сопротивление трансформатора

11,22 j9,024 14,4e j38,5 Ом.

Для определения параметров эквивалентной Т-образной схемы воспользуемся формулами (2.21):

Z 2 A22 1 40 j30 Ом.

A21

Эквивалентная Т-образная схема представлена на рис. 2.14. Т-образную схему замещения можно было получить, произ-

ведя развязку индуктивной связи (рис. 2.15).

Задача 3.

Дано: напряжение на входе четырехполюсника (рис. 2.16) U1 100 В, частота 1000 с-1; параметры четырехполюсника:

L = 0,01 Гн, C = 500 мкФ.

Найти: характеристические параметры, напряжение и ток на согласованной нагрузке.

88

Решение.

Определим параметры эквивалентной симметричной Т-образ- ной схемы замещения по формулам (2.19), помня о том, что у эквивалентного четырехполюсникапараметры A11 A22 :

Проверка правильности расчетов:

det A A11 A22 A12 A21 ( 4)2 ( j30) j0,5 1 .

Определимхарактеристическиепараметрычетырехполюсника:

89

Коэффициент затухания (ослабления) 2,06 Нп, коэффициент фазы 3,14 рад.

При согласованном режиме входное сопротивление симметричного четырехполюсника равно характеристическому. Следовательно,

Обратите внимание, что выходные электрические величины по сравнению с одноименными входными величинами сдвинуты по фазе на угол 180°.

Найти: А-параметры составного четырехполюсника.

Решение.

Первый способ. Схема (см. рис. 2.17) содержит два четырехполюсника, соединенных каскадно. А-параметры первого четырехполюсника заданы в условии задачи. А-параметры второго четырехполюсника (обведен пунктиром) определим, представив четырехполюсник в виде симметричной Т-схемы с параметрами:

90