§ 23.7. Неравномерное распределение тока в прямоугольной шине, находящейся в паазу электрической машины. Расположим оси декартовой системы в соответствии

b-ширина, h-высота паза.Магнитная проницаемость шины проницаемость шины μ_а .Магнитную проницаемость ферромагнитного материала, в котором сде­лан паз, полагаем очень большой, теоретически стремящейся к бесконечности. При этом допущении индукция в ферромагнитном материале будет конечна, а напряженность поля в нем будет стремиться к нулю. В шине H направлена по оси у, Е — по оси х. Вектор Пойнтинга направлен по оси z. Электромагнитная волна прони­кает из диэлектрика в шину через наружную поверхность mnsq и по мере проникновения в шину затухает по амплитуде. Б По зако.ну полного тока при 2 = О Н— lib, при г= h H = 0. Для определения постоянных интегрирований С_х и С_г в выражении

с рис. 23.7. а. Обозначим: I—ток по шине;

Графики модулей Н и Е по высоте шины изображены на рис.23.7,б и в.

§ 23.8. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе. По цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток I частотой ω, Требуется вывести формулы для определения плотности тока и напряженностиН в любой точке сечения провода. Полагаем обратный провод настолько далеко удаленным от прямого, что влияние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать. Решение проведем в цилиндрической системе координат (рис. 23.8).

Плотность тока направлена по осиz, поэтому =z₀. Воспользуемся

уравнениями (23.1) и (23.2), предварительно умножив последнее на γ Получим

В установившемся режиме div = 0. Поэтому² = jωγμ_а; Раскроем ² в цилиндрической системе координат [см, формулу (19.30)] и учтем, что от α и отz не зависит. Получим

Уравнение (23.33) является частным случаем уравнения Бесселя (15.4) при р — 0. Роль х играет qr, а роль у —

Как известно из курса математики, решение уравнения (23.33) можно записать следующим образом:

где А и В — постоянные, интегрирования; J₀ (qr)— функция Бесселя нулевого порядка первого рода; N₀ (qr) — функция Бесселля нулевого порядка второго рода.

Функция N₀ (qr) обладает той особенностью, что при qr — 0,(т. е. на оси провода при r = 0) она обращается в бесконечность. Но из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое BN₀ (qr) в решении отбрасываем (принимаем В = 0). Следовательно,

где J₁ (qr)— функция Бесселя первого рода первого порядка. Определим постоянную интегрирования А. С этой целью по закону полного тока найдем Н на поверхности провода (при =а) и приравняем его значению Н, которое получается из формулы(23.36):

C помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения провода. Радиус г может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси r = 0; для точек на поверхности r = а. Так как J (0) = 1,(см.табл.23.1) то плотность тока на оси провода:

				Таблица 23.1
	Таблица модулей и аргументов функций (qr) и				J1 (qr)
rJа	b0	β0 b1		Β1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,015 1,229 1,95 3,439 6,231 11,501 21,548 40,82 77,96 . 149,8	0 14,22 52,28 . 96,52 138,19 178,93 219,62 260,29 300,92 341,52 382,10	0 0,501 1,041 1,80 3,173 5,812 10,850 20,50 39,07 74,97 144,58	—45,00 —37,84 — 16,73 + 15,71 53,90 93,55 133,45 173,51 213,69 253,95 294,27

Пример 222. По стальному проводу [γ = 10⁷ (Ом • м)-¹; μ= 10³] диаметром 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А частотой 50 Гц. Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.

Решение.

§ 23.9. Применение теоремы Умова — Пойнтинга для определения активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников при переменном токе. Активное и внутреннее индуктивное сопротивления проводников при переменном токе часто определяют с помощью теоремы Умова — Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в 1 м и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику; получают комплексное сопротивление проводника на единицу длины.

146