- •Часть III
- •§ 19.2. Закон Кулона. Два точечных заряда qt и q2 в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой f, прямо пропорциональной
- •§ 19.3. Напряженность и потенциал электростатического поля.
- •§19.6. Выражение напряженности в виде градиента потенциала.
- •§ 19.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической системах координат. В цилиндрической системе (обозначения см. На рис. 19.4, а):
- •10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества.
- •§ 19.12. Вектор электрической индукции . Кроме векторов е и р в электротехнических расчетах используют еще вектор электрической индукции, или вектор электрического смещения d.
- •§ 19.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат.
- •§ 19.20. Граничные условия. Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с разными электрическими свойствами.
- •§ 19.21 Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.
- •§ 19.23. Условия на границе раздела двух диэлектриков. На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическим проницаемостями выполняются два следующих условия:
- •§ 19.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения. В зависимости от того, что задано и что определяют, задачи электростатики можно подразделить на три типа.
- •§ 19.35. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла. Решим систему (19.48) относительно зарядов, полагая потенциалы φ и коэффициенты α известными:
- •§19.36. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла.
- •§19.37, Поле точечного заряда, расположенного вблизи проводящей сферы.
- •§ 19.38. Поле заряженной оси, расположенной параллельно цилиндру. Рассмотрим две родственные задачи на изображение в диэлектрическом и проводящем цилиндрах.
- •§19.39. Шар в равномерном поле. Если в равномерное поле (направлено сверху вниз: вдоль оси — z), напряженность которого
- •§ 19.40, Проводящий шар в равномерном поле. Для определения
- •§ 19.43. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях. В литературе можно встретить термины «плоскопараллельное поле», «плоскомеридианное поле» и «равномерное
- •§ 19.44. Графическое построение картины плоскопараллельного поля.
- •§ 19.47. Энергия поля системы заряженных тел. Энергия поля, образованного системой п заряженных тел, имеющих потенциалы φ1.... Φn и заряды q1…..Qn
- •§ 19.48. Метод средних потенциалов. Как уже говорилось в электростатическом поле, образованном системой заряженных проводящих тел, все точки поверх-
- •§ 19.49. О расчете электрических полей, создаваемых диэлектриками, сохраняющими остаточную поляризацию при снятии внешнего поля. Поле, которое создает
- •§ 20.3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме.
- •§ 20.4. Дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца. В гл. 1
- •§ 20.8. Экспериментальное исследование полей. Если форма гра- ничных поверхностей (электродов) сложна, то аналитический расчет
- •§ 21.3. Дифференциальная форма закона полного тока. Соотношение (21.3) пригодно для контура любых размеров, в том числе и для весьма малого.
- •§ 21.7. Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической системах координат. Без вывода приведем выражение проекций
- •§ 21.14. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала. Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность ,
- •§ 21.17. Задачи, расчета магнитных полей. Рассмотрим некоторые типы
- •§ 21.18. Общая характеристика методов расчета и исследования
- •§ 21.19. Опытное исследование картины магнитного поля. Опытноеисследование картины магнитного поля производят различными методами.
- •§ 21.21. Магнитное экранирование, Положим, что в равномерном магнитном поле напряженностью н0 надо заэкранировать некоторую область пространства, например цилиндрическую, так, чтобы напря-
- •§ 21.26. Магнитное поле намагниченной пленки (ленты). Магнитная пленка
- •§ 21.28. Выражение механической силы в виде производной от энергии маг нитного поля по координате. Положим, что в системе из п контуров с токами
- •§ 22.2. Первое уравнение Максвелла. Первое уравнениеМаксвела записывают следующим образом
- •§ 22.3. Уравнение непрерывности. Линии полного тока
- •§ 22.4. Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла
- •§ 22. 6 Теорема Умова - Пойнтинга для мгновенных значений.
- •§ 22.7. Теорема Умова —
- •§23.1. Уравнения Максаелла для проводящей среды. Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью у и магнитной проницаемостью μа.
- •§23.3. Распространение плоской электромагнитной. Волны в однодном проводящем полупространстве. Рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны в однородной
- •§ 23.7. Неравномерное распределение тока в прямоугольной шине, находящейся в паазу электрической машины. Расположим оси декартовой системы в соответствии
- •§ 23.10. Экранирование в переменном электромагнитном поле.
- •§ 24.2. Плоские волны в однородных и изотропных полупроводящих средах.
- •§ 24.3. Граничные условия на поверхности раздела двух полупроводящих сред
- •§ 24.4. Переходные и релаксационные процессы в несовершенных диэлектриках. Процессы в полупроводящих средах должны удовлетворять уравнению непрерывности: .
- •§24.7. Тензор магнитной проницаемости феррита. Сначала вспомним, что, на зывают прецессией.
- •§ 25.1. Вывод уравнений для Аи φ в переменном электромагнит-
- •§25.3. Комплексная форма записи запаздывающего векторного потенциала. В гл. 21 [см. Уравнение (21.27)] отмечалось, что состав- ляющая векторного потенциала от элемента линейного тока idl
- •§ 25.4. Излучение электромагнитной энергии.
- •§ 26.5. Аналогия между волноводом и линией с распределенными параметрами.
- •§ 27.7. Движение заряженных частиц в кольцевых ускорителях. Циклотрон представляет собой две полые камеры в виде полуцилиндров нз проводящего неферро-
- •§ 28.2. Уравнения магнитной гидродинамики. Систему уравнений магнитной гидродинамики образуют следующие группы уравнений.
- •§ 28.7. Эффект сжатия (пинч-эффект). В цилиндрическом столбе электрической дуги (рис. 28.4) нити тока параллельны'. Каждый элемент этой нити находится в маг-
- •§ 28.9. Принцип работы магнитного гидродинамического генератора. Через канал с большой скоростью V продувают плазму, нагретую до высокой температуры
- •Часть III
§ 22.7. Теорема Умова —
Пойнтинга в комплексной формезаписи. Перед тем как записать теорему Умова — Пойнтинга в комплексной форме, рассмотрим вопрос о полной мощности в цепи
переменного тока. Полная мощность S = UI = Р + jQ.
Пусть цепь переменного тока содержит последовательно соединенные активные сопротивления R,. индуктивность L и емкость С. Тогда реактивная мощность
где Uc—напряжение на конденсаторе.
Таким образом, реактивная мощность Q равна разности между
магнитной vм и электрической wэ энергиями цепи, умноженной на 2.
Подобно тому как в цепи переменного тока для вычисления полной
мощности S надо умножить комплекс напряжения U на сопряженный
комплекс тока I, вводится в употребление комплексный вектор Пойнтинга
Первое слагаемое правой части (2-2.13) представляет собой активную мощность, второе — реактивную. Таким образом, теорему Умова— Пойнтинга можно записать еще следующим образом:
В таком виде ее часто используют для определения активного и внутреннего реактивного сопротивлений проводников на переменном токе (подробнее см. § 23.7).
§ 22.8. Некоторые замечания к § 22.1. Первое замечание. В уравнения Макс- велла входят параметры εа, γ, μа, характеризующие усредненные в пространственном и временном смысле свойства вещества. При низких частотах эти параметры представляют собой действительные (некомплексные) числа— такими и будем их считать в курсе ТОЭ. При высоких частотах в диэлектриках существенную роль начинают играть диэлектрическая вязкость и другие процессы.
В ферромагнитных веществах резко сказываются явления гистерезиса, маг- нитной вязкости и ряд других. В силу этих причин ε, γ, μ оказываются функциями частоты и комплексами .
Убедимся в том, что вязкостные процессы при поляризации диэлектриков с полярными молекулами приводят к тому, что ε становится комплексным числом.
Обозначим —напряженность поля, обусловленную приложенным к конден- сатору напряжением u; .например, для плоского, конденсатора с. расстоянием d между обкладками Еп = u./d; ЕД — действующая на диполи.полярных молекул напряженность поля, вызывающая их поворот.
За счет вязкостных процессов при поляризации (повороте) полярных молекум EД< Eп на величину, пропорциональную скорости поляризации:
* Зависимость параметров веществ от частоты впервые была обнаружена русским ученым В. К. Аркадьевым в 1908—1911 гг. Физическое объяснение этим явлениям было дано им в 1913 г. в работе «Теория электромагнитного поля в ферромагнитном металле».
128
Первое слагаемое правой части находится в фазе с приложенным напряжением, второе на 90° его опережает. Тангенс угла потерь, несовершенного диэлектрика (см.
§3.9) tgα = εП+γ/ω/εИспользуя уравнение (16.34) § 16.8-для вязкостных процессов в ферромагнетиках, можно вывести аналогичные формулы и для.: комплексной магнитной проницаемости в предположении, что вихревые токи отсутствуют.
Заметим, что дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора с вязким диэлектриком через сопротивление R от источника постоянной; э. д. с, если учесть вязкостные процессы по уравнению (22.14), будет иметь второй (не первый!) порядок.
Второе замечание. В § 22.2 рассматривалось первое уравнение Максвелла (22.1) В правой части этого уравнения записаны две плотности тока — проводимости и электрического смещения εа dE/dt. Но кроме токов проводимости и электрического смещения существует третий вид тока—ток переноса (это собирательное название).
Под током переноса понимают ток, природа которого отлична от природы тока проводимости и тока смещения, это, например, toк возникающий в электронной лампе вследствие явления термоэлектронной эмиссии. Плотность тока переноса равна объемной плотности переносимых зарядов ρ, умноженной на скорость их переноса ν. _
Если ток переноса создается движением со скоростью v+ положительно заряженных частиц с объемной плотностью р+ и движущихся со скоростью v_ отрицательно заряженных частиц с объемной плотностью р., то плотность тока переноса равна ρ+ν++ р- v- Ток переноса, так же как и остальные виды токов, создает, магнитное поле.
С учетом тока переноса первое уравнение Максвелла записывают следующим образом:
rot H= +εа + pv.
1/25 Зак. 1730 129
Для тех задач, которые рассматриваются в ч. III учебника, ток переноса отсутствует, поэтому первое уравнение Максвеллами взято в форме (22.1).
Третье замечание. При чрезвычайно высоких частотах, когда длина электромагнитной волны становится соизмеримой с линейными размерами, характеризующими молекулярную структуру самого вещества, вещество уже нельзя рассматриватькак континуум. В этом случае уравнения Максвелла должны быть заменены уравнениями квантовой теории поля..
Четвертое замечание. В Курсе ТОЭ в основном рассматривают поля в изотропных линейных средах. В них вектор В = μаH совпадает по направлению с вектором H, вектор D = εа E совпадает по направлению с E и вектор =γЕ с Е. В изотропных средах μ, ε и γ представляют собой некоторые постоянные числа не зависящие от величины H или E (но зависящие от частоты). Если проекции вектора Bна оси х, у,z обозначить Вх, Ву, Вz, а проекции H — через Нх, Нγ, Нz, то для изотропных сред Вх= μаHx, Ву= μа Hγ,Bz= μаHz. Аналогично, Dх= εаЕх;Dy= εаEy;Dz= εаEzих= γЕхи т. д. В анизотропных средах В = μаH не совпадает по направлению с Н, D с Е, с Е. Любая проекция В, D и зависит не толькоот одноименной проекции H или Е, но и от разноименныхи.проекций. Так, Вх зависит не только от Нх, но и от Hy Нz; Bx = μxx Hx + μху Ну + μxz Hz; аналогично, Вy = μухНх + μуу Ну +μ yzНz, где μxx , μух, , μxz — составляющие тензора магнитнойпроницаемости μа
Подобные выражения существуют и для тензоров εаи γ.
§ 22.9. Основные положения электродинамики движущихся сред (основы релятивистской электродинамики). Положим, что имеются две системы отсчета координат и времени. Одна система неподвижна, имеет начало в точке О, координаты произвольной точки в ней х, у,z и время t (система О): Другая система отсчета связана с движущейся по отношению к предыдущей системе отсчета средой, имеет начало: в точке O1, a координаты той же точки в ней x1; у1, z1 и время t (система О1). Допустим , что в момент времени t= 0 обе системы координат совпадают и что скорость движения среды v направлена по оси х. Тогда в соответствии с теорией относительности можно записать преобразования Лоренца, связывающие координаты и время в обеих системах отсчета:
где с — скорость света, β= v/с.
Обозначим напряженность электрического поля и магнитную индукцию в произвольной точке, которые бы измерил наблюдатель, неподвижный по отношению к системе О, соответственно какЕ и В. Физически E означает силу, действующую наединичный покоящийся заряд в системе 0, а В — силу, действующую на единичный элемент тока, неподвижный в системеО: Е =iEx + jEy+kЕz; В =iBx+ jBy+kBzНапряженность электрического поля и магнитную индукцию, которые измерил бы наблюдатель, неподвижный по отношению к системе О1 (т. е. движущийся со средой со скоростьюv), обозначим E1иВ1. ФизическиЕ1 означает силу, действующуюна единичный покоящийся в системе О1 заряд; B1- силу, действующую на единичный элемент тока, покоящийся в движущейся среде:
E1=iEx1+jEy1 + kЕz1; B1= iBx1 + jBy1 +kBz1
Перейдем от уравнений Максвелла для неподвижных сред к уравнениям Максвелла для движущихся сред. С этой целью частные производные пох, у,z при взя-
130
Обратим внимание еще раз на то, что в системе О1 операции дифференциривания при взятии ротора и дивергенции производятся по координатам х1, y1,z 1. В системеO1, для которой среда неподвижна, выполняется условие непрерывности тангенциальной составляющей напряженности Etl, тангенциальной составляющей Ht1 и непрерывность нормальных составляющих .Dnlи Вn1. В системе О1
Из уравнений (22.17) и (22.22) следует, что если в системе О магнитное поле отсутствует (В = 0), но имеется электрическое (Е 0), то в системе О1 имеется не только электрическое, но и магнитное поле. Из уравнений (22.19) и (22.21) заключаем, что если в системе О отсутствует электрическое поле (Е = 0), но есть магнитное (В ), то в системе О1 наблюдается не только магнитное, но и электрическое поле. Плотность тока 1 в системе О1 создается не только током проводимости , но и током переноса αvρ [см. уравнение (22.18)].
В соответствий с уравнением:(22.25) перемещение; тока с плотностью х параллельно: самому себе с системой О1 наблюдатель в системе О воспринимает как возникновение объёмного заряда v/с2х,, дополнительного к объемной плотности заряда p1. В соответствии с уравнением (22.28) движение поляризованной среды со скоростью v воспринимается в системе О как появление дополнительной намагниченности, а движение намагниченной среды со скоростью v воспринимается в системе О как возникновение дополнительной поляризации.
Для поля, связанного с системами О и О1 имеют место следующие инварианты:
Если скорость движения среды мала по сравнению со скоростью света, то (v2/ c2) 1 и α 1, при этом преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея х1= х — vt,y1 = у, z1 = z, t1 = t, а связи между величинами в системах О и О1, становятся такими:
Вопросы, для самопроверки
1. Дайте определение переменного электромагнитного поля и запишите сово- купность уравнении Максвелла. 2. Покажите, что из первого уравнения Максвелла следует принцип непрерывности полного тока (или закон сохранения заряда), а из второго — принцип непрерывности магнитной индукции. 3. Чем объяснить, что во втором уравнении Максвелла, в отличие от первого, поставлен знак минус? 4. Какие уравнения в интегральной форме соответствуют 1-му и 2-му уравнениям Максвелла? 5. Прокомментируйте теорему Умова—Пойнтинга для мгновенных значе-
132
ний величин и для величин в комплексной форме записи. 6. Можно ли утверждать, что при постоянном токе электромагнитная энергия передается по проводам? 7. Поясните смысл преобразования, осуществляемого с помощью теоремы Остроградского Гаусса. 8. Чем объяснить, что показание вольтметра в переменном электромагнитном поле зависит от того, как расположены провода от вольтметра до объекта измерения. 9. Поясните, в силу каких причин ε, у и . Могут оказаться комплексными числами. 10. Какие среды называют анизотропными? 11. Решите задачи 22.2; 22.9;22.11.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ
БЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ