5.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси(рис.5.17).

Линейная скорость элементарной массыравна,

где -расстояние массы до оси.

Кинетическая энергияэтой элементарной массы

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех его частиц

Сумма в правой части этого равенства есть момент инерции тела относительно оси .

Тогда

Если на массу действуют внутренняя силаи внешняя сила(рис.5.13), то работа этих сил за времяравна

Преобразовав, получаем (5.8)

- момент внутренней силы относительно точкиО,

- момент внешней силы.

Просуммировав равенство (5.8) по всем элементарным массам, получим

работу, совершенную над телом за время :

Сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, тогда работа

Знак работы зависит от знака , т.е. от знака проекции вектора момента силы на ось вращения.

Эта работа идет на приращение кинетической энергии, поэтому .

5.7. Кинетическая энергия при плоском движении

Плоское движение может быть представлено как наложение двух движений

– поступательного со скоростью центра масс

- вращательного вокруг некоторой оси с угловой скоростью .

Скорость -той элементарной массы равна,

где -радиус-вектор элементарной массы, проведенный из оси вращения.

Кинетическая энергия -той массы равна

. (5.8)

Ясно, что , где- расстояние от массы до оси вращения,

Тогда и.

Просуммировав выражение (5.8) по всем точкам, имеем

.

Здесь -радиус-вектор центра масс, проведенный из оси вращения,

- момент инерции тела.

Тогда .

Если ось вращения проходит через центр масс, и, (5.9)

где -момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

5.8. Условия равновесия твердого тела

Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, когда нет причин, приводящий к возникновения поступательного движения или вращения.

Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:, (5.10)

2. результирующий момент всех внешних сил относительно любой неподвижной оси должен быть равен нулю:. (5.11)

Практически оказывается достаточным, чтобы условие (5.11) выполнялось для трех любых неподвижных осей, не лежащих в одной плоскости. Тогда оно будет выполняться для любой оси.

Соотношения (5.10) и (5.11) являются условиями равновесия твердого тела.