- •5. Механика твердого тела
- •5.1 Движение твердого тела
- •5.2. Движение центра масс твердого тела
- •5.3. Вращение тела вокруг неподвижной оси
- •5.4. Момент инерции
- •5.5. Гироскопы
- •5.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •5.7. Кинетическая энергия при плоском движении
- •5.8. Условия равновесия твердого тела
5.4. Момент инерции
Согласно формуле (5.2), момент инерции тела – аддитивная величина
,
момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частиц.
Момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или нет, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.
Из выражения (5.7) следует, что один и тот же момент силы вызывает большее угловое ускорение у того тела, у которого момент инерции меньше. Таким образом,момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Эту формулу можно представить в виде ,
где -плотность -той частицы,-ее объем.
Если тело однородно, его плотность постоянна, и суммирование по всем частицам сводится к интегралу: Интегрирование производится по всему объему тела. Величиныизависят от местоположения частицы, т.е. являются функциями ее координат.
пример:Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 5.12).
Разобьем диск на кольцевые слои толщинойирассмотрим один такой слой.
все его точки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном . Объем слоя равен,
где -толщина диска.
диск однородный, его плотность одинакова во всех точках, тогда момент инерции диска равен
где -радиус диска.
масса диска равна ,
получаем .
Определение момента инерции тела относительно произвольной оси существенно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера:момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерцииотносительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояниямежду осями.
Доказательство теоремы.
Рассмотрим ось С(рис.5.13), проходящую через центр масс тела, и параллельную ей осьО, отстоящую от точкиСна расстояние.
Из точки на оси О к осиСпроведем вектор,перпендикулярный к обеим осям.
Из конца вектора проведем вектор, перпендикулярный к осиСв точку с элементарной массой.
Аналогичный вектор проведем из начала векторак той же элементарной массе.
Из рисунка видно, что
Квадрат расстояния от оси С до выбранной частицы равен , а от осиО
Тогда момент инерции относительно оси О
где
- момент инерции тела относительно оси С,
- масса тела,
, где -вектор, проведенный от оси С к центру масс тела,=0, так как центр масс лежит на осиС, поэтому второе слагаемое равно нулю.
Тогда получаем
что и требовалось доказать.
В случае произвольного твердого теласвязь между векторами иболее сложная, чем рассмотренная выше. Однако модули этих векторов всегда остаются пропорциональны друг другу, следовательно, каждая компонента векторабудет линейно зависеть от компонент вектора:
Здесь и т.д. –коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность момента инерции.
При увеличении в некоторое число раз в такое же число раз увеличится каждая из компонент,,и каждая из компонент, а значит, и сам вектор. Взаимная ориентация векторовиопределяется значениями коэффициентов пропорциональности. Все сказанное означает, чтоэти коэффициенты являются компонентами тензора второго ранга, который называется тензором инерции