2.4. Закон ома для неоднородного участка цепи

На носители тока на неоднородном участке цепи действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы(рис.2.7). Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока так же, как и силы электростатические. На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей пропорциональна суммарной силе, тогда плотность тока

(2.2)

– это закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

Перейдем к интегральной форме этого закона. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (контур тока) удовлетворяющая следующим условиям:

1. в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины ,,иимеют с достаточной точностью одинаковые значения;

2. векторы ,,в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным.

Выберем произвольно направление движения по контуру.

Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи. Спроектируем выражение (2.2) на элемент контура1-2:

, (2.3)

причем ; ; . Знак «+» берем в том случае, если ток течет от 1 к 2, «-»если ток течет в направлении 2 к 1. Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому вдоль контура . Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Направление 1-2 выбрано произвольно, поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его считают положительным, если в направлении 2-1 – отрицательным. Заменим ; , тогда из (2.3): .

Умножим это выражение на и проинтегрируем вдоль контура:

Здесь – сопротивление всей цепи,- разность потенциалов на сопротивлениеR, - ЭДС, действующая на участке 1,2. Тогда , а ток . Этозакон Ома для неоднородного участка цепи.

Если цепь замкнутая, то ; . Тогда закон Ома для замкнутой цепи принимает вид: . Если в цепи действует несколько ЭДС, то равна их алгебраической сумме.

2.5.Разветвленные цепи. Правила кирхгофа

На практике часто требуется рассчитать разветвленную цепь. Это цепь, содержащая несколько ветвей. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными участками цепи. Место соединения трех или более ветвей называется узлом (рис 2.8). Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром (рис.2.9). Рассчитать электрическую цепь – означает вычислить токи во всех ее ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС, действующих в ветвях. Этот расчет упрощается, если использовать правила Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (2.4)

Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счете, из закона сохранения заряда. Действительно, для постоянного тока , тогда поток векторачерез любую замкнутую поверхность, окружающую узел, равна нулю, Но потокравен алгебраической сумме токов, сходящихся в узле, следовательно,. Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и является обобщением закона Ома на разветвленные цепи:

(2.5)

• сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Здесь n – число участков, на которые контур разбивается узлами, - соответственно, сила тока, сопротивление и ЭДСk-того участка.

Для составления уравнений (2.5) необходимо произвольно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Все токи на участках, совпадающие с направлением обхода, считают положительными, несовпадающие – отрицательными. Далее, необходимо учитывать правило знаков для ЭДС источников: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением положительных зарядов от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника считают положительной, в противном случае – отрицательной (рис. 2.10).

При расчете разветвленных цепей постоянного тока рекомендуется:

• произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи;

• для каждого узла цепи записать уравнение для токов по первому правилу Кирхгофа;

• выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры, в каждом контуре произвольно выбрать направления обхода и записать уравнения для напряжений по второму правилу Кирхгофа; при составлении уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры;

• из записанных уравнений выбрать k любых независимых уравнений (k – число неизвестных токов); решая полученную систему, найти значения токов;

• если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока на каком-либо участке цепи, это означает, что электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном выбранному при расчете.

Рассмотрим пример расчета разветвленной цепи, представленной на рис.2.8. Выберем направление обхода контура АВСD – против часовой стрелки, а контура AFED –по часовой стрелке. Такой выбор позволяет учитывать ЭДС, действующие в контурах, со знаками «+». Токи в ветвях обозначим ,. В этой цепи два узла –A и D, независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа – одно:

(2.6)

Цепь содержит два независимых контура АВСD иAFED. По второму правилу Кирхгофа уравнения для этих контуров имеют вид:

; . (2.7)

Решив систему уравнений (2.6) – (2.7), находим неизвестные токи.