1.3 Расчет газового эжектора

Сопла и диффузор эжектора ничем не отличаются от обычных сопел и диффузоров. При определении параметров эжектора существенны лишь коэффициенты сохранения полного давления газа в этих устройствах, позволяющие по начальным давлениям смешивающихся газов найти полные давления на срезе сопел ии по пол­ному давлению смеси - полное давление на выходе из диффузора . Эти коэффициенты выбираются по экспериментальным данным в зависимости от формы сопел и диффузора и величины скорости потока.

Основная задача и основные трудности при расчете эжектора заключаются в определении параметров смеси газов на выходе из смесительной камеры по параметрам газов до смешения. Замечательным является тот факт, что для определения параметров потока на выходе из камеры рассмотрение самого процесса смешения не обязательно. Нет необходимости также предварительно вычислять потери, возникающие в процессе смешения, и анализировать механизм процесса передачи энергии.

Течение газа в любом участке смесительной камеры описывается тремя уравнениями сохранения: энергии, массы и количества движения. Если поток газа в выходном сечении камеры считать одномерным, т. е. полагать процесс выравнивания пара­метров смеси по сечению полностью закончившимся, то указанных трех уравнений достаточно для определения трех параметров потока в выходном сечении по заданным начальным пара­метрам газов на входе в камеру. Три параметра, как известно, полностью характеризуют состояние потока газа и позволяют найти любые другие его параметры. В частности, если это требуется, по величине полного давления смеси можно определить потери в процессе смешения потоков. Таким образом, при составлении основных уравнений мы не вводим никаких условий о необратимости процессов, однако после решения уравненийприходим к результату, который свидетельствует о том, что в рассматриваемом процессе есть потери полного давления, т. е. рост энтропии. Аналогичное положение возникало при решении задачи о параметрах газа за скачком уплотнения, которые, кстати сказать, определялись по начальным параметрам потока теми же тремя уравнениями.

Такой подход к решению задачи приводит к правильному конечному результату независимо от того, какие процессы происходят между рассматриваемыми начальным и конечным сечениями камеры, насколько интенсивно идет процесс смешения, возникают ли скачки уплотнения, имеется ли отрыв потока, вихри, встречные токи и т. д. Принятое допущение об одномерности потока в конечном сечении является весьма существенным, так как очевидно, что никаких сведений о характере поля скоростей в конце смешения такой расчет дать не может; они должны быть заданы дополнительно, если .

Запишем основные уравнения, связывающие параметры по­тока во входном и выходном сечениях цилиндрической смеси­тельной камеры. Параметры эжектирующего газа во входном сечении будем отмечать индексом 1, параметры эжектируемого газа - индексом 2, параметры смеси в выходном сечении - индексом 3. Будем считать заданными все параметры потоков во входном сечении камеры и построим решение таким образом, чтобы из уравнений сохранения массы, энергии и импульса по­тока определить температуру торможения, приведенную скорость и полное давление смеси газов в выходном сечении камеры.

Закон сохранения массы записываем в виде:

, (6)

где - коэффициент эжекции.

На основании закона сохранения энергии имеем:

,

где Q - общее количество тепла, подводимое за 1с к газу в смесительной камере путем теплопередачи через стенки камеры или выделяющееся вследствие химических реакций в потоке. Переходя к параметрам торможения, получаем:

, (7)

т.е. суммарное теплосодержание смеси, отвечающее состоянию полного торможения, отличается от суммы полных теплосодержаний газов перед смешением лишь на величину тепла, подведенного в процессе смешения. Если пренебречь различием в теплоемкостях смешивающихся газов и смеси, то, разделив обе части уравнения (7) на подставив в него соотношение (6), получим:

.

Введем обозначения

.

Тогда из последнего уравнения получаем

, (8)

где - отношение подведенного секундного количества теплак теплосодержанию секундного расхода эжектирующего газа.

Если при смешении газов не происходит горения или какой-либо иной реакции, сопровождающейся выделением или поглощением тепла, а теплопередачей через стенки смесительной камеры пре­небречь, то величина относительного теплоподвода . Прирасчете обычных эжекторов принимаем получаем:

. (9)

Уравнения (8) или (9) позволяют по заданным величинам непосредственноопределить первый искомый параметр смеси газов - температуру торможения (или критическую скорость звука) в выходном сечении смесительной камеры.

Составим уравнение количества движения. Внешние силы, действующие на боковую поверхность потока со стороны стенок цилиндрической камеры смешения, не дают составляющих, параллельных оси камеры (если не учитывать трения о стенки камеры). Поэтому изменение секундного количества движения потоков в цилиндрической камере смешения равно разности силдавления в граничных сечениях камеры. В общем случае, когда во входном сечении камеры статические давления эжектирующего и эжектируемого газов различны (но постоянны по сечению каждого потока), уравнение количества движения записывается в виде

или

(10)

Преобразуем это уравнение при помощи газодинамических функций. Заменим в (10) выражения импульсов:

.

Пренебрегая пока различием в величинах для газови смеси, из (10) получим:

. (11)

Это уравнение имеет такой же вид, как уравнение (1), записан­ное без учета сжимаемости газа и изменения давления в потоке,причем величина

играет ту же роль, что и величина скорости в уравнении (1).Так как величина уже определена, то решение уравнения(11) по существу не отличается от решения уравнения (1).

Разделим обе части уравнения (11) на :

.

Заменяя в этом уравнении отношения расходов и критических скоростей введенными выше безразмерными величинами

,

а, также используя уравнения (6) и (8), получим окончательно

. (12)

Это уравнение называют основным уравнением эжекции. По начальным параметрам газов и коэффициенту эжекции из негоможно определить газодинамическую функцию и приведенную скорость смеси .

Для нахождения полного давления смеси воспользуемсяуравнением (6).

Заменив в (6) величины расхода газа G₃ и G₁ при помощи соотношения , получим:

.

Здесь предполагается, что величина коэффициента m в , зависящая от k и R, одинакова для обоих газов и смеси. Заменим в этом уравнении отношение температур согласно (8) и учтем, что при цилиндрической камере смешения. Тогда получаем окончательно

. (13)

Так как известно из уравнения(12),то, определив из таблиц значение функции, по уравнению (13) можно найтиполное давление газа на выходе из камеры смешения .

В уравнениях (8), (12) и (13), помимо параметров эжектирующего и эжектируемого газов перед смешением, фигурирует безразмерная величина n - коэффициент эжекции. Эта величина может быть выражена через параметры потоков во входном сечении камеры и не является, таким образом, независимой.Подставляя в выражение для коэффициента эжекции величины расходов смешивающихся газов, записанные при помощи соотношения , получаем:

или

(14)

Соотношение (14) связывает коэффициент эжекции n с геомет­рическим параметром эжектора и параметрами газов на входе в камеру. Полученные уравнения (8),(12)и (13) вместе с соотношением (14) достаточны для определения состояния потока в выходном сечении по заданным начальным параметрам пото­ков и коэффициенту эжекции (или геометрическому пара­метру ).

Рассмотрим теперь некоторые возможные уточнения изложенного метода расчета эжектора.

а) Учет сил трения о стенки камеры. Напомним, что в этом простейшем расчете цилиндрической смесительной камеры учи­тываются лишь основные потери, свойственные процессу смеше­ния - потери на удар при обмене количеством движения между частицами, движущимися с разной скоростью, а также потери в скачках уплотнения, если они имеют место. В ряде задач, однако, существенную роль играют потери на трение о стенки камеры. Чтобы учесть влияние трения, необходимо изменить вид уравнения импульсов (10).

Действительно, при наличии трения количество движения потока в смесительной камере изменяется не только под дей­ствием сил давления в граничных сечениях камеры, но и

под действием суммарной силы трения Р_тр о стенки смесительной камеры:

.

После несложных преобразований представим эту формулу в виде:

.

Прибавляя в (10) силу трения Р_кр к действующим на поток силам давления, после преобразований получаем следующее основное уравнение для расчета эжектора с учетом трения:

. (15)

Здесь величина называется приведенной длиной смесительной камеры. Коэффициент трения, выбираетсяв зависимости от числа Рейнольдса и числа М потока. При расчете звуковых эжекторов обычно хорошеесоответствие с экспериментальными данными получается при .Что касается остальных уравнений, использованных в рас­чете смесительной камеры, то при наличии трения вид их не изменяется - равенство суммарного расхода и полной энергии газов во входном и выходном сечениях камеры сохраняется не­зависимо от величины силы трения.

Опре­делив величину приведенной скорости смеси при отсутствии тре­ния по формуле (12) (назовем ее ), находим изменение этойвеличины, связанное с трением, по формуле (17)^

.

Отсюда с помощью графика функции полу­чаем - приведенную скорость смеси на выходе из камеры с приведенной длиной . Далее по формуле (13) находим пол­ное давление смеси с учетом трения.

б) Расчет камеры при смешении разнородных газов. При выводе уравнений для расчета камеры смешения было принято, что для обоих смешивающихся газов и для смеси значения удельных теплоемкостей и газовых постоянных R одинаковы; отсюда следовало и равенство показателей адиабатыk. Это уп­рощает вид уравнений и их решение без заметной погрешности в результатах численных расчетов. Если в эжекторе смеши­ваются газы с существенно различными значениями физических констант, то можно провести расчет с учетом этого различия. Для этого по заданным значениям , R и k для смешиваю­щихся газов и коэффициенту эжекцииnнеобходимо вычислитьзначения этих величин для смеси в выходном сечении камеры. Обозначив

Получаем

Далее, из исходных уравнений сохранения массы, энергии и ко­личества движения надо вывести уравнения, подобные (8), (12), (13) и (14), не пренебрегая разницей в , R и k и не сокращая численных коэффициентов, зависящих отk. Значения газодина­мических функций также надо определять из таблиц, вы­численных для соответствующих значений k. Следует обратить внимание на то, что при таком расчете различие связанных между собой физических констант следует учитывать везде, так как иначе вместо уменьшения можно получить значительное уве­личение погрешности по сравнению с приведенными выше рас­четными формулами (8) - (14). Это объясняется тем, что влия­ние , R и k на конечные результаты меньше, чем на некоторые промежуточные расчетные величины.

Путем несложных преобразований можно привести уравненияэнергии, количества движения и расхода для общего случаясмешения различных газов к виду

(16)

(17)

(18)

определяются для газов и смеси по известным значениям показателя адиабаты. Вместо соотношения (14) получим:

(19)

Расчет по формулам (16) - (19) дает возможность определить влияние величин k и смешивающихся газов на параметры смеси в выходном сечении цилиндрической камеры.

в) Расчет камеры смешения переменной площади. В отличие от течения в цилиндрической камере при смешении в камере переменного сечения на поток действует дополнительная сила - осевая составляющая силы реакции стенок. Это существенно усложняет расчет, так как сила реакции, входящая в уравнениеколичества движения:

не может быть просто выражена через параметры газов в начальном и конечном сечениях камеры. В общем случае для определенияэтой силы необходимо знать закон изменения статического давления по длине смесительной камеры, что требуетспециального рассмотрения протекания процесса смешения. Только в некоторых частных случаях здесь возможно достаточно простое решение.

Так, камера смешения может быть спроектирована таким образом, что статическое давление в ней сохраняется постоянным (изобарический процесс смешения). Осевая составляющая всех сил давления, действующих на газовый поток между входным и выходным сечениями такой камеры, равна нулю. По­этому количество движения потока в камере, если не учитыватьдействия силы трения, остается неизменным. Уравнение количества движения

в этом случае приводится к виду

Это уравнение используется в расчете вместо уравнения (12). Полное давление смеси газов , может быть найдено из усло­вия изобаричности процесса

Из уравнения неразрывности (6) для легко по­лучить выражение, аналогичное формуле (13):

Отсюда определяется величина площади выходного сечения камеры, обеспечивающая равенство статического давления потока на входе и выходе.

Подобным же образом можно рассчитать камеру смешения в случае, когда статическое давление эжектирующего потока на входе в камеру не равно давлению эжектируемого газа. Полагая, что давление на стенки постоянно по длине камеры, получим:

или после преобразований

В других случаях расчет камеры переменного сечения может быть проведен приближенно, если принять упро­щающие предположения о законе изменения давления в камере. Так, иногда полагают, что давление изменяется по линейному закону в зависимости от площади сечения камеры, так что сред­няя величина давления равна полусумме значений р₂ и р₃ в на­чальном и конечном сечениях.В этом случае сила реакции стенок равна

Расчеты и эксперименты показывают, что при смешении потоков в сужающейся камере (частным случаем которой является изобарическая камера) полное давление смеси

может быть более высоким, чем на выходе из цилиндрической камеры при тех же начальных параметрах газов.

Основной причиной несколько большей эффективности сужающихся камер при дозвуковых скоростях является уменьше­ние разности скоростей потоков и снижение ударных потерь при смешении, так как процесс смешения происходит в ускоряю­щемся потоке. При этом, однако, следует учитывать, что увели­чение выходной скоростиw₃может привести к возрастанию по­терь в диффузоре.

При сверхзвуковой скорости потока сужение камеры смешения приводит к уменьшению скорости течения и к снижению по­терь полного давления в прямом скачке, если он возникает вблизи выходного сечения камеры, или в системе скач­ков, переводящих поток в дозвуковой. В результате как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях отмечается воз­растание полного давления смеси, в ряде случаев составляющее до 15 - 20%. В связи с этим эжекторы с камерой смешения переменной площади, чаще всего с конической сужающейся ка­мерой, находят применение в технике.

Рассмотрим теперь основные особенности расчета диффузора эжекторного устройства. Температура торможения потока при течении в диффузоре не изменяется, поэтому и . Вследствие возникающих в диффузоре потерь полное давление в выходном сечении диффузора меньше, чем вовходном сечении:

(20)

где - коэффициент сохранения полного давления.

Коэффициент зависит от конфигурации диффузора и при­веденной скорости потока на входе в него .

Следует иметь в виду, что при работе диффузора в эжекторе со сравнительно короткой камерой смешения поле скоростей на входе в диффузор обладает заметной неравномерностью, и это несколько снижает величину коэффициента полного давления посравнению с данными, полученными в условиях равномерного поля скоростей.

Для определения приведенной скорости на выходе из диффузора воспользуемся уравнением неразрывности потока в диффузоре

Учитывая условие и соотношение (20), приводим это уравнение к виду

(21)

где - геометрическая степень расширения диффузора. При помощи таблиц газодинамических функций по значению находими значения функций и , а затем оп­ределяем все параметры потока в выходном сечении диффузора

Часто бывает заданным статическое давление на выходе из диффузора p₄ (например, при выходе газа из эжектора с дозвуко­вой скоростью в атмосферу или в резервуар с постоянным дав­лением). В этом случае удобно выразить расход газа в выходномсечении диффузора через статическое давление p₄ и газодина­мическую функцию . При этом вместо уравнения неразрывности (21) получим:

(22)

Пользуясь таблицами газодинамических функций, по значению можно найти и и, далее, полное давлениев выходном сечении

(23)

В зависимости от заданных величин и условий работы эжектораприведенными соотношениями пользуются различным образом. Если поток на выходе из смесительной камеры дозвуковой и параметры егоиопределены, а также известен коэффициент, то из соотношения (20) определяем, из соотношения (23) и , а из уравнения неразрывности (21) или (22) - необходимую степень расширения диффузора f, обеспечивающую при заданных начальных параметрах газа торможение потока до заданного статического давления . Если сделать диффузор с другой степенью расширения, то при заданномдавлении на выходе изменятся параметры и в выходном сечении смесительной камеры и соответственно на входе в нее, т. е. эжектор будет работать на другом режиме.

Если скорость потока на выходе из смесительной камеры больше скорости звука,то при заданном статическомдавлении определяем из соотношения (22) величины и , из соотношения (23) - величину , а из (20) - величинукоэффициента сохранения полного давления . Физически это означает следующее. При сверхзвуковой скорости потока на выходе из смесительной камеры эжектор может работать на данном режиме при любой степени расширения диффузораf. Соответственно изменению степени расширения диффузора изменяется скорость потока в выходном сечении и перемещается скачок (или система скачков) уплотнения, возникающий в диффузоре из-за перерасширения потока. Скачки уплотнения перестраиваются таким образом, что суммарное изменение давления на участке перерасширения, в скачках и при торможении дозвукового потока после скачка обеспечивает получение в выходном сечении статического давления ; при этом суммарные потери полного давления оцениваются величиной коэффициента , найденной, как указывалось, из соотношений (22), (23) и (20). Если давление достаточно низко, то поток на выходе из диффузора, представляющего в этом случае расширяющуюся часть сопла Лаваля, может быть сверхзвуковым.

Таким образом, если считать известными полные давления, температуры торможения и коэффициенты скорости газовых потоков во входном сечении цилиндрической камеры смешения, а также соотношение расходов или площадей , то, пользуясь уравнениями, выведенными в этом параграфе, можно определить конечные параметры смеси газов на выходе из эжектора. Рассмотрим, какими условиями связаны между собой величины, которые должны быть заданы для расчета. Температуры торможения эжектирующего и эжектируемого газов обычно известны; полные давления известны или легко определяются по параметрам газов перед соплами эжектора и коэффициентам сохранения полного давления в соплах. Что касается величинприведенной скорости газов и , то они до расчета камеры смешения и диффузора, вообще говоря, неизвестны и могут быть различными на различных режимах работы одного и того же эжектора. Поэтому в большинстве случаев для расчета эжектора приходится задаваться рядом значений и и находить зависимость конечных параметров эжектора и его размеров от скоростей газов во входном сечении камеры. По этой зависимости и выбирают оптимальный режим или режим, соответствующий условиям данной конкретной задачи. Такими условиями могут быть, например, получение данного статического давления смеси на выходе, получение заданного коэффициента эжекции при наивысшем полном давлении смеси или минимальном диаметре камеры смешения, получение максимальной реактивной тяги и т. п. Так, на рис. 11 приведена полученная таким способом сетка кривых для заданного отношения полных давлений газов .

Из графика видно, что полное давление смеси газов увеличивается с уменьшением коэффициента эжекции n - при этом увеличивается энергия эжектирующего, газа, приходящаяся на единицу расхода эжектируемого газа. Кроме того, при данномзначении n полное давление возрастает с увеличением начальной скорости эжектируемого газа, что объясняется согласно (2)уменьшением потерь при смешении потоков.

Следует иметь в виду, что при различных значениях для получения данного коэффициента эжекции необходимо выби­рать согласно формуле (14) различные величины геометриче­ского параметра . Поэтому точки кривыхn=constна рис. 11 соответствуют различным эжекторам: чем больше , тем меньше относительная площадь камеры смешения (большевеличина ).

Выбирая значения приведенной скорости и . Для расчета эжектора, необходимо учитывать, что эти величины не являются независимыми. На любом режиме работы эжектора призаданных полных давлениях газов величины и связаны дополнительными условиями, ограничивающими область возможных скоростей потоков. Эти условия различны в зависимости от того, являются потоки дозвуковыми или сверхзвуковыми.

Если оба потока во входном сечении камеры смешения дозвуковые, т.е. и , то можно считать, что статическое давление постоянно по всей площади входного сечения камеры. Это условие связывает между собой значения и так как при имеем:

(24)

Таким образом, при дозвуковой скорости потоков произвольно можно задать приведенную скорость только одного из них, скорость другого при этом определяется отношением полных давлений газов.

Рис. 11. Зависимость степени повышения полного давления в эжекторе от при­веденной скорости эжектируемого газа на входе в камеру смешения; , ,, ab - линия предельных значе­ний .

Для каждого значения можно выбрать такое зна­чение коэффициента скорости , при котором, как следует из уравнения (24),

Это значение ограничивает область докритического истечения эжектирующего газа из сопла: при всех больших значениях истечение газа будет происходить под сверхкритическим перепадом давлений . Если в сопле эжектирующего газа отно­шение давлений превышает критическое значение, то скорость истечения газа из сужающегося сопла достигает скорости звука ,и струя покидает сопло со статическим давлением, более высоким, чем давление окружающего сопло потока эжектируемого газа. При этом равенство давлений ии выте­кающее из него соотношение (24) между возможными значе­ниями и не соблюдаются. То же будет и в случае приме­нения в эжекторе сопла Лаваля с неполным расширением; при этом с некоторого значения По на срезе установится постоянная скорость , не зависящая от статического давления в эжектируемом потоке. При постоянном значении (нерасширяющееся сопло) илиприведенная скорость эжектируемого газаможет иметь различные значения. Однако,произвольно выбирая значение для подстановки в расчетные уравнения, нельзя заранее быть уверенным, что такой режим работы эжектора реально осуществим. Имеется предельное зна­чение , ограничивающее область возможных режимов; реальны лишь режимы, соответствующие .