- •Программированное пособие
- •Тема №1 Непосредственное интегрирование
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема №2 Интегрирование способом подстановки
- •Задание для самостоятельной работы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема №3 Интегрирование по частям
- •I группа:
- •III группа: .
- •Задание для самостоятельной работы
- •Указания к ответам
I группа:
, где P(x) –многочлен.
В данной группе полагаем U=lnx; U=arcsinx; U=arccosx; U=artgx; U=arcctgx, а оставшееся выражение за dV=P(x)dx.
II группа: , где Р(х)- многочлен, k и b-числа.
В данной группе полагаем U=P(x), а оставшееся выражение за dV.
III группа: .
Эта группа сложных интегралов. Они находятся при помощи двукратного интегрирования.
Пример 5.
Пусть U=lnx; dV=xdx.
Тогда dU=d(lnx)=;V=.
Пример 6. .
Пусть U=lnx; dV=.
Тогда dU=d(lnx)=.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять столько раз какова степень многочлена.
Пример 7. .
Пусть U=
Тогда dU=d(
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Так как многочлен второй степени, то в результате однократного интегрирования степень его понизилась на единицу, поэтому получившийся интеграл мы должны еще раз проинтегрировать, чтобы он уничтожился и остался табличный интеграл.
Пусть U=x; dV=cosxdx.
Тогда dU=dx; V=
+cosx+C.
Подставляя полученный результат в первоначальный интеграл, имеем:
Пример 8. .
Этот интеграл относится к третьей группе интегралов.
Пусть U=cosx; dV=
Тогда dU=-sinxdx; V=
Рассмотрим
Пусть U=sinx; dV=
Тогда dU=cosxdx; V=
Подставим найденное значение в (1):
Переносим из правой части в левую с противоположным знаком, получим: 2Из полученного уравнения находим чему равен искомый интеграл, поделив обе части равенства на 2.
Задание №17.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ОТВЕТ |
1. | ||
2. |
(x-1)cosx-sinx+C | |
3. |
x·arcsinx+ | |
4. |
Задание для самостоятельной работы
4.
Указания к ответам
Задание №1
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
2 как постоянный множитель нужно вынести за знак интеграла (свойство1) и только после этого интегрировать. |
2. |
Забыли С. | |
3. |
Верно. | |
4. |
Дифференцируете функцию, а не интегрируете. | |
5. |
Функция вынесена за знак интеграла, а не проинтегрирована, см.. | |
2. |
1. |
Интеграл от произведения двух функций не равен произведению этих функций. Нужно предварительно раскрыть скобки в подынтегральном выражении и воспользоваться свойствами 3 и 4, и . |
2. |
Верно. | |
3. |
Забыли С. См. определение интеграла. | |
4. |
Неверно применили , показатель степени и знаменатель равные (n+1), а не n. | |
5. |
Неверно применили Деление на степень не сделали. | |
3. |
1. |
Верно. |
2. |
Забыли С. | |
3. |
Интеграл дроби не равен отношению интеграла числителя к интегралу знаменателя. Подынтегральное выражение нужно предварительно преобразовать. См. , пример 3. | |
4. |
Вы ошиблись при замене корня дробным показателем: | |
5. |
Нельзя отдельно интегрировать сомножители, делимое и делитель. См. , пример 3. | |
5. |
1. |
Верно. |
2. |
Нашли производную вместо интеграла. См. . | |
3. |
Неверно. Забыли С. |
Задание №2.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
В нужно вынести. Вы вынесли 5, получили: Следовательно t=, что неверно. |
2. |
Верно. | |
3. |
Не верно. Забыли С. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Нужно предварительно раскрыть скобки и применить свойства 2 и 1, и. | |
3. |
Нашли производную вместо интеграла. См. и. |
Задание №3.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Не верно. Забыли С. |
2. |
Дифференцируете вместо того, чтобы интегрировать. | |
3. |
Верно. |
Задание №4.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
В ошибочно использованавместо. | |
3. |
Не верно. Забыли С. | |
2. |
1. |
В вместовзялии вместо (n+1) взяли (n-1). См.и. |
2. |
В нужно применить, а не. См. | |
3. |
Верно. |
Задание №5.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Вы его потеряли. См. свойство 3 или приn=0. |
2. |
Ошиблись в знаке | |
3. |
Верно. | |
4 |
, а не 1. См. свойство 3. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка в знаке. Должно быть -5cosx. См.. | |
3. |
не является интегралом типа . См.. | |
4. |
, а не 5. |
Задание №6
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка в знаке. Должно быть 2sinx. |
2. |
Верно. | |
3. |
Интеграл отношения не равен отношению интегралов. Следовательно sin2x=2sinx·cosx, а затем . А далее используйте формулу. | |
2. |
1. |
Ошибка в знаке. Должно быть -3sinx. См. . |
2. |
Верно. |
Задание №7.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка в См.. Следует разделить числитель на знаменатель. |
2. |
Верно. |
Задание №8.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка в знаке . См.. |
2. |
Верно. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка в знаке . См.. |
Задание №9.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка в . См.. | |
3. |
Ошибка в . См.. | |
4. |
Потеряно С. |
Задание №10.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка в . См.. |
2. |
Ошибка в . См.. | |
3. |
Верно. | |
4. |
Потеряно С. |
Задание №11.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
Вместо dx подставили просто dt, не учитывая, что при дифференцировании (5+3х) получается 3dx, следовательно, 3dx=dt, а dx=, см.. | |
3. |
Вы не проинтегрировали, а продифференцировали функцию. | |
4. |
Потеряно С. | |
2. |
1. |
Нашли производную вместо интеграла. |
2. |
Потеряли коэффициент приdt. 5dx=dt; dx=.См.. | |
3. |
Верно. | |
4. |
Потеряно С. | |
3. |
1. |
Потеряли знак: . См.. |
2. |
Верно. | |
4. |
1. |
Потеряли коэффициент приdt. . |
2. |
Верно. | |
3. |
Ошиблись в показателе, вместо взяли -3. | |
5. |
1. |
Потерян знак d(cosx)=-sinxdx. |
2. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
3. |
Верно. | |
6. |
1. |
Потерян знак d(3-sinx)=-cosxdx. |
2. |
Верно. | |
3. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
7. |
1. |
Верно. |
2. |
Потеряно С. | |
3. |
Потерян знак. | |
8. |
1. |
Интеграл типа , а не, т.к.n=-5, а не n=-1. |
2. |
Верно. | |
3. |
Вместо n=-5 взяли n=5. |
Задание №12.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потеряли коэффициент . |
2. |
Ошибочно использовали , хотя здесьn=-1, и взяли n-1 вместо n+1, что дало бы 0. | |
3. |
Верно. | |
2. |
1. |
Потеряли коэффициент . |
2. |
Ошибочно приняли | |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Вместо взялии вместо (n+1) взяли (n-1). |
2. |
Верно. | |
3. |
Нашли производную, а не интеграл. | |
4. |
1. |
Потеряли минус. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потеряли коэффициент . | |
5. |
1. |
Воспользовались , что неверно, т.к.tgx=f(x), а не x. |
2. |
Верно. | |
3. |
Ошибочно заменили tgx через . |
Задание №13.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян минус в показателе степени. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потерян минус перед дробью. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибочно применили . Этого нельзя делать, т.к. здесь показательная функция, см.. | |
3. |
|
Задание №14.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потеряли коэффициент , см.. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потеряли минус, см. . | |
2. |
1. |
Берете произведение интегралов и, что неверно. |
2. |
Потеряли коэффициент . | |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Потеряли коэффициент , см.. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потерян знак, см. . |
Задание №15.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян коэффициент , см.. |
2. |
Верно. | |
3. |
Пользуетесь дляn=-2, что неверно, т.к. в знаменателе не , а, см.. | |
2. |
1. |
Потерян коэффициент - , см.. |
2. |
Верно. | |
3. |
1. |
Неверно пользуетесь , надо применять. |
2. |
Верно. |
Задание №16.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян коэффициент , см.. |
2. |
Неверно применили См.и пример 1 к. | |
3. |
Верно. | |
2. |
1. |
Потерян коэффициент , см.. |
2. |
Потерян коэффициент , получающийся при дифференцировании подстановки, см.. | |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Верно. |
2. |
Потерян коэффициент, получающийся при дифференцировании подстановки, см.. | |
3. |
Вместо вынесли, что неверно. |