- •Программированное пособие
- •Тема №1 Непосредственное интегрирование
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема №2 Интегрирование способом подстановки
- •Задание для самостоятельной работы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема №3 Интегрирование по частям
- •I группа:
- •III группа: .
- •Задание для самостоятельной работы
- •Указания к ответам
Задание для самостоятельной работы
; 2. ; 3.;
5. 6.
Подстановки приводящие к
К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе, поэтомуf(x) заменяется через вспомогательное переменное.
Пример 1. .Произведем замену: 3x=t; 3dx=dt.
Пример 2. .Произведем замену: 1-2x=t; -2dx=dt;
Пример 3. . Произведем замену: lnx=t;
Пример 4. .Произведем замену:
= -ctgt+C=-ctg
Задание №15.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. |
| |
2. |
1)tgtg | |
3. |
1) |
Подстановки приводящие к
К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе корень их разности постоянной величины и квадрата х с некоторым коэффициентом или сумму постоянной величины и квадрата х с коэффициентом.
Пример 1. . Произведем замену:
Пример 2. Произведем замену: =
dt.
Пример 3. . Произведем замену:
==
=
Задание №16.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. |
1)arctg3x+C; 2)+C; 3) | |
2. |
1) | |
3. |
1) |
Задание для самостоятельной работы
4.; 6..
Тема №3 Интегрирование по частям
Пусть U=U(x) и V=V(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(U·V)=VdU+UdV UdV=d(U·V)-VdU.
Интегрируем обе части равенства:
Используя свойства неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла:
При её применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя U и dV. При переходе к правой части формулы первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала dU=U´dx), второй интегрируется (V=
Возможности применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).
Пример 1.
Так как x´=1, а при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель, то данный интеграл можно найти интегрированием по частям.
Пусть U=x; dV=, тогдаdU=dx; k=-2; b=0 =-
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Замечание: Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении V (по заданному dV), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникшая при нахождении V, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя V, будем полагать С=0, что несколько упрощает запись решения.
Пример 2. .
Пусть U=x; dV=
Тогда dU=dx; V=
Пример 3. dx.
Пусть U=2+3x; dV=
Тогда dU=d(2+3x)=(2+3x)´dx=3dx; V=.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
=
Пример 4.
U dV
Пусть arctgx=U; dx=dV
Тогда dU=(arctgx)´dx=
Получаем согласно формулы интегрирования по частям:
=
=
Указание. Все интегралы, которые находят с использованием формулы интегрирования по частям, можно разбить на три группы.