- •Программированное пособие
- •Тема №1 Непосредственное интегрирование
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема №2 Интегрирование способом подстановки
- •Задание для самостоятельной работы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема №3 Интегрирование по частям
- •I группа:
- •III группа: .
- •Задание для самостоятельной работы
- •Указания к ответам
Задания для самостоятельной работы
dx; 3.
5.6.
7. .
Тема №2 Интегрирование способом подстановки
Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.
Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.
Определение. Если функция y(x) в точке имеет производную , то произведениеявляется дифференциалом функции у(х) в точкеи обозначаетсяdy(. Таким образомdy(dx.
dy=
Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.
Например в интеграле необходимо произвести замену переменной. Обозначим . Найдем дифференциал обеих частей равенства:d(
Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.
Имеем: (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили черезdt).
Замену подставляем в интеграл, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем: - ответ выражен через вспомогательную переменнуюt.
Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену :
=
Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере
t dt
Пример 1: . Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.
Пример 2.. Произведем замену:
.
Пример 3. . Произведем замену:
Тогда интеграл примет вид:
Пример 4. Произведем замену:
Пример 5. . Произведем замену:
= -3
Пример 6. Произведем замену:sinx=t; cosxdx=dt
Пример 7. . Произведем замену: lnx=t;
+C.
Задание №11.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. |
1) | |
2. |
1) 4)- | |
3. |
1) | |
4. |
1) | |
5. |
1) | |
6. |
1) | |
7. |
1) | |
8. |
1) |
+C
Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен состоять из дроби, числитель которой равен дифференциалу знаменателя с некоторым коэффициентом. Выражение, стоящее в знаменателе, должно быть впервой степени, в противном случае интеграл соответствует . Подстановка делается так, что весьной.
Пример 1. . Произведем замену:
.
=
Пример 2. . Произведем замену: 1+3cosx=t; -3sinxdx=dt; sinxdx=dt. Тогда интеграл будет иметь вид: =-=-ln+C=
ln+C.
Пример 3. . Произведем замену:
=
Задание №12.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | ||
2. |
1) | |
3. |
1)-+c; 3) –+C. | |
4. |
1) | |
5. |
1) |
Подстановки приводящие к
Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен содержать показательную функцию с показателем видаf(x). Этот показатель и заменяется новой переменной.
Пример 1. Произведем замену:
=
Пример 2. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt.
Пример 3. Произведем замену:
.
Задание №13.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. |
| |
2. |
1) |
Подстановки приводящие к
К приводятся интегралы, содержащиеsinf(x) или cosf(x), где f(x) заменяется через новое переменное.
Пример 1. .Произведем замену:
Пример 2. По известной Вам формуле: .
.
Во втором интеграле произведем замену: 2x=t; 2dx=dt; dx=.
Пример 3. .
Произведем замену в первом интеграле: 3x=t; 3dx=dt; dx=
Произведем замену во втором интеграле: 2x=t; 2dx=dt; dx=
Следовательно:
Задание №14.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. |
1)-cos4x+C; 2) | |
2. |
1) | |
3. |
1). |