§ 3. Непосредственное вычисление вероятностей

В этом параграфе, пользуясь определением вероятности, будем находить вероятности событий так же, как это делалось в примерах 4—6 § 2.

При непосредственном вычислении события А часто для под­счета благоприятствующих этому событию случаев и общего числа равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев применяются формулы комбинаторики .

Пример 1. Бросается монета правильной формы. Какова вероятность вы­падения герба?

Решение. Обозначим событие «выпал герб» буквой А. Число равновозможных случаев n=2. Из этого числа случаев благоприятствует событию А только один случай, т=1. Следовательно,

Пример 2. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что

а) извлекая все карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»;

б) извлекая три карточки по одной наугад, получим в порядке выхода слово «том»?

Решение,

а) Занумеруем буквы в том порядке, в каком они написаны:

Подсчитаем равновозможные случаи, их будет столько, сколько можно сде­лать перестановок из пяти элементов, т. е. . Из этих 120 случаев два случая благоприятствуют событию А — получение слова «молот». Действительно, событие А произойдет, если карточки будут взяты только в таком порядке:

Таким образом,

б) Число всех равновозможных случаев равно числу размещений из 5 эле­ментов по три, т.е.

n=А₅³== 60.

Из этих 60 равновозможных случаев два случая благоприятствуют событию В— получению слова «том». Действительно, событие В произойдет, если карточки будут взяты в таком порядке:

Следовательно,

Пример 3. Из колоды в 36 карт наугад вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся два туза.

Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой А. Общее число равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев Из этого числа случаев благоприятствуют событию случаев.

Следовательно,

Пример 4. Среди 50 деталей 20 первого сорта и 30 второго сорта. Найти вероятность того, что из взятых наугад пяти деталей окажутся 2 первого сорта и 3 второго.

Решение. Интересующее нас событие обозначим буквой А. Из условия задачи следует, что

Пример 5. На полке расставлены наугад 12 книг. Найти вероятность того, что

а) три тома одного сочинения окажутся поставленными вместе в порядке номеров;

б) три тома будут поставлены вместе.

Решение,

а) событие «три тома поставлены вместе в порядке номеров» обозначим буквой А. Число равновозможных случаев расставить 12 книг на полке равно n=12!. Найдем число случаев, благоприятствующих событию А. Будем считать «связку» книг 1, 2, 3-го томов, следующих один за другим, за один элемент и еще 9 элементов (9 книг), т. е. всего 10. Таким образом, событию А благоприятствует число случаев m=10! Следовательно,

б) Событие «три тома поставлены вместе» обозначим буквой В. Теперь уже в «связке» книг порядок следования томов любой и число возможных пере­становок из этих трех элементов Р₃=3! Таким образом, число благоприят­ствующих случаев событию В будет . Вероятность

6