§ 2. Классическое определение вероятности

События называются равновозможным, и, если при осуществлении комплекса условий S каждое из них имеет одинаковую возможность наступить.

Пример 1. В урне содержится 3 одинаковых занумерованных шара. Оче­видно, имеется одинаковая возможность извлечь из урны наугад шар с номе­ром 1 (событие ), с номером 2 (событие) или с номером 3(событие A₃), т. е. события ,,— равновозможные.

Пример 2. Если бросить игральную кость, то выпадет любая из шести гра­ней с одинаковой возможностью, так как в силу симметрии и однородности материала, из которого изготовлена игральная кость, ни одна из 6 граней какими-либо преимуществами перед другими не обладает.

Следовательно, события A₄— выпадение одного очка, — двух, Аз—трех, A₄ — четырех, — пяти и А₆ — шести очков — равновозможные. Эти события также несовместные и единственно возможные.

Пусть нас интересует событие А — выпадение четного числа очков. Этому событию, как принято говорить, из общего числа (шести) равновозможных случаев благоприятствуют три случая: ,, и .

Пример 3. Партия содержит 200 деталей: из них 4 детали нестандартные, а остальные стандартные, причем стандартные и нестандартные детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлекаем из партии наугад одну деталь, она может оказаться стандартной (событие А) или не­стандартной (событие В). Очевидно, что события А и В не будут равновозможными и что событие В менее возможно, т. е. менее вероятно, чем собы­тие А. Это видно из того, что из общего числа 200 равновозможных случаев событию А благоприятствуют 196 случаев, а событию В — только 4. Оказы­вается, что возможность наступления события, иначе говоря, его вероятность, можно оценить числом.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа т благоприятствующих событию А. случаев к общему числу п случаев равновозможных, единственно возмож­ных и несовместных.

Вероятность события А обозначается символом Р(А) и чи­тается: вероятность события А .

Таким образом,

(1)

Определение вероятности (1) называется классическим, оно было дано французским математиком Лапласом.

Заметим, что вместо слова «случай» принято также говорить «исход». Иногда и мы будем пользоваться этим термином.

Пример 4. В урне находятся три одинаковых шара с номерами 1, 2, 3. Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар будет с номером 1.

Решениие. Событие «извлечение шара с номером 1» обозначим через . По формуле (1)

так как т= 1, n = 3.

Пример 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости вы­падет четное число очков.

Решение. Обозначим это событие через А. По формуле (1) ,

так как т = 3, и = 6.

Пример 6. Партия содержит 200 деталей, из них 4 нестандартные, а осталь­ные стандартные. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной?

Решение. Обозначим через А событие «извлечена стандартная деталь». По формуле (1)

где n=200 есть числа равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, а т — число случаев, благоприятствующих событию А.

Аналогичным образом найдем вероятность того, что взятая наугад деталь будет нестандартной:

Вероятность достоверного события P(U)=1,

так как все п равновозможных, единственно возможных и несовместных слу­чаев благоприятствуют событию U, т. е. т = п, и поэтому

P(U) = =1.

Например, в урне 5 белых шаров. Вероятность извлечь из урны белый шар

Вероятность невозможного события

P(V)=0,

так как нет ни одного благоприятствующего случая событию V, т. е. m = 0, а n0, отсюда

P(V) ==0.

Например, в урне 10 белых шаров. Вероятность извлечь черный шар

P(V) == 0.

Теорема. Вероятность любого события А удовлетворяет нера­венствам

.

Действительно, где, отсюдат.е..

Заметим, что для вычисления вероятности события А нет не­обходимости производить какие-либо испытания, надо лишь под­считать число случаев, благоприятствующих наступлению собы­тия А, и общее число равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, а затем применить формулу (1).

Таким образом, пользуясь классическим определением вероят­ностей, можно найти вероятность события до опыта.

Однако классическое определение вероятностей можно приме­нять не всегда.