3.5. Основы нечеткой логики

На первый взгляд, в сочетании слов «нечёткий» и «логика» есть что-то необычное. Предметом логики является изучение законов человеческого мышления, которые предполагаются строгими и формальными, а отнюдь не нечёткими. Однако человек – носитель естественного интеллекта, – решая задачу в условиях нечеткости, рассматривает проблему, с одной стороны, в целом и по аналогии, то есть нечётко, а с другой стороны – логически и последовательно, то есть формально, подключая к решению задачи интуицию. Такие ситуации характерны для сложных технических, экономических, социальных и других систем, то есть систем большой размерности, где возникает необходимость принятия решений в условиях ограниченной или неточной информации, не позволяющих построить «классическую» модель процесса (например, в виде системы дифференциальных уравнений – для изучения некоторой динамической системы).

В настоящее время в качестве математической основы таких систем рассматривается сложная компьютерная методология, получившая название мягкие вычисления¹. Компонентами этой методологии являются:

• нечёткая логика– приближенные вычисления, вычисления на словах;

• нейрокомпьютинг– обучение, адаптация, классификация, системное моделирование и идентификация;

• генетические вычисления– синтез, настройка и оптимизация с помощью систематизированного случайного поиска и эволюции;

• вероятностные вычисления– управление неопределенностью, сети доверия, хаотические системы, предсказание.

Понятие «нечёткая логика» является обобщающим для таких математических направлений, как многозначная логика (или, точнее, многозначные логики) и нечёткозначная логика. Для построения экспертных и управляющих систем, реализующих нечёткие выводы, необходимо знание основ нечёткозначной логики, поэтому в дальнейшем внимание будет сконцентрировано именно на этом математическом направлении.

Нечёткозначную логикуиногда называютлингвистическойлогикой, поскольку истинность определяется посредством лингвистической переменной. Формальное представление лингвистических переменных рассматривалось в главе 3.4. Итак, рассматривается некоторая лингвистическая переменная= «Истинность» (или «Степень истинности»), которая принимает лингвистические значения, являющиеся элементами терм-множества значений лингвистической переменойТ_, например,Т_1= «Истинно»,Т_2= «Не очень истинно»,Т_3= «Более-менее истинно» и т.п.

Назначение нечёткозначной логики тесно связано с теорией приближенных рассуждений или приближенных решений, с поведенческой моделью принятия решений.

В нечёткозначной логике используются различные виды высказываний. Основнымявляется высказывание следующего вида:

< есть>, (3.52)

где – наименование лингвистической переменной, отражающей множество некоторых объектов и параметров реального мираХи принимающей лингвистическое значение;

 – наименование нечёткой переменной.

Нечёткая переменная определяется нечётким подмножеством множества Х:С_= {х_(х)},С_Х. Нечёткое подмножествоС_определяетраспределение возможности(х) =, то есть при наличии некоторого множества объектовХ, обобщенных понятием, возможность признания объектахХсоответствующим понятиюопределяется значением характеристической функции принадлежности_(х).

Пример 3.23: Рассмотрим высказывание «Температура есть высокая», структура которого соответствует выражению (3.52). Для этого выражения может быть получена следующая интерпретация: «Возможность того, что температура (объектх, текущая температура), принадлежащая множеству значений температурХ, обобщенному понятием= «Температура», путем измерения по классификационной шкале сможет получить значение= «Высокая», равняется её степени принадлежности_(х) к нечёткому подмножеству высоких температурС_множества значений температурХ».

Обозначим оценку истинности . Используя лингвистическое значение истинности высказывания нечёткозначной логики, приведённое к основному виду, можно записать так:

 есть естьqесть, (3.53)

где q– лингвистическое значение истинности, аестьq.

В выражении (3.53) ,иqсвязаны выражением:

q=_(). (3.54)

Из этого следует, что

 = _(х) =_q(_(x)), (3.55)

то есть оценка истинности определяется как функция принадлежности к заданному лингвистически значению истинности функции принадлежности_(x):=_(х).

Кроме основного вида высказываний, представленных выражением (3.52), в нечёткозначной логике используются выражения, содержащие модификаторы, кванторы и композицию.

Высказывания, содержащие модификаторы, имеют вид:

< естьm>, (3.56)

где m– модификатор, такой как «Очень», «Примерно», «Более или менее», «Незначительно», «Не» и т.п.

Пример3.24: Следующие высказывания содержат модификаторы, то есть имеют вид, представленный выражением (3.56): «Погода есть более или менее хорошая», «Температура есть не высокая».

Высказывания, содержащие кванторы, имеют вид:

< Qесть>, (3.57)

где Q– квантор, такой как «Большинство», «Много», «Несколько», «Некоторые» и т.п. КванторQопределяет соответствующую пропорцию на множествеХ.

В отличие от кванторов и, используемых в исчислении предикатов первого порядка и означающих соответственно или «любойх» или «существуетх», кванторQможет устанавливать промежуточные пропорции значений выборах.

Пример 6.10: Высказывание «Большинство студентов есть успевающие» содержит квантор «Большинство». Для сравнения можно привести смысл аналогичного высказывания, квантифицированного с помощьюи:

• в первом случае получится: «Любой студент есть успевающий»;

• во втором случае – «Есть такой студент, который успевающий».

Возможно комплексное использование модификаторов и кванторовmиQ. В этом случае высказывание будет иметь следующую структуру:

< Qестьm>. (3.58)

Пример 3.25: Такое высказывание имеет структуру вида (3.58) – «Некоторые товары есть очень качественные».

Высказывания, содержащие композицию, состоят из различных сочетаний вышеприведенных высказываний (3.52), (3.56), (3.57), (3.58), объединенных связками «и» (конъюнктивная композиция), «или» (дизъюнктивная композиция), «если …, то…» (импликативная композиция), «если …, то …, иначе».

Пример 3.26: Следующее высказывание является примером импликативной композиции – «Еслинебо голубое,топогода хорошая». Более сложную структуру имеет такое выражение, содержащее связки «или», «и», «если …, то …» – «Еслинебо голубоеилисолнце яркоеиветер слабый,топогода очень хорошая».

Чтобы определить истинность таких сложных высказываний, необходимо привести их к основному виду, представленному выражением (3.52) – < есть>. Для этого используются различные правила преобразования, то есть правила приведения сложных высказываний к основному виду.

Рассмотрим правила приведения сложных высказываний к основному виду.

Представим два высказывания:

< _хесть_х> и <_уесть_у>,

где _хи_у– лингвистические переменные, определённые на множествахХиY;

_хи_у– значения лингвистических переменных_хи_ус соответствующими нечёткими множествами:

С_х= { (х_х(х)) },С_у= { (у_у(у)) }.

1. Правило преобразования конъюнктивной формыимеет вид:

< _хесть_хи_уесть_у>< (_х,_у) есть>. (3.59)

Здесь выражение можно рассматривать как значение лингвистической переменной (_х,_у) с соответствующим нечётким множеством:

, (3.60)

где и–цилиндрические продолжения нечётких множествС_хиС_у, которые определяются так:

,

где (х,у)ХY,

ху:=_х(х), (3.61)

ху:=_у(у). (3.62)

Пример 3.27: Приведем следующее нечёткое высказывание к основному виду – «На неделе было много прохладных дней».

Это высказывание можно формализовать и привести к конъюнктивной форме:

<Число дней есть близкое к 7, иТемпература воздуха есть невысокая>,

где _х– лингвистическая переменная «Число дней»;

_х– лингвистическое значение переменной_х,_х= «Близкое к 7»;

_у– лингвистическая переменная «Температура воздуха»,

_у– лингвистическое значение переменной_у,_у= «Невысокая».

Пусть _хопределяется на множествеХ= {3, 5, 6}. Элементы множестваХобозначают количество дней, и при решении конкретной практической задачи, естественно, это множество может быть представлено иначе. Мощность множестваХ, а также значения всех его элементов определяются лицом, принимающим решение. Значение лингвистической переменной «Число дней»_х= «Близкое к 7» представим в виде нечёткого множества:

С_х= {(30,3), (50,7), (61)}.

Пусть _уопределяется на множестве значений температурыY= {2, 4, 8, 10}. Диапазон значений температуры может быть расширен в зависимости от типа решаемой задачи. Значение этой лингвистической переменной_у= «Невысокая» представим в виде нечёткого множества:

С_у= {(21), (40,8), (80,4), (100,2)}.

Прежде всего, определим цилиндрические продолжения нечётких множеств С_хиС_у, которые условились обозначатьи:

Тогда истинность высказывания «На неделе было много прохладных дней», приведённого к конъюнктивной форме, будет определяться на указанных множествах Х иY нечётким множеством:

Очевидно, что наиболее истинным (= 1) приведённое нечёткое высказывание будет прих = 6,у = 2, а наименее истинным – приу = 10 и всех значениях.

Следствием из правила преобразования конъюнктивной формы является преобразование следующего вида:

< _хесть_х1и_х2>< (_х,_х) есть>. (3.63)

2. Правило преобразования дизъюнктивной формы имеет вид:

< _хесть_хили_уесть_у>< (_х,_у) есть>, (3.64)

где – значение лингвистической переменной (_х,_у) с соответствующим нечётким множеством:

, (3.65)

где и– цилиндрические продолжения нечётких множествС_хиС_у, определяемые с помощью выражений (3.61), (3.62).

Правило преобразования, представленное выражением (3.64), также имеет следствие:

< _хесть_х1или_х2>< (_х,_х) есть>. (3.66)

Пример 3.28: Рассмотрим нечёткое высказывание «Менее трудоспособными работниками являются дети и старики».

Примем следующие обозначения:

_х– лингвистическая переменная «Нетрудоспособные работники», областью определения которой является множество значений возраста работников:Х= { 10, 15, 17, 30, 45, 50, 60 }.

_хпринимает значения_х1= «Дети»;_х2= «Старики». Эти лингвистические значения представим следующими нечёткими множествами:

С_х1= {(101,0), (150,5), (170,2), (300), (450), (500), (600)}.

С_х2= {(100), (150), (170), (300), (450,3), (500,7), (601,0)}.

Прежде чем выполнять преобразования, необходимо определиться, высказывание какой формы исследуется. В рассматриваемом примере целесообразно привести высказывание к виду, представленному выражением (3.64), несмотря на то, что в выражении присутствует связка «и» – анализ смысла выражения показывает, что менее трудоспособными работниками являются илидети,илистарики, а не люди, считающиеся одновременноидетьми,истариками. Использование правил преобразования конъюнктивной формы, то есть нахождение пересечения соответствующих нечётких множеств, приведет к тому, что высказывание не будет истинным ни при каких значениях элементов области определения переменной_х, так как человек не может одновременно считатьсяиребенком,истариком с ненулевой степенью принадлежности этим понятиям.

Определим цилиндрические продолжения нечётких множеств:

Выполнив операцию объединения нечётких множеств и, можно определить наиболее и наименее трудоспособные бригады, состоящие из двух человек. Очевидно, что наиболее истинным (= 1) приведённое нечёткое высказывание будет либо при условии, что один из элементов области определения имеет значение 10 или 60, то есть когда один из работников является или ребенком, или стариком, либо когда оба элемента области определения имеют значение 10 или – 60, то есть оба работника являются детьми или стариками со степенями принадлежности этим понятиям, равным 1.

3. Правило преобразования импликативной формыимеет вид:

< Если_хесть_х,то_уесть_у>< (_х,_у) есть>. (3.67)

В этом выражении знак означает пороговую сумму, определяемую следующим образом:

, (3.68)

где и– функции принадлежности, определяющие нечёткие множестваи.

Пример 3.29:Представим высказывание «Чем больше масса груза, тем на меньшее расстояние можно его перенести» в виде <Если_хесть_х,то_уесть_у>, где приняты следующие обозначения:

_х– лингвистическая переменная «Масса груза», определяемая на множествеХ= {3, 5, 6};

_х– лингвистическое значение переменной_х,_х= «Большая»; это значение представлено нечётким множеством:

С_х= {(30,3), (50,7), (61)};

_у– лингвистическая переменная «Расстояние», областью определения которой является множествоY= {10, 15, 20, 25};

_у– лингвистическое значение переменной_у,_у= «Маленькое», определяемое нечётким множеством:

С_у= {(101), (150,8), (200,4), (250,2)}.

Необходимо определить значения функции принадлежности _(х,y) на множествеX  Y. Выполним расчёты в соответствии с выражением (3.68) длях= 3,у= 10:

_(3, 10) = 1 & (1 – +);

= 0,3, = 1,0;

_(3, 10) = 1 & (1 – 0,3 + 1,0) = 1,0.

Выполнив аналогичные вычисления для остальных элементов множества X  Y, можно судить об истинности рассматриваемого нечёткого высказывания при различных сочетаниях значений массы груза и расстояния, на которое этот груз переносится.

Перечисленные правила преобразования сложных высказываний и их следствия могут использоваться совместно, если необходимо формализовать нечёткое высказывание ещё более сложной структуры. В этом случае выполняется соответствующий анализ выражения, целью которого является выделение из исследуемого высказывания таких его компонентов, которые могут быть представлены как высказывания конъюнктивной, дизъюнктивной или импликативной форм с последующим применением соответствующих правил преобразования.

Пример 3.30: Рассмотрим некоторое нечёткое высказывание, структура которого может быть представлена следующим образом:

< Если_хесть_х,то_уесть_у1,иначе_уесть_у2>.

Это высказывание можно записать так:

< Если_хесть_х,то_уесть_у1,или если _хестьне_х,то_уесть_у2>.

Тогда используется правило преобразования:

< Если_хесть_х,то_уесть_у1,иначе_уесть_у2>

 < (_х,_у) есть ()() >.