3.4. Нечёткая и лингвистическая переменные

Основополагающим математическим понятием является понятие переменной. В практических приложениях теории нечётких множеств обычно употребляют нечёткие и лингвистические переменные.

Нечёткие и лингвистические переменные используются при естественно-языковом описании различных объектов и явлений, при формализации процессов и принятии решений в трудноформализуемых ситуациях.

Особенностью человеческого мышления является способность анализировать и выбирать сведения, имеющие отношение к анализируемой проблеме, то есть способность оценивать разнородную информацию. Такая способность играет важную роль в описании сложных явлений и процессов.

Рассмотрим способность человека оценивать понятие «Температура». Во многих случаях при оценке значений температуры люди оперируют не числовой характеристикой, а нечётко выраженными понятиями, такими, как «низкая», «средняя», «нормальная», «высокая» и др. При этом, если речь идет об оценке температуры, например, в печах определенного типа, то человек-оператор легче ориентируется по качественной информации, такой, как «нормальная температура», чем по конкретному числовому значению.

При такой качественной оценке информации, отражающей характер явления или процесса, большую роль играет естественный язык, который позволяет выразить основные понятия.

Введем понятия нечёткой и лингвистической переменной, которые, как и обычная переменная, могут изменять свои значения.

Итак, нечёткая переменнаяхарактеризуется тройкой:

< ,Х,С_>,

где – название нечёткой переменной;

Х– универсальное множество (конечное или бесконечное), то есть область определения нечёткой переменной;Х= {х};

С_ = { х (х) } – нечёткое подмножество множестваХ, представляющее собой нечёткое ограничение на значения переменнойх.

Пример 3.19.Пусть универсальное множествоХ= [480, 490] описывает область определения параметра – «Температура в реакторе». Этот параметр характеризует качество протекающего технологического процесса. Нечёткое множество, описывающее нечёткую переменную «Нормальная» (= «Нормальная»), человеком-оператором может быть представлено следующим образом:

С_= {(4800), (4810,3), (4820,4), (4830,5), (4841), (4851), (4861), (4870,5), (4880,4), (4890,3), (4900)}.

Очевидно, что при таком определении нечёткого множества С_для человека-оператора, управляющего температурой в реакторе, понятию «Нормальная температура» полностью соответствуют значения температуры от 484 до 486, в меньшей степени – значения температуры от 481 до 483 и от 487 до 489. Значения температуры в реакторе, которые меньше 481 и больше 489, понятием «Нормальная» охарактеризованы быть не могут, то есть не являются элементами носителя данного нечёткого множества.

Перейдем к рассмотрению лингвистической переменной, являющейся переменной более высокого порядка.

Лингвистической переменнойназывается переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка.

Лингвистическая переменная характеризуется набором:

< ,Т_,Х,G, М >,

где – название лингвистической переменной;

Т_β– терм-множество переменной, т. е. множество её значений, представляющих собой наименования нечётких переменных, областью определения каждой из которых является множествоХс базовой переменнойх;

Х– универсальное множество;

G– синтаксическое правило, порождающее термы множестваТ_β();

М – семантическое правило, ставящее в соответствия каждой нечёткой переменной Т_βнечёткое множествоС_, причёмС_обозначает нечёткое подмножество множестваХ.

В более упрощенном виде лингвистическая переменная описывается кортежем: < ,Т_β,Х>.

Пример 3.20. Значениями лингвистической переменной «Качество» (β= «Качество») могут быть: «Низкое», «Среднее», «Невысокое», «Высокое», «Очень высокое» и т.п. Каждое из этих значений является названием нечёткой переменной. Именно поэтому лингвистическая переменная считается переменной более высокого порядка.

Обсудим все составляющие понятия «лингвистическая переменная».

Обратимся к примеру 3.20. Прилагательные «Низкое», «Среднее» и т.д., определяющие лингвистическую переменную «Качество», отражают некоторый комплекс характеристик качества. Каждое из этих значений представляет собой ограничение, обусловленное названием и способом задания соответствующего нечёткого множества. С этой точки зрения определения качества «Очень высокое», «Чрезвычайно высокое», «Не очень высокое» и т.д. – названия нечётких множеств, образованных путем действия модификаторов«очень», «чрезвычайно», «не очень» на нечёткое множество «Высокое».

Совокупность значений лингвистической переменной составляет терм-множество этой переменной. Этим множеством может быть, вообще говоря, бесконечное число элементов.

Пример 3.21.Рассмотрим способы описания терм-множества лингвистической переменной «Качество»:

Т_β(Качество) = {«Очень низкое», «Низкое», «Не низкое», «Среднее», «Скорее высокое, чем среднее», «Высокое», «Очень высокое»};

Т_β(Качество) = «Очень низкое»«Низкое»«Не низкое»…«Очень высокое».

Терм, название которого состоит из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг другом, называется атомарным термом. Термы, состоящие из более одного атомарных термов, называютсясоставными термами. Формирование составного терма путём приписывания друг к другу цепочек-компонент называетсяконкатенацией, а приписываемые компоненты являютсяподтермами составного терма.

При необходимости явно указать на то, что терм был порожден грамматикой G(синтаксическим правиломG), будем писать:

Т_β* =Т_βG(Т_β),

где Т_β* – составной терм.

Что же касается семантического правила М, то оно может быть выполнено с использованием одной из типовых операций над нечёткими множествами, рассмотренных в главе 3.2. Наиболее часто используются следующие модификаторы и соответствующие им операции над нечёткими множествами:

• «не» – дополнение;

• «очень» – концентрация;

• «более или менее» – растяжение;

• «и» – пересечение;

• «или» – объединение.

Лингвистические переменные играют важную роль при построении нечётких моделей: с их помощью формализуется качественная информация об объекте принятия решения, представленная в словесной форме специалистами-экспертами. Принципиально важным является то, что любая лингвистическая переменная, как и все её значения, определяется конкретной количественной шкалой, называемой базовой шкалой. Отсюда вытекаетдругое определениелингвистической переменной:

Лингвистической переменнойназывается переменная, заданная на некоторой шкале (базовой шкале) и принимающая значения, являющиеся словами и словосочетаниями естественного языка. Значения лингвистической переменной описываются нечёткими переменными.

К названию лингвистической переменной и названиям её термов не предъявляется особых требований. С этими величинами, за которыми скрыт математический аппарат нечётких множеств, непосредственно работает эксперт, описывающий систему качественными или нечёткими понятиями. Однако к функциям, аппроксимирующим эти нечёткие понятия, а также к их взаимному расположению, предъявляются определённые требования.

Выделим ряд ограничений, которым должны удовлетворять термы лингвистических переменных. Пусть Т_β– базовое терм-множество лингвистической переменной <,Т_β,Х>,Т_β= {Т_i},i= 1, 2, …,m. Каждому термуТ_iТ_βсоответствует нечёткая переменная <Т_i,Х,С_i>.

1. Прежде всего, базовое терм-множество Т_βдолжно бытьупорядоченов соответствии с выражением:

( Т_iТ_β)(Т_jТ_β)(ij)(хS_Сi)(yS_Сj)(xy ), (3.36)

где S_Сi – носитель нечёткого множества:

S_Сi= {xX  _Sci (x)  0 },

то есть это множество строгого уровня = 0

Выражение (3.36) означает, что терм, который имеет носитель, расположенный левее, получает меньший номер.

1. Ограничение, накладываемое на вид функций принадлежности, соответствующих базовым термам, выглядит так:

 _Т1 (х_min ) = 1, _Tn (x_max ) = 1, (3.37)

где n– количество термов в базовом терм-множестве,х_minиx_max– границы универсального множестваХ, на котором определена лингвистическая переменная.

В соответствии с выражением (3.37) функции принадлежности термов Т₁иT_nдолжны быть аммодальными.

2. Следующее условие может быть определено как полнота и согласованность:

( Т_i  Т_β )( 0  sup _{Ci C(i +1)}(x)  1 ). (3.38)

Это выражение означает, что должно соблюдаться естественное разграничение понятий, когда одна и та же точка универсального множества Хне может одновременно принадлежать (со степенью уверенности 1) двум и более термам. С другой стороны, каждое значение из области определения лингвистической переменной должно описываться хотя бы одним термом.

3. Очередное условие – нормальность– определяется следующим выражением:

( Т_iТ_β )(хХ:_Ci (x) = 1 ). (3.39)

Каждое понятие в лингвистической переменной должно иметь хотя бы один эталонный или типичный объект.

4. Последнее условие – ограниченность:

( β )(х₁R )(x₂R )((xX )(x₁xx₂ )), (3.40)

где R– действительная ось.

Область определения Хдолжна быть ограничена конечным множеством точек, так как в любой задаче анализа и принятия решений существуют реальные ограничения на числовые значения параметров объектов.

На рис. 3.14 представлена лингвистическая переменная β с числом термов, равным 5, и проиллюстрировано невыполнение перечисленных условий и ограничений.

Рис. 3.14.Ограничения, накладываемые на базовые термы лингвистической переменной

Итак, при формировании базового терм-множества лингвистической переменной β были допущены следующие ошибки:

1. На границах универсального множества Хзначения функций принадлежности термов, обозначающих минимальное и максимальное значение лингвистической переменной β, должны быть единичными. На рис. 3.14 термТ₁имеет неправильный вид (унимодальный), а термТ₆– правильный (аммодальный).

5. Запрещается существование в базовом терм-множестве T_β пар термов типаТ₂иТ₃, так как отсутствует естественная ограниченность понятий, аппроксимируемых термами. Эти термы иллюстрируют невыполнение условия согласованности.

6. Условие полноты нарушается парой термов Т₃иТ₄, так как участку [a,b]Хне соответствует никакое понятие.

7. В базовом терм-множестве запрещается наличие термов Т₅, имеющихsup _Ci (x)  1. Так как термы должны описываться нормированными функциями принадлежности, на рис. 3.14 нарушено условие нормальности.

Применение лингвистических переменных для описания сложноформализуемых систем на практике неизбежно ставит предварительную задачу формирования лингвистических переменных, то есть определения всех её компонент. Это, как правило, реализуется на основе опросов экспертов – высококвалифицированных специалистов в той области, для которой строится нечёткая модель с использованием лингвистической переменной. Особое внимание при этом уделяется формированию функций принадлежности нечётких множеств, являющихся термами базового терм-множества.

Процесс формирования лингвистической переменной включает в себя следующие этапы:

1. Определение множества термов лингвистической переменной и его упорядочение.

8. Построение числовой области определения лингвистической переменной.

9. Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.

10. Построение функций принадлежности для каждого терма лингвистической переменной.

На этапе 1 эксперт, формирующий лингвистическую переменную, задает количество термов множества Т_βи названия соответствующих им нечётких переменных.

На этапе 2 описывается универсальное множество Х. Реализация этого этапа может сопровождаться рядом трудностей, вызванных типом лингвистической переменной. Так, например, вид универсального множества для лингвистической переменной «Температура в реакторе» очевиден – это будет некоторый интервал значений температуры, заданный на определенной температурной шкале, и значения температуры, определяющие границы интервала, также не вызовут у эксперта затруднений. Однако если требуется формализация понятия «Качество», которое определяется как «Высокое», «Среднее» или «Низкое», то возникает необходимость искусственно вводить числовое универсальное множествоХR =(–; +), на котором будут определяться аппроксимируемые нечёткие понятия. Эта процедура позволит в дальнейшем использовать единые подходы для работы с лингвистическими переменными различных видов.

Этап 3 является ключевым при формировании лингвистической переменной. Выбранная на этом этапе схема проведения опроса эксперта (или экспертов) уже предполагает, что выбран и метод построения интересующих нас функций принадлежности.