- •Методические указания
- •Лиенйной алгебре и аналитической геометрии
- •Тема 1. Линейные пространства и линейные преобразования Задания уровня а
- •Задания уровня в
- •Условия заданий по теме 1
- •, В некотором базисе задается системой уравнений
- •, В некотором базисе задается системой уравнений
- •, В некотором базисе задается системой уравнений
- •, В некотором базисе задается системой уравнений
Методические указания
ПО
Лиенйной алгебре и аналитической геометрии
Тема 1. Линейные пространства и линейные преобразования Задания уровня а
-
Докажите, что множество M с заданными операциями сложения и умножения на число является или не является линейным пространством. Если в конкретном задании не указаны операции, то это – обычные операции сложения и умножения на число на заданном множестве. Если операции отличаются от обычных, то означает операцию сложения, а означает операцию умножения на число. При описании таких операций знаки и означают обычные операции сложения и умножения.
-
Докажите, что система векторов пространства L образует базис и найдите координаты вектора в этом базисе.
-
Докажите, что подмножество M линейного пространства L является или не является линейным подпространством.
-
Найдите матрицу линейного преобразования A линейного пространства L в базисе .
-
Задана матрица линейного преобразования A трехмерного пространства в некотором базисе . Найдите координаты в этом базисе векторов , образующих базис, в котором линейное преобразование имеет диагональную матрицу.
Задания уровня в
-
Определить размерность линейного пространства L.
-
Найти базис линейного подпространства линейного пространства L.
-
В линейном пространстве L выбран базис . Написать систему линейных уравнений, задающих подпространство, являющееся линейной оболочкой векторов .
-
В линейном пространстве L выбран базис . Два его подпространства заданы системами линейных уравнений. Наибольший из индексов неизвестных равен размерности L. Задать системой линейных уравнений подпространство .
-
Выяснить, является ли матрица подобной диагональной матрице 1) над полем вещественных чисел, 2) над полем комплексных чисел.
Условия заданий по теме 1
Вариант 1А
-
М – множество многочленов , обращающихся в ноль в точке .
-
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
-
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М – множество столбцов, у которых первый элемент равен 1.
-
L – множество матриц второго порядка, , , , , A – операция транспонирования.
-
.
Вариант 1В
-
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 5, которые обращаются в ноль при и .
-
, в некотором базисе задается системой уравнений
-
, , , .
-
-
.
Вариант 2А
-
М – множество квадратных матриц порядка 2, у которых сумма диагональных элементов (след матрицы) равна нулю.
-
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
-
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М – множество столбцов, у которых первый элемент равен третьему элементу.
-
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
-
.
Вариант 2В
-
L – линейное пространство матриц третьего порядка, у которых на главной диагонали стоят нули.
-
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 4, –подпространство многочленов, имеющих 1 корнем кратности 2 или выше.
-
, , , .
-
-
.
Вариант 3А
-
М – множество многочленов степени не выше 5, у которых хотя бы один коэффициент равен нулю.
-
L – множество верхних треугольных матриц порядка 2, , , , .
-
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М – множество столбцов, у которых первый элемент равен удвоенному четвертому элементу.
-
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает радиус-вектор в радиус вектор симметричный относительно плоскости .
-
.
Вариант 3В