- •Московский государственный строительный университет
- •Основные понятия
- •Определение вероятности
- •Пример 1.
- •Решение.
- •Пример 2.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Основные теоремы
- •Решение.
- •Последовательность независимых, однородных испытаний. Схема бернулли
- •Решение.
- •Формула пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Локальная и интегральная формулы муавра – лапласа
- •Решение.
- •Решение.
- •Случайные величины
- •Нормальное распределение случайной величины
- •Решение.
- •Решение.
- •Рассмотрим решение задач типового варианта. Задание №1 .
- •Решение.
- •Ответ: . Задание №2 .
- •Решение.
- •Ответ: . Задание №3 .
- •Решение.
- •Ответ: .
- •Ответ: ; .
- •I. Задача.
- •Выполнение работы.
- •Приложение №2. Справочные материалы
- •Задачи и упражнения
- •Вопросы по теории вероятностей
Определение вероятности
Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Эксперимент повторили n раз и пусть событие А наблюдалось m(А) раз.
Относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов назовем отношение:
.
Относительная частота определяется после проведения серии экспериментов и может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу.
Статистическое определение вероятности
Если при увеличении числа опытов относительная частота события стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А стохастически устойчиво, а это число обозначаюти называютвероятностью события А.
Классическое определение вероятности
Рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного числа элементов (исходов), все эти элементарные события равновозможны, т.е.
.
Пусть событию А благоприятствует элементарных событий (благоприятных исходов). Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов
.
Свойства вероятности:
1) ;
2) ;
3) если события А и В несовместны ( ), то.
При подсчете числа исходов часто используются формулы и правила комбинаторики.
Перестановки – это комбинации, составленные из различных элементов, которые отличаются только порядком следования элементов. Число перестановок в совокупности изэлементов вычисляется по формуле
.
Пример 1.
Сколькими способами можно рассадить 5 студентов в одном ряду.
Решение.
Поскольку в “пересадке” участвуют все 5 студентов, то, т.е. существует всего 120 способов.
Сочетания – это комбинации, составленные из элементов поэлементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний изэлементов поэлементов находится по формуле
.
Пример 2.
Сколько билетов можно составить из 25 вопросов, если билет содержит 3 вопроса.
Решение.
В билет произвольным образом отбирается 3 вопроса из списка в 25 вопросов, при этом порядок следования вопросов также произвольный, поэтому
,
т.о. можно составить 300 билетов.
Размешения – это комбинации, составленные из элементов поэлементов, которые отличаются составом элементов или порядком следования элементов. Число размещений изэлементов поэлементов находится по формуле
.
Пример 3.
Сколько сигналов можно подать, вывешивая по 3 флага на мачте, если всего имеют 4 флага (белый, красный, синий, зеленый).
Решение.
Из 4-х различных по цвету флагов выбирают 3 флага, при этом, меняя последовательность следования флагов различных по цвету (например, красный-белый-зеленый и белый-красный-зеленый) передают различные сигналы, т.е. важен и состав и порядок расположения элементов, тогда , следовательно, используя только 3 флага из 4, можно передать 24 сигнала.
Правило суммы. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект В -способами, то выбрать либо объект А, либо объект В можноспособами.
Пример 4.
В вазе 5 груш и 4 яблока ( объект А- груша, объект В- яблоко). Сколько существует способов выбрать один из фруктов.