5. Задачи и упражнения к главе II.

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам

Указание: 1способ. Возьмем произвольную точку плоскости M (x, y, z). Векторы будут компланарны, так как они расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведениеЗаписывая это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости:

Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой строке.

2 способ. Векторы параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторовперпендикулярен этой плоскости, т.е.и. Векторявляется нормальным вектором плоскости. Если и , то вектор находится по формуле:

Уравнение плоскости находим по точкеи нормальному вектору

(2.1.1).

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору .(неколлинеарны).

Указание: 1 способ. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и располагаются в параллельных плоскостяхи, следовательно, компланарны, т.е. их смешанное произведение Записав это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости .

2 способ. Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению векторов , т.е. или в координатах:

Уравнение искомой плоскости найдется по нормальному векторуи точке(или точке)по формуле (2.1.1)

(см. пример 1 пункт 2.2).

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0.

Указание: Нормальный вектор найдем из общего уравнения данной плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1). Векторперпендику-лярен данной плоскости, следовательно, он перпендикулярен любой плоскости, параллельной ей. Векторможно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение искомой плоскости по точкеи нормальному вектору(см. пример 1 пункт 2.2).

Ответ:

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y – 2z + 1 =0 и

x + y + z – 5 = 0.

Указание: 1 способ. Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы (координаты векторов найдены из общих уравнений плоскостей, формула (2.2.1)) перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Искомая плоскость проходит через точкупараллельно двум векторам(см. задачу 1 пункт 5).

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке, получим искомое уравнение.

2 способ. Составим уравнение плоскости по точке и нормальному вектору по формуле (2.2.1). Нормальный векторравен векторному произведению векторов,т.е. Так как векторыперпендикулярны линии пересечения плоскостей, то вектор параллелен линии пересечения плоскостей и перпендикулярен искомой плоскости.

Векторы (см. формулу 2.2.1), тогда

Составим уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

(см. пример 1 пункт 2.2)

Ответ:

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z +15 = 0.

Указание: 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости

3x – y + 3z +15 = 0: Так как плоскости перпендикулярны, то векторпараллелен искомой плоскостиСоставим уравнение искомой плоскостикоторая параллельна векторуи проходит через точки(см. решение задачи 2 пункт 5; 1 способ).

Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости

10x + 15y – 5z – 70 =0 2x + 3y – z – 14 =0.

2 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точкеи вектору нормали Вектор

Составляем уравнение искомой плоскости .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (см. задачу 2 пункт 5; 2 способ). Разделим обе части уравнения на 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Ответ: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

Указание: Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки (см. пример 1, пункт 2.3, формула 2.3.1).

Раскрывая определитель, получим

Ответ:

Замечание. Для проверки правильности вычисления определителя рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскостиx – 4y + 5z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнение данной плоскости x – 4y + 5z + 1 = 0 найдем нормальный вектор (формула 2.2.1). Векторперпендикулярен к искомой плоскостиСоставим уравнение плоскости по точкеи нормальному вектору (см. пример 1; пункт 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам

Указание: См. решение задачи 1 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x – y – z – 1 = 0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.

Указание: См. решение задачи 4 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x +2y – z – 8 = 0.

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки перпендикулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.

Указание: См. решение задачи 5 пункт 5.

Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точкипараллельно прямой, определяемой точками A (5; –2; 3) и B ( 6; 1; 0).

Указание: Искомая плоскость параллельна прямой AB, следовательно, она параллельна вектору Уравнение искомой плоскостинаходим, как в задаче 2 пункта 5 (одним из способов).

Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. ТочкаP (2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Указание: Нормальным вектором к искомой плоскости является векторНайдем его координаты.P (2; –1; –2) и O(0; 0; 0) т.е. Составим уравнение плоскостипо точке и нормальному вектору(см. пример 1, пункт 2.2).

Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости: а)xoy; б) yoz; в) xoz.

Указание: Вектор – единичный вектор осиoz перпендикулярен плоскости xoy, следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости Составляем уравнение плоскости по точкеA ( 0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), т.к. (см. решение задачи 3, пункт 5).z – 2 = 0.

Аналогично решаем задачи б) и в).

б) где(1; 0; 0).

в) где(0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Ответ: а) z – 2 = 0 ; б) x = 0; в) y + 1 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

B (2; 1; –1) перпендикулярно плоскости : а) xoy; б) xoz.

Указание: Нормальным вектором плоскости xoy является вектор

= (0; 0; 1) – единичный вектор оси oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки и B (2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор (0; 0; 1), используя один из способов решения задачи 5 пункта 5.y – 1 = 0.

Аналогично для задачи б): где = ( 0; 1; 0).

Ответ: а) y – 1 = 0 ; б) x + z – 1 = 0.

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

B (2; 3; –1) параллельно оси oz.

Указание: На оси oz можно взять единичный вектор = (0; 0; 1). Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 5 (любым способом).

Ответ: x – y + 1 = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ox и точку

Указание: Плоскость проходит через осьox, следовательно, и через точку O(0; 0; 0). На оси ox можно взять единичный вектор = (1; 0; 0). Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкамA(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору параллельному плоскости. (См. решение задачи 2 пункт 5).

Ответ: 6y + z = 0.

17. При каком значении А плоскости Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 будут перпендикулярны?

Указание: Из общих уравнений плоскостей

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 векторы нормалей

= (А; 2; –7) и = ( 2; –1; 2) (2.2.1). Условие перпендикулярности двух плоскостей(2.6.1).

Ответ: A = 8.

18. При каком значении А плоскости 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и

4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?

Указание: 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и 4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и = (4;A; –12) (2.2.1). Т.к. (2.5.1)

Ответ: A = 6.

19. Найти угол между двумя плоскостями 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0.

Указание: 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и = (1; –2; 3)

(2.4.1)

Ответ:

20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

A (1; 2; –3) параллельно вектору =(1; –2; 1).

Указание: См. решение примера пункта 3.1.

Ответ:

21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

A ( –2; 3; 1) параллельно вектору =(3; –1; 2).

Указание: См. решение примера пункта 3.2.

Ответ: .

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4) .

Указание: См. решение примера 1 пункта 3.3.

Ответ: а) б)

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Указание: См. пример 1 пункт 3.4. Пусть z = 0, тогда координаты x и y точки находим из решения системы

Следовательно, точка , лежащая на искомой прямой, имеет координаты

(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0

находим нормальные векторы =(1; –2; 3) и =(3; 2; –5).

Канонические уравнения прямой находим по точке (2; –1; 0) и направля-ющему вектору

(См. формулу (3.1.1)).

Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (3.2.1) или из канонических уравнений: Имеем:

Ответ: ; .

24. Через точку (2; –3; –4) провести прямую, параллельную прямой

.

Указание: Канонические уравнения искомой прямой найдем по точкеи направляющему векторуТак както за направляющий векторпрямойможно взять направляющий векторпрямойL. Далее см. решение задачи 23 пункт 5 или пример 1 пункт 3.4.

Ответ:

25. Даны вершины треугольника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Указание: Координаты точки M найдем из условия AM = MC (BM – медиана треугольника ABC).

Составим канонические уравнения прямойBM по двум точкам B (2; 4; –1) и (См. пример 1 пункт 3.3).

Ответ:

26. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (–1; –2; 2) параллельно осиox.

Указание: Вектор – единичный вектор осиox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой = (1; 0; 0). Составим уравнения прямой по точке

(–1; –2: 2) и вектору = (1; 0; 0) (см. пример пункт 3.1 и пример 1 пункт 3.2).

Ответ: ;

27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор = (5; 3; –7). По условию искомая прямаяследовательно, векторт.е. векторявляется направляющим вектором прямойL: = (5; 3; –7). Составляем канонические уравнения прямой по точке(3; –2; 4) и направляющему вектору

= (5; 3; –7). (См. пример пункт 3.1).

Ответ:

28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.

Указание: Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости 4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O (0; 0; 0). (См. решение задачи 27 пункт 5 и примера 1 пункт 3.2).

Ответ:

29. Найти точку пересечения прямой и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0.

Указание: Чтобы найти точку M пересечения прямой

L: и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0, надо решить систему уравнений:

;

Для решения системы канонические уравнения прямой преобразуем к параметрическим уравнениям. (См. задачу 23 пункт 5).

Ответ:

30. Найти проекцию точки M (4; –3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки М на плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскостьи плос-костиСоставим параметрические уравнения пер-пендикуляра МР.(См. решение задачи 28 пункт 5).

Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости (См. решение задачи 29 пункт 5).

Ответ:

31. Найти проекцию точки А(1; 2; 1) на прямую

Указание: Проекцией точки А на прямую L: является точкаВ пересечения прямой L и плоскости которая проходит через точку А и перпендикулярна прямойL. Из канонических уравнений прямой L выпишем направляющий вектор =(3; –1; 2). Плоскостьперпендикулярна прямойL, следовательно, Таким образом, векторможно взять за нормальный вектор плоскости= (3; –1; 2). Составим уравнение плоскостипо точке А(1; 2; 1) и= (3; –1; 2) (см. пример 1 пункт 2.2):3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Найдем точку В пересечения прямой и плоскости (см. задачу 29 пункт 5):

Ответ:

32. Через точку M (3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум плоскостям x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0.

Указание: Плоскости x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0 не параллельны, т.к. не выполняется условие (2.5.1): Плоскостипересекаются. Искомая прямаяL, параллельная плоскостям параллельна линии пересечения этих плоскостей. (См. решение задач 24 и 23 пункт 5).

Ответ:

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две прямые

Указание: 1 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке, лежащей на прямой, и нормальному вектору. Векторбудет равен векторному произведению направляющих векторов прямых, которые найдем из канонических уравнений прямых(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координаты точки найдем из канонических уравнений прямой

Составляем уравнение плоскости по точкеи вектору нормали=(–34; 46; 20) (см. пример 1 пункт 2.2) 17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2 способ. Находим направляющие векторы = (7; 3; 5) и= (5; 5; –3) из канонических уравнений прямыхТочку(0; 2; –1) находим из уравнения. Возьмем произвольную точку плоскости

M ( x; y; z). Векторы – компланарны, следовательно,Из этого условия получаем уравнение плоскости:

Ответ: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2; 0; 1) и прямую

Указание: Убедимся прежде всего, что точка на данной прямой не лежит:Точкуи направляющий векторнаходим из канонических уравнений прямой : (1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормальный вектор искомой плоскости Координаты нормального вектора найдем, зная координаты=(1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Составляем уравнение плоскости по точке (2; 0; 1) и нормальному вектору= (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Ответ: 5x – 3y – z – 9 = 0.