Предисловие.

Учебное пособие посвящено аналитической геометрии и предназначено для студентов МГСУ заочной формы обучения.

Пособие полностью соответствует действующей программе по математике. Оно состоит из двух глав и приложения.

В первой главе рассматриваются основные виды уравнений прямой на плоскости и методы их решения.

Во второй главе рассматриваются уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Изложение сопровождается подробно решенными примерами. Из желания не перегружать основную часть пособия сложными математическими рассуждениями и формулами некоторые из них приводятся без доказательства.

Пособие содержит большое количество примеров и задач для самостоятельного решения. Каждая задача имеет пояснение.

Нумерация рисунков и формул в каждой главе своя. Формулы имеют трехзначную нумерацию, которая состоит из номера пункта, номера параграфа и порядкового номера формулы.

Все формулы, приведенные в пособии и используемые при решении задач, даны в приложении.

Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости.

1. Основные понятия.

Аналитическая геометрия – это та часть математики, в которой геометрические задачи решаются аналитическими (алгебраическими) методами. И в этом ей помогает метод координат. Основателем метода координат считается французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650г.г.). Опубликование его “Геометрии” (приложение к философскому трактату ”Рассуждение о методе”) в 1637 году условно считается датой рождения аналитической геометрии.

Под системой координат на плоскости или в пространстве понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости или пространства. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. Прямоугольная система координат задается взаимно перпендикулярными прямыми (рис.1,2), на каждой из которых выбрано положительное направление, и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат, точка их пересечения О – начало координат, ох – ось абсцисс, oy – ось ординат.

На рисунке 1 изображена система координат на плоскости, ее обозначение: Oxy; на рисунке 2 – в пространстве, обозначаетсяOxyz. Числа x и y полностью определяют положение точки M(x,y) на плоскости; числа x,y,z полностью определяют положение точки N(x,y,z) в пространстве. Эти числа называются координатами точки.

Другой важной системой координат на плоскости является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом оp, называемым полярной осью, на которой задан единичный отрезок, и углом , образованным отрезком ОM и полярной осью. Положение точки M определяется ее расстоянием r от полюса и углом (Рис.3). Далее в параграфе будет подробно рассмотрена полярная система координат, а сейчас вернемся к декартовой системе координатOxy.

Важнейшим понятием аналитической геометрии на плоскости является понятие уравнения линии.

Линией, определяемой уравнением F(x,y)=0, называется геометрическое место точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Это означает, что координаты любой точки линии, удовлетворяют уравнению

F(x,y) = 0, а координаты любой другой точки, не принадлежащей линии, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение линии дает возможность изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка на линии L, достаточно знать координаты точки M и уравнение линии L.

Пример 1. Лежит ли точка M(5,3) на окружности:

Решение. Подставим значения x=5, y=3 в уравнение окружности: Точка M(5,3) не лежит на данной окружности.

Пример 2. Лежит ли точка K(-2,1) на линии 2x+y+3=0 ?

Решение. Подставим x=-2, y=1 в уравнение линии: ТочкаK(-2,1) лежит на данной линии.