книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

Рис. 80

Каждая из этих плоскостей определяется на чертеже тремя точками:

Прямые q и г принадлежат одновременно обеим задан­ ным гиперплоскостям со3 и р3 , следовательно, они лежат в плоскости их пересечения а2 .

Задача будет решена, если мы построим на чертеже проекции прямых q и г. Для этого рассечем плоскости а 2 , В2 , у2 и б2 произвольными проецирующими гиперплоско­ стями у3 (Y3 )I23 И х 3 (х3 )Ьз и найдем линии их пересечения

120

с четырьмя указанными плоскостями. Гиперплоскость у3 пересекает плоскости ос2 и б2 соответственно по прямым / (/12) и 4 {4\2), каждая из которых определяется двумя точками / = XIII и XIV; 4 = XV и XVI. Прямые / и 4 лежат в одной плоскости, определяемой двумя вспомога-

Р и с . 81

тельными гиперплоскостями и.3 и у3, поэтому они имеют общую точку А, проекция которой А'п, определяется пере­

Проводим аналогичные построения для плоскостей у2, и б2 и находим также две точки, которые определяют пря-

121

мую г (на рис. 80 показано построение только одной точки С, которая совместно с точкой В определяет пря­ мую г). Точка С так же, как и точки А и. В, принадлежит искомой плоскости с 2 . Две другие гиперплоскости (на рис. 80 не показаны) пересекаются по плоскости т2 .

В результате выполнения первого этапа задачи получим две плоскости а2 и т2 , расположенные в четырехмерном пространстве. Эти плоскости пересекутся в точке. Для нахождения этой точки воспользуемся следующими сооб­ ражениями: если две плоскости четырехмерного простран­ ства, имеющие одну общую точку, спроецировать из про­ извольной точки, лежащей вне их, на какое-либо трех­ мерное пространство, то каждая из двух плоскостей спроецируется в плоскости. При этом плоскости-проекции, находясь в одном трехмерном пространстве, будут пере­ секаться по некоторой прямой, которая в силу сохране­ ния в проекции инцидентности точек и прямых обяза­ тельно пройдет через проекцию точки общей для плоско­ стей-оригиналов.

Эта прямая, по которой пересекаются плоскости-про­ екции, является проекцией двух прямых, лежащих в раз­ ных плоскостях-оригиналах и пересекающихся в общей точке. Слияние проекций этих двух прямых в одну прямую объясняется тем, что они проецируются одной плоскостью, по которой пересекаются два трехмерных пространства, проецирующие плоскости-оригиналы. Исходя из этого, мы можем рассматривать на чертеже сначала те две проекции треугольника ABC и DEF, которые определяют параллель­ ные проекции плоскостей а2 и т2 на какое-либо трехмер­ ное пространство (например, проекция из точки xioo на гиперплоскость Ох^х^х^), и с их помощью находим пря­ мую, по которой (cx2)i23 и (T2 )I23 пересекаются в гипер­ плоскости Оххх^хъ. Затем вводим в действие главную проекцию, т. е. переходим к рассмотрению четырехмер­ ного чертежа и определяем по линиям связи главные про­

пересечения плоскостей (а2)!гз и (x2 )i23 . Точка пересече­ ния главных проекций этих прямых дает нам главную проекцию К' искомой точки К- Две другие ее проекции находим на соответствующих линиях связи.

На рис. 81 прямая s (s', s'm, sb), по которой пересе­ каются плоскости-проекции (a2 )i23 и (т2){2з, определена

122

с помощью сечения заданных плоскостей двумя вспомога­

ляются общими для каждой из трех рассматриваемых пло­ скостей (/ cz а 2 X т 2 X в2 ; 2 с а 2 X т2 х л 2 ) . Эти точки определяют прямую s (s', s'm, S12). Находим главные про­

также две точки; / / — в плоскости о2 .и IV—в пло­ скости т2 . Кроме прямой s, лежащей в плоскости а2 , получаем прямую t, определяемую точками 3 и 4, принад­ лежащую плоскости тА Проекциями обеих этих прямых на 0х\Х2Хъ из х\т служит прямая smПоэтому, как от­ мечалось выше, они лежат в одной плоскости. Действи­

деляют некоторую плоскость е2 , параллельную этой оси. Поэтому частные проекции плоскости е2 на координат­

= (e2 ){2 . Так как прямые s и t лежат в одной плоскости &2 u s e о 2 , a t cz г2, то точка пересечения главных проек­ ций s' и V определяет положение главной проекции К'

прямой, то ломаная линия А', А'т и А'\ч (рис. 82) спря­ мится и все отмеченные проекции окажутся расположен­ ными на одной прямой (рис. 83).

В практике такое задание аксонометрии встречается редко, так как при этом теряется одно из основных свойств аксонометрических проекций — их наглядность, что при­ водит к трудностям при решении задач вручную. Для машинного решения этот недостаток не имеет никакого

123

значения. Более существенными оказываются те преиму­ щества, которые появляются при таком задании аксоно­ метрических проекций. Для определения частных про­

А'

при машинном решении операции по проведению прямой через данную точку в заданном направлении и нахожде­

Чтобы найти главную проекцию точки V (рис. 80), отыскиваем точку пересечения произвольной прямой, опре­ деляющей секущую гиперплоскость (д3 )' с прямой а' (операторы VIII, V). Если принять прямую (р3 )' гори­ зонтальной, то проекция / ' находится с помощью только одного оператора VI6. Аналогично, с помощью только операторов VI6 и VIa определяем главные проекции всех точек /, / / , / / / . . . и их частные проекции

124

П'п; ///{гз, ПОтмеченные упрощения распростра­ няются также и на решение второй части задачи (рис. 81),

на рис. 84. Такой вид исходных данных обеспечивает опре­ деленную последовательность считывания линий а', £>',..., е'к, F12 и размещения данных о них в фиксирован­ ных ячейках оперативной памяти ЭЦВМ. Это дает воз­ можность при составлении программы легко составить

125

рекомендации; на какие образы и в какой последователь­ ности распространяется выполнение операторов VI6 и VIа.

Блок-схема программы решения первого этапа задачи по определению точки, принадлежащей кривой моновари­ антных равновесий, приведена на рис. 85.

Следует отметить, что геометрический закон образова­ ния нелинейных образов, входящих в состав химических диаграмм, обычно неизвестен; для них можно эксперимен­ тальным путем определить только отдельные точки. В связи с этим положение каждой из прямых а', Ь', . . ., е'и, f'n (рис. 80) задают координатами двух принадлежащих им точек. При решении этой задачи, в отличие от ранее рас­ смотренных случаев, исходные данные вводят в вычисли­ тельную машину с помощью перфокарты или перфоленты без вычерчивания, соблюдая при этом последовательность ввода, которая имела бы место при автоматическом вводе (считывании). Для получения достаточного количества точек, определяющих кривые моновариантных равновесий, рассмотренная задача решается много раз для различных положений гиперплоскостей (прямых а', Ь', . . ., е'и, f'12).

§ 14. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРЯМЫХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ

Рассмотренный (§ 6) метод машинного решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме, содержит элементы аналитического метода в виде совместного решения уравнений прямых линий и требует определения уравнений заданных прямых и вспомога­ тельных, появляющихся в процессе решения. Определен­ ный интерес представляет установление рекомендаций, позволяющих машине осуществлять решение без определе­ ния уравнений прямых. Поиск таких рекомендаций при­ водит к необходимости исследовать свойства линий, пред­ ставленных в дискретной форме.

Рассматривая прямую не как непрерывную последова­ тельность математических точек, а как область, образован­ ную множеством непосредственно примыкающих друг к другу элементарных площадок, конгруэнтных растрэлементам, удается обнаружить упрямой новые качества 1 . Осуществляя перевод чертежа в систему чисел, мы пре­ образуем непрерывные функции в последовательность ди-

1 При графическом задании функции мы имеем дело именно с та­ кими материальными образами.

126

скретно изменяющихся величин. Если изобразить эту последовательность в виде элементарных площадок (растрэлементов), то мы вновь получим линию, которая, сохра­ няя все свойства исходной линии, приобретает новые ка­ чества, которыми не обладала первообразная (исходная) линия. Взаимное расположение растрзлементов, принад­ лежащих линии, и растр- *

Рис. 86 Рис. 87

для разных линий различно. Оно будет различно и для прямых, наклоненных под разными углами.

и вычерчены черной тушью на хорошей бумаге опытным чертежником (рис. 86). Без учета угла наклона прямых эти отрезки воспринимаются человеком как одинаковые, ничем не отличающиеся друг от друга. Преобразуем каж­ дый из этих отрезков в последовательность чисел (коор­ динат растрзлементов) и изобразим каждый растрэлемент в виде элементарной площадки (рис. 87). Легко обнаружить существенное различие между отрезками (для наглядности чертеж на рис. 87 выполнен в увеличенном масштабе). Если на рис. 86 границей между отрезками и окружающим их полем чертежа служат прямые, то на рис. 87 границей

127

является ломаная линия. Теперь уже нельзя утверждать, что все отрезки, показанные на рис. 87, одинаковые. Каждый из них имеет свою, характерную только для него, форму ограничивающей его ломаной линии. Кроме того, на рис. 87 выявляется «структура строения» прямой. Ис­ следования формы, ломаной линии, ограничивающей пря­ мые и «структуры строения» прямых позволяют выявить ряд закономерностей и на их основе сделать выводы, практически полезные для машинизации решения задачи.

I. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А ФАСАДА ПРЯМОЙ (Хф)

Характеристикой фасада прямой будем называть набор периодически повторяющихся чисел, каждое из которых показывает количество растрэлементов в строке (столбце), принадлежащих прямой и не имеющих хотя бы с одной стороны смежных растрэлементов, также принадлежащих той же прямой.

Прямая I Хф 2;1;2

или 2;2;1 1;2;2

Прямая Л Хф 2;3

Р и с . 88

Минимальную длину отрезка прямой, на которой вы­ является ее характеристика фасада, условимся считать базисом полного изображения прямой. Для прямых, изо­ браженных на рис. 88, базисом будут являться: для пря­

Характеристика фасада есть не что иное, как своеобраз­ ная интерпретация тангенса угла наклона прямой. Если рассматривать прямую как непрерывную функцию, то

128

в пределах одной прямой Хф представится числом, 'по­ стоянным для любого участка прямой. Осуществляя «счи­ тывание» чертежа посредством развертки, мы преобра­ зуем непрерывно меняющуюся величину в дискретную. При этом различие в смежных значениях уже дискретной последовательности может быть только целым числом. При таких условиях обеспечить постоянство Хф возможно только для прямых, у которых значение тангенса может

п — любое целое число. Такие прямые будем называть базисными, а соответствующие им характеристики фа­ сада — стандартными. На рис. 89 показаны ломаные ли­ нии, ограничивающие области темных растрэлементов, образующих прямые, для которых tg угла наклона опре-

а,

деляется отношением где а и о — простые натураль­ ные числа от 1 до 9. Жирными линиями отмечены базисные прямые. Из определения Хф следует, что по формальным признакам на плоскости всегда можно провести четыре прямые, имеющие одинаковую Хф. Например, прямые I , 77, III, IV (рис. 90), наклоненные к оси абсцисс под углом Ф = 18° 30', 71° 30', 108° 30', 161° 30', имеют одинаковую Хф = 3. Если для остальных, не базисных прямых невбзможно получить Хф, определяемую всегда одним и тем же числом, то это можно сделать посредством ряда це­ лых чисел, периодически повторяющихся в строго опре­ деленной последовательности. • Исследование характери­ стики фасада прямых позволило обнаружить существова­ ние следующей теоремы: Характеристика фасада любой,

не базисной прямой, состоит из последовательности только двух отличающихся на единицу чисел.

Для доказательства теоремы покажем:

Во-первых, любую прямую, угол наклона которой

,а

определяется tg <р = - у , можно представить в виде лома­ ной линии, каждое из звеньев которой является отрезками прямых, наклоненных под углами ср2 и ср2, причем tg cpx =

Пусть К и L — произвольные точки, взятые на прямой.